Собственные значения положения

Для определения положения уровней частиц задаются определенными параметрами потенциальной ямы ее ширину принимают равной диаметру ядра, а глубину находят из условия, что энергия связи нейтрона в ядре примерно равна 8 Мэе (параметры ямы не меняются заметным образом при изменении А). Если для частицы, находящейся в такой яме, решить уравнение Шредингера, то получится серия собственных значений и соответствующих им собственных функций, описывающих различные состояния частицы в потенциальной яме. [c.192]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Доказательство этого положения следует из равенства (17.10). Пусть А будет самосопряженным оператором, а -собственная функция, принадлежащая собственному значеню к. Тогда Ли = Хи, или А и = Х и. Приняв в (17.10) V = и, имеем [c.107]

Случаи 8° и 10° в определенном смысле сводятся к исследованию бифуркаций положений равновесия с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений и с двумя мнимыми парами соответственно. Специальные исследования бифуркаций неподвижных точек диффеоморфизмов в случаях 8°—10°, насколько нам известно, не проводились. [c.53]

Замечание. В классе векторных полей, имеющих особую точку с парой чисто мнимых собственных значений, поля общего положения не имеют гомоклинической траектории особой точки. [c.90]

Теорема ([109]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому (критическому) значению параметра соответствует векторное поле Vq с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки [c.111]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

В случае общего положения ведущее направление либо одномерно (тогда ему соответствует вещественное собственное значение), либо двумерно (и тогда ему соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений). Будем говорить, что в первом случае ведущее направление вещественно, а во втором — комплексно. [c.128]

В этом параграфе рассматриваются системы с медленно меняющимися параметрами, в которых, при изменении параметра, положение равновесия мгновенной системы теряет устойчивость с прохождением пары собственных значений через мнимую ось. [c.192]

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е- -0 к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой — на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с утками , рассмотренными ниже, в 5. [c.192]

Типичные системы. Рассмотрим класс быстро-медленных систем (2), медленная поверхность которых состоит из регу-. лярных точек (диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых). Потребуем также, чтобы множество негиперболических положений равновесия системы быстрых движений состояло из точек с. двумерным центральным многообразием и парой ненулевых собственных значений на мнимой оси. Такие системы назовем системами типа 2. Эти системы образуют открытое множество в подходящем функциональном пространстве. [c.192]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Камнем преткновения века, вызвавшим ожесточенную полемику и отвлекшим внимание от решения многих важных задач, стал вопрос о природе сил. У Декарта, как мы видели, силы возникали в результате вихревых движений материи, запущенной богом. У Лейбница носителями сил стали монады — духовные субстанции, присущие материи и вызывающие ее движение. Ньютон отделил силу от материи, сделав ее посторонней причиной изменения состояния тел. Положение усугублялось тем, что спор шел о силах вообще, без уточнения физического смысла различных их значений, а ведь у Декарта и Лейбница понятие сила было близко к понятию энергии, у Ньютона же оно соответствовало силе в ее собственном значении. [c.97]

В действительности эти три вращения не могут происходить одновременно, а лишь последовательно. Тем не менее ото нисколько не мешает тому, чтобы в анализе рассматривать их как происходящие одновременно дело в том, что каждое из них, изменяя бесконечно малое положение тела, лишь бесконечно мало влияет на смещения, вызываемые другими вращениями, и видоизменяет движения, обязанные своим происхождением другим вращениям, лишь на величину, бесконечно малую по" сравнению со своим собственным значением. Прим. Бертрана.) [c.77]

Устойчивость трех точек Лагранжа. Вернемся к задаче, рассмотренной в 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно враш ающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмуш ения выводят центр тян ести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс G остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку ( 29.8) собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения [c.586]

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений ip,g, это свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра р они существуют для достаточно малых значений р и при р О стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период а (р) при р О стремится к значению 2я/цо- [c.603]

Начало координат представляет собой особую точку типа центра и, как было показано, является положением неустойчивого равновесия. Собственные значения равны [c.608]

Если же вместо "ki взять Хг в качестве фундаментального собственного значения, то положение полностью изменится. Изложенная теория в этом случае неприменима, поскольку Xi/Яг = 2 поэтому нет оснований ожидать наличия периодических решений с периодами, близкими к 2я/и. Действительно, легко видеть, что таких решений не существует не может быть периодического решения, если в начальный момент (а стало быть, и в течение всего времени) не выполняются условия д = р = 0. [c.608]

Полученное выражение (20.16) позволяет установить важное положение если система дифференциальных уравнений (16.21) имеет предельное решение, то это решение будет периодическим, и оно является предельным циклом, так как в этом случае 1 не является собственным значением матрицы Н, а следовательно, det (Н I) ф 0. [c.133]

Теперь выясним вопрос, существуют ли среди величин > 1 собственные значения. Будем варьировать доказанными положениями так, чтобы получить по крайней мере больше трех постоянных внешних ре- [c.275]

Впишем в выпуклую фигуру й прямоугольник О или круг 5 (рис. 3), тогда для фигуры (О — О ) или (2 — 5 всегда можно добиться такого положения, что все ее собственные значения начиная с нужного нам номера будут боль- [c.35]

Если все собственные значения постоянной матрицы 6 имеют отрицательные действительные части и если функция Г(Г,х) удовлетворяет условию (7.1.16), то положение равновесия х( )= системы (7.1.15) асимптотически устойчиво. [c.459]

Если хотя бы одно собственное значение матрицы О имеет положительную действительную часть, то положение равновесия х(/)=0 нелинейной системы (7.1.15) неустойчиво по Ляпунову. [c.459]

Его дискриминаит должен быть иоложител1>ным. Таким образом, условием финитного движения в окрест.чости положений равновесия является неравенство 27ц,з<т,з. Собственные значения [c.144]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

В типичных однопараметрических семействах векторных полей встречаются негиперболические особые точки двух типов одно собственное значение особой точки равно нулю или два чисто мнимых, отличных от нуля, а остальные не лежат на мни-1КрЙ оси. В этом параграфе описаны версальные деформации ТД1СИХ ростков и обсуждается явление мягкой и жесткой потери устрйчивости положения равновесия. [c.20]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Неравенства (1.62) означают, что все собственные значения лежат в левой полуплоскости, т. е. имеют отрицательные действительиые части. Таким образом, при отсутств1г1г разветвлений положение равновесия линейной системы устойчиво. [c.41]

Докажем, что вблизи положения термодинамического равновесия колебания невозмож-н ы. Д 1я Этого достаточно показать, что все собственные значения характеристической матрицы действительны. Сделаем это, опираясь на принцип детального баланса, согласно которому в положении термодинамического равновесия каждая элементарная реакция находится в независимом от других реакций равновесии. [c.43]

Как было установлено в предыдущей статье (Г. Гёртлера), в проблеме собственных значений, к которой сводятся основные положения трехмерной неустойчивости с критической точкой, речь идет о системе дифференциальных уравнений вида [c.267]

Согласно выражению для оператора кинетической энергии ядер Т следует, что корень из массы ядра включен в координату R. Оператор Но описывает электроны, движущиеся в поле ядер, закрепленных в положениях R. Дцерные координаты не являются динамическими переменными в электронном гамильтониане Но- Они являются параметрами, определяющими электронное состояние. Действительно, собственные функции и собственные значения гамильтониана Но зависят от этого параметра [c.54]

Ниже приведены некоторые известные положения, устанавливающие возможность отстройки [5, 6]. Пусть все собственные значения матрицы коэффициентов линейной системы дифференциальных уравнений колебани11 А лежат правее левой границы интервалов (32) и требуется вывести их вправо за точку р. Если в последовательности главных миноров матрицы А (С) — р/, где / — единичная матрица, все жесткости равны, т. е. С = j =. .. = = с . то получается ряд полиномов [c.345]

Положение равновесия q=0 системы, неустойчивое при одних консервативных позиционных силах, может быть стабшшзировано путем добавления гироскопических сил ( 1=0, 2>0) только в том случае, если стационарной точке функции потенциальной энергии П(q) отвечает четное число отрицательных собственных значений матрицы (7.3.6). [c.477]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...