Собственные значения обобщенные

В этом параграфе будут рассмотрены однородные задачи, содержащие собственное значение в граничном условии. Подобная ситуация встречалась уже в конце предыдущего параграфа. Однако там собственное значение входило как в граничное условие, так и в уравнение. Это уравнение вместе с граничным условием получалось предельным переходом из более общего уравнения, когда спектральный параметр не содержался в граничном условии. Последнее обстоятельство было решающим при построении функционалов — при этом использовался тот же предельный переход. По существу все это было необходимо для получения такого исходного функционала к-метода, у которого класс допустимых функций не был бы ограничен условиями, содержащими параметр — собственное значение обобщенного метода. Другими словами, граничное условие с параметром должно быть естественным для функционала / -метода. Только в этом случае возможны формальные преобразования этого функционала. [c.159]

Нам удобно в этой главе явно выделить химический потенциал л при этом W (Х) суть, очевидно, собственные значе-йия не обобщенного, а обычного гамильтониана. Для собственных значений обобщенного гамильтониана мы сохраним символ Е. Подчеркнем, что речь идет сейчас о гамильтониане, по определению не содержащем взаимодействия между частицами. Поэтому спектр (X), вообще говоря, не совпадает с экспериментально определяемым. В частности, эффективные массы, которые будут введены в дальнейшем, суть затравочные массы (в смысле квантовой теории поля). В металлах они никогда не совпадают с определяемыми, например, из гальваномагнитных явлений с другой стороны, в полупроводниках можно реализовать условия, когда взаимодействие между электронами практически исчезает, и тогда параметры, характеризующие функцию W (к), непосредственно определяются из опыта. Явные вычисления с выражением (18.1) весьма затруднительны, так как фактически функции ср, (х) можно эффективно определить лишь в весьма грубом приближении. По этой причине, как уже говорилось в предыдущем параграфе, целесообразно воспользоваться каким-либо из вариантов метода эффективной массы, рассматривая ср, (д ) как эффективные волновые функции и учитывая периодическое поле просто путем введения некоторых параметров в невозмущенный гамильтониан. При этом рассматриваемая система делается пространственно однородной (соответственно, компенсирующий заряд надлежит считать равномерно размазанным по пространству). Как известно, при этом следует различать два случая [c.162]

В этом разделе будут рассмотрены теоретические основы метода Шура для решения различных типов алгебраических уравнений Риккати с помощью соответствующих обобщенных проблем собственных значений. Обобщенная проблема собственных значений представляет собой единую методику надежного численного решения широкого класса уравнений Риккати, возникающих в оптимальном управлении или задачах фильтрации, в том числе нестандартных задачах с вырожденными весовыми матрицами управления (или ковариационными матрицами шума измерения), перекрестными весовыми (взаимно корреляционными) матрицами и вырожденными переходными матрицами (для дискретных систем). Кроме того, могут рассматриваться модели в пространстве состояний, приводящие к обобщенным уравнениям Риккати [c.249]

Определив критическое значение нагрузки, следует проверить выполнение использованного предположения о малости перемещений и/ точек осевой линии стержня и малости угла поворота вз связанных осей при нагружении стержня, решив для найденного значения критической нагрузки систему линейных уравнений (1). Если из решения следует, что , и з малы, то найденное собственное значение краевой задачи является критической нагрузкой, а критическое состояние стержня практически совпадает с его естественным состоянием. Если предположение о малости обобщенных перемещений не выполняется, то надо решать нелинейную систему уравнений равновесия (1), где Хз. и Оза=<5 з. являются неизвестными, с последующим определением критических нагрузок. [c.277]

Система (3.13), (3.15) представляет собой матричное обобщение задачи о собственных значениях (вместо характеристических чисел здесь ищутся характеристические матрицы [Д]., удовлетворяющие (3.13) и (3.15). Решая эту задачу для каждого вектор-столбца матрицы можно показать, что характеристические матрицы будут [c.87]

Итак, при таком подходе узловым моментом является решение обобщенной проблемы собственных значений [c.641]

Обозначив через of собственные числа в порядке возрастания, ж — собственные векторы из обобщенной задачи о собственных значениях, запишем [c.471]

Колебания называются периодическими, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных координат и их производных, повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, называется периодом колебаний. Число периодов в единицу времени называется частотой единица частоты — герц (1 Гц—1/с). При свободных колебаниях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от сил) и потому называется собственной частотой. [c.104]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

К приближенным методам относятся метод, основанный на энергетическом принципе Рэлея, метод последовательных приближений и метод интегральных уравнений. Общее, что имеется в этих методах, заключается в том, что решающий задачу о собственных частотах отказывается от разыскания соотношений между отдельными обобщенными координатами системы и угадывает форму колебаний (форму упругой линии) всей целиком, т. е. угадывает заранее, с точностью до постоянного множителя, сразу все значения обобщенных координат, а затем в процессе решения постепенно уточняет эту форму, приближая ее к теоретически точной. [c.174]

СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве. [c.605]

Эту систему можно рассматривать как обобщенную задачу на -собственные значения относительно параметра Др. - [c.98]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

Отыскание собственных форм v и соответствующих им частот ш эквивалентно решению обобщенной алгебраической проблемы о собственных значениях [c.78]

Здесь о) — собственное значение уравнения (6) Г — амплитуды обобщенных сил, определяемые согласно (26) с заменой fo на. [c.239]

Основной метод. Метод состоит в исследовании обобщенной задачи о собственных значениях (7). К сожалению, даже в простейших случаях, когда эта задача допускает решение в замкнутом виде, исследование ее характеристических показателей и выделение областей устойчивости представляет трудную вычислительную задачу. Действительно, результат решения записывается в виде неявной зависимости характеристических показателей к от параметров а, [i, -у,. .. [c.243]

Пример б. В качестве модели распределенной системы с наследственным трением рассмотрим стержень из стандартного линейного вязкоупругого материала, нагруженный мертвой силой <2 и следящей силой Р (см. рис. 7.3.11, г). После отделения времени при помощи подстановки (х, 1) = (х ) ехр(Х/) приходим к обобщенной задаче о собственных значениях относительно безразмерного характеристического показателя ц = А, / параметров нагрузки а и Р и параметров диссипации у и Г (1 + т)ц)Ж -1-(а-ьр)(1-1-ут 11)Ж -1- [c.482]

Здесь глобальные матрицы получаются по обычным для МКЭ правилам формирования из соответствующих матриц для конечного элемента и учтены также граничные условия защемления оболочки по сечению меньшего радиуса. Кроме того, аэродинамическое и другие виды демпфирования аппроксимированы принятым в инженерной практике приемом введения внешнего трения, пропорционального матрице инерции системы, и внутреннего трения, пропорционального матрице жесткости системы, с параметрами соответственно е и г]. Полагая, как обычно, Ч(0 = ф ехр(Л./), приходим к обобщенной проблеме собственных значений [c.488]

В то же время при наличии преобразования, отображающего неканоническую область на каноническую, метод продолжения по параметру позволяет получить решение при сильном отклонении неканонической области от канонической. Ниже рассматривается обобщенная формулировка зтого метода в задачах на собственные значения для эллиптических уравнений, к которым приводятся задачи о собственных колебаниях и устойчивости пластин и оболочек. [c.147]

В этих предположениях задача (7.29) при Д4 = 1 сводится к следующей обобщенной задаче на собственные значения [49, 122] [c.223]

Сравнивая задачу (7.33) с задачей (7.29), видим, что их отличие заключается в том, что при матрице Кг в уравнении (7.29) стоит множитель а в (7.33) — множитель /i. Из сопоставления выражений (7.28) для элементов матриц Ki и Кг видно, что для достаточно малого шага во времени элементы матрицы Кг пренебрежимо малы по сравнению с элементами матрицы Ki в силу того, что Ui j С и О < /г < 1. Отсюда следует, что при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к обобщенной задаче на собственные значения [c.225]

Здесь индексом Ь снабжены линейные, Л Р-нелинейные части относительно перемещений Wi °1 в соответствующих матрицах Д(1 — собственный вектор квадратичной проблемы собственных значений (41), представляющий в точке бифуркации надлежащим образом нормированные дополнительные обобщенные узловые перемещения конечного элемента оболочки. Очевидно также, что если минимальное собственное значение проблемы (41) для оболочки равно единице, то перемещения и, следовательно, внешняя нагрузка на кри- [c.288]

Здесь Еп — собственные значения обобщенного Абрагамо-Прайсовского гамильтониана Н включающего обменное и спин-орбитальное взаимодействия. [c.199]

Вспомним теперь, что величины , / в (2.5) суть по определению собственные значения обобщенного гамильто-. ниана (1.7) Н = Н—(см. 1). Принимая во внимание отмеченные выше свойства матричных элементов (5.1), видим, что в данном случае [c.41]

Решение. Произведем вначале преобразование обобщенных координат к декартовым, т. е. определим матрицу S, которая приводит к диагоиалыюму виду S gS = a. С этой целью найдем собственные векторы v и собственные значения а,п уравнения. (gap-сгбар) Vf, = 0 [c.137]

Указанное представление динампческого коэффициента интенсивности в форме (57.7) основано па использовании первых частот и форм свободных колебаний упругой системы, т. е. па частичном решении обобщенной задачи о собственных значениях (57.3). [c.472]

Наиболее эффективным и удобным для решения обобщенной задачи о собственных значениях в случае высоких порядков матриц является метод одновременных итераций [338]. Основные достоинства метода следующие одновременно в итерационном процессе находится группа цаимепьших собственных чисел и векторов, алгоритмы быстро сходятся, результат может быть получен без каких-либо эвристических соображений, в случае близких собственных чисел не требуется особый анализ. [c.472]

Ввиду изложенного в п. 4 из 1, существует неограниченно возрастающая последовательность действительных положительных собственных значений и соответствующая им последовательность собственных функций х), ортонормированЕШХ в обобщенном смысле [c.249]

S-TO нормального колебания (s-я собственная форма диссипативной модели) определяется как нормированная совокуииость относительных мгновенных значений обобщенных координат модели (14.1). Из выражения (14.26) следует, что собственные формы диссипативной модели в пределах оговоренной точности вещественны и совпадают с собственными формами ее консервативного ядра (14.2). [c.233]

При анализе составных моделей вида (13.13) нолуопределен-ных динамических систем машинных агрегатов обычно оперируют с матрицей Q, имеющей нулевой трехкратный элемент, соответствующий низшим собственным значениям полуоиределениых локальных моделей нодсистем. В этом случае целесообразно индексацию координат расчетной модели (13.13) выполнить таким образом, чтобы в матрице Й крайние позиции на главной диагонали были заняты нулевыми элементами (см. (14.41)). Тогда, как показывает анализ, нули полиномов (14.50) строго разделяются, и последовательность этих нолиномов обладает свойством Штурма. Следовательно, при указанной структуре матрицы Q собственные значения эквивалентной модели вида (13.13) с тремя нулевыми значениями в совокупности vj, U, яЛ можно определять по дихотомической схеме (14.10), (14.11), не прибегая к модификациям расчетной модели. Собственные формы рассматриваемой составной системы, отвечающие исходным обобщенным координатам подсистем, определяются по формулам вида (14.45) с учетом трех подсистем. [c.240]

Обычная и обобщенная ортогональность собстаенных функций, так же как самосопряженность краевых задач о собственных значеннях, являются весьмя ценными свойствами, которые широко используются при теоретических исследованиях и в практических расчетах. [c.85]

К достоинствам описанного метода светового моделирования прежде всего следует отнести возможность задания полей плотности собственного и результирующего излучения как на поверхности, так и в объеме, что с помощью ipanee существующих подходов сделать не удавалось. Кроме того, в техническом отношении сама световая модель и методика эксперимента существенно упрощаются, так как отпадает необходимость в создании светящихся поверхностей и светящихся объемных зон и в довольно трудоемком устаиовлении задаваемого поля светимости на модели. К положительным моментам метода следует также отнести и тот факт, что полученные на световой модели значения обобщенной резольвенты можно использовать в далвнейшем для любого числа вариантов распределения плотностей излучения в системе при заданной постановке. [c.325]

Согласно главам 3 и 4 определение частот собственных колебаний и критических сил упругой системы выполняется после формрфования матрицы А. В отличии от других методов (см. [47, 262]) здесь предполагается, что граничные статические и кинематические параметры пластршы будут отличны от нуля (при бифуркации или при стоячих волнах), если отличны от нуля обобщенные статические и кинематические параметры одномерной модели. Тогда трансцендентное уравнение собственных значений пластинчатой системы примет вид [c.435]

Любое собственное значение динамической модели составной системы локализуется в интервале ( ( ) — ai )) X 2 за h шагов итерационного процесса, описанного в табл. 7. Для практических задач динамики силовых установок с ДВС валсным свойством представленного в табл. 7 алгоритма является возможность локализации с наперед заданной точностью одного или совокупности собственных значений, принадлежащих рассматриваемому контрольному отрезку, В табл. 7 приведены таклсе формулы для определения компонент собственных форм эквивалентных моделей составных систем и компонент собственных форм, отвечающих неканоническим (исходным) обобщенным координатам составляющих подсистем составных моделей. В случае полуопределенных составных систем в формулах табл. 7 следует использовать параметры неукороченных эквивалентных моделей (см. табл. 5). [c.365]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Таким образом, исходная задача (7.3) с TL-формулировкой уравнений при сделанных выше предположениях сводится к обобщенной квадратичной задаче по определению собственных значений и соответствующих им собственньсх векторов [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...