Собственные значения для произвольного

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО п [c.141]

Решение задачи определения собственных значений для произвольного п является прямым обобщением решения для случая п = 2. В этом разделе кратко излагаются основные моменты этого обобщения. Более полное описание (для модели льда) дано в работе [157]. [c.141]

При указанных пределах для угла р (т. е., собственно говоря, для произвольных его значении) можно вместо os р [c.248]

Уравнение (6,62) совпадает с характеристическим уравнением, которое получается при решении статической задачи на собственные значения для симметричного изгиба зажатой полосы. Оно также эквивалентно уравнению (6.60) на произвольной частоте, если выполнено неравенство (6.61), Все корни уравнения (6.62) комплексны. Для корней с большим модулем Я 1 могут быть найдены приближенные аналитические выражения [c.195]

Так как уравнение (74 ) квадратное относительно v и линейное относительно (д. и os 8, то прежде всего ясно, что вполне произвольно можно задавать угловую скорость прецессии v и угол нутации 6, после чего уравнение (74 ) дает вполне определенное (даже и по знаку) значение для угловой скорости [а собственного вращения. [c.134]

НАБЛЮДАЕМАЯ (измеримая, или физическая, величина) в квантовой механике — физ. величина, удовлетворяющая след, требованиям 1) для физ. систем существуют состояния, в каждом из к-рых рассматриваемая величина с достоверностью имеет вполне определённое характерное для этого состояния значение (наз. собственным значением данной величины) 2) в результате измерения рассматриваемой величины в любом произвольном состоянии физ. системы получается одно из её собств. значений. Состояние, в к-ром физ. величина принимает то или иное собств. значение, наз. её собственным состоянием, отвечающим (или принадлежащим) данному собств. значению. Одному и тому же собств. значению может принадлежать неск. собств. состояний рассматриваемой физ. величины, отличающихся значениями, к-рые принимают в них к.-л. др. величины. В этом случае собств. значение величины наз. вырожденным. (Так, собств. значению квадрата угл. момента принадлежит неск. собств. состояний, отличающихся значениями проекции момента на произвольную ось в пространстве.) Требование 1 представляет собой условие повторяемости измерения физ. величины по крайней мере для не- [c.234]

Далее следует учесть, что выражение (7.60) для N соответствует всему спектру собственных значений, поскольку волновые числа / и /г произвольны. Для определения фактической критической нагрузки необходимо осуществить выбор наименьшего значения. В случае осесимметричных неправильностей минимум достигается при [c.217]

Здесь достаточно однородного уравнения, поскольку интерес представляют только частоты и формы тонов. Несвязанные движения лопасти по всем степеням свободы (относительно ВШ, ОШ, упругий изгиб и т. д.) описываются аналогичными уравнениями. Для общности примем произвольный уровень демпфирования y/8 и собственную частоту v, не обязательно близкую к частоте оборотов. Собственными значениями являются корни квадратного уравнения [c.337]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

Равенства (2.42) и (2.43) показывают, что как ы (г), так и ы (—г) являются собственными функциями оператора Жо г) с одним и тем же собственным значением Е . Хорошо известно [3], что для невырожденных уровней энергии (не считая произвольного выбора знака) каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция, т. е. [c.39]

Подставляем общее решение (3.38) в систему уравнений р.36) и граничные условия после сокращения общего множи- теля получаем на плоскости ху однородную краевую задачу в области 5 для функций Рт(х,у), где 5 —поперечное сечение цилиндра. Решение этой задачи существует только при некоторых (собственных) значениях X и определяется, очевидно, с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы приходим к типичной задаче на собственные значения. [c.69]

С практической точки зрения весьма важно то обстоятельство, что мы можем записать каноническую матрицу плотности в произвольном представлении (для микроканонического ансамбля это невозможно в силу его сингулярной природы). В самом деле, чтобы выч слить рт В виде (4.3.17) либо Z в виде (4.3.16), необходимо знать собственные значения гамильтониана, т. е. решить уравнение Шредингера для S, что практически неосуществимо для нетривиальных систем. Напротив, если исходить из выражений (4.3.18) и (4.3.19), то можно выбрать в качестве базиса любой подходящий набор ортонормированных функций, вычислить матричные элементы гамильтониана Й для зтого базиса (что всегда осуществимо), а затем воспользоваться каким-либо удобным методом приближенных вычислений. Одно это уже дает представление [c.140]

Заметим теперь, что вероятностные коэффициенты (4.5.5) Представляют собой диагональные элементы матрицы плотности в таком представлении, в котором и гамильтониан, и оператор полного числа частиц диагональны. Следует четко представлять, что теперь N считается оператором, собственные значения которого равны всем неотрицательным целым числам. При решении в большом каноническом ансамбле особенно удобен формализм вторичного квантования. Матрицу плотности легко привести к виду, пригодному для любого произвольного представления [c.150]

И А — ортогональная матрица. Такое преобразование называется ортогональным преобразованием, и если Fn,- являются собственными функциями гамильтониана с собственным значением Еп, тогда Фпк должны быть также собственными функциями, соответствующими тому же собственному значению. Поэтому собственные функции для данного вырожденного уровня являются произвольными с точностью до ортогонального преобразования. Возникает вопрос какое представление группы симметрии гамильтониана порождается новыми функциями Ф Матрица, представляющая операцию R и порождаемая новыми функциями Фпк, удовлетворяет выражению [c.76]

Чтобы показать, что это справедливо также и для дискретного спектра, рассмотрим уравнение, которому удовлетворяют собственные функции оператора А, соответствующие произвольному собственному значению [c.155]

Эту же теорему можно использовать для определения такта квантования Б том случае, когда известно собственное значение системы с наибольшей собственной частотой со ах- Она будет максимальной частотой, пропускаемой дискретным регулятором без искажений. В частности, если исполнительное устройство обладает значительной инерционностью, в общем случае не следует выбирать слишком малый такт квантования, поскольку может случиться, что предыдущий сигнал управляющей переменной окажется неотработанным к моменту прихода следующего сигнала. Если в системе используются измерительные приборы, выдающие сигналы дискретно, как, например, в химических анализаторах или во вращающихся радиолокационных антеннах, то такт квантования дискретного регулятора оказывается заданным. Оператору, как правило, желательно иметь в системе быстрый отклик управляющей или регулируемой переменной на ступенчатое изменение задающего сигнала в произвольный момент времени. Поэтому такт квантования не должен превышать нескольких секунд. Более того, если учитывать возможность возникновения опасной ситуации, например появления сигнала тревоги, такт квантования следует выбирать малым. Для минимизации вычислительных затрат или стоимости каждого контура управления такт квантования следует брать как можно большим. [c.112]

Очевидно, что если гю з) и Wn s) будут удовлетворять функциональному уравнению (5.32) (с заменой е, е на И), ау ), то система (9.19) станет диагональной. Решение этого уравнения для Wn s) имеет тот же вид (5.33), что и для еп 1 ). Оно содержит собственное значение и, кроме того, еще произвольную функцию. [c.92]

Доказать полноту системы Г для произвольных Re традиционными методами ввиду нелинейной зависимости собственного значения в (5) не представляется возможным. (Вероятно, это можно сделать аналитическим продол- жением семейства Г по параметру А, фигурирующему в решении Ландау.) [c.289]

Как уже отмечалось выше, полное решение (6) — (10) осесимметричной гидродинамической задачи о струе в ограниченной области с необходимостью содержит члены с показателями степени щ<0 (/ 0). На рис. 112 представлены зависимости (Ке) для нескольких первых отрицательных индексов. В 2 было показано, что в случае Ке = О показатели степени а, (/ =0 1) являются двукратными целыми собственными значениями спектральной задачи (2.13), соответствуюш ими двойному полному набору собственных функций, как для положительных, так и для отрицательных а . Этот факт позволяет удовлетворить двум произвольным граничным условиям на двух поверхностях, ограничивающих область струйного движения. При увеличении числа Рейнольдса положительные показатели степени расщепляются па две непересекающиеся ветви. [c.301]

Как видно из (4), условия аналитичности представляют собой четыре однородных уравнения иа семь неизвестных V, II, V, V W, Ш, ф. Три из них могут быть заданы произвольно (удобно выбрать и, (2). Этот факт вполне согласуется с физической постановкой задачи о неавтомодельном струйном течении вне некоторой сферы радиуса Во, на которой задано произвольное непрерывное поле скорости Ун, Уе, Уф при условии, конечно, что системы собственных функции = пт п=1, соответствующие собственным значениям а т, полны для каждого азимутального числа п = О, 1, 2.. .., Последнее утверждение можпо доказать в случае Ко = О (А = °о). [c.309]

Общие теоремы, доказанные в 2, позволяют доказать разрешимость рассмотренных выше задач для произвольного значения частоты колебания в случае бесконечной области (внешние задачи). В этом состоит принципиальное отличие внешних задач колебания от внутренних и это существенное свойство внешних задач есть следствие условия излучения, которое исключает собственные колебания бесконечной области. [c.306]

Отсюда ясно, что в данном случае задачи термоупругости, которые приводят к задаче (4.73) (см. 2, п. 6), в области О не имеют собственных частот, и внутренние неоднородные задачи разрешимы для произвольных граничных значений из допустимого класса. [c.419]

Равенство (7) может рассматриваться как обобщенное определение квазиоднородного векторного поля для произвольной матрицы С с собственными значениями в правой полуплоскости, где под лР подразумевается следующая матричная экспонента = ехр(С 1о /х). В этом случае степень ш играет формальную роль. [c.92]

Задача (4.48) для переменных /1, 1, N1, (5, Р, Уг, Рг является линейной однородной с нулевыми краевыми условиями (4.49). Нетривиальное решение ее удается найти только при вполне определенном значении 6, которое можно назвать собственным значением. Это значение получено для ряда конкретных задач путем численного интегрирования на ЭВМ. Решение оказывается определенным с точностью до одной произвольной постоянной. [c.147]

Система уравнения для /21, 521, /з1, х, 3, Р, Ух, Ф1 при заданном значении а является линейной и однородной. Ее решения существуют только для собственных значений а и определены с точностью до одной произвольной постоянной. В этом можно убедиться, если заметить, что для каждого значения а, задав произвольно, например, /З1, можно найти единственным образом /21, 5 21, /з1, затем 1, Ф1. Первые два уравнения (4.119) дают Рх и Ух После этого остается проверить, удовлетворяется ли последнее соотношение (4.119). [c.179]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение не обязано равняться со (1 —Юп). Однако оператор 2 является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных Юп, в частности для таких ю , которые удовлетворяют уравнению Яя = со (1 — соп). Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возмон ным), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев Рг = О и Ке = О, поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение 0)1 = 1 при всех значениях чисел Ке и Рг, что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности. [c.265]

Следовательно, произведение собственных значений, соответствующих отдельным трансляциям, должно равняться собственному значению результирующей траис.9яции. Последнее условие можно удовлетворить, полагая 0г-=кН г-, где к — произвольный вектор, одинаковый для всех трансляций. [c.67]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Размерность матрищя 6, как правило, большая. Для получения собственных значений необходимо применять вычислительные методы линейной алгебры [14, 38, 52, 54]. Особо следует отметить справочник алгоритмов по линейной алгебре [53], пользующийся заслуженной популярностью в прикладных исследованиях. Поскольку не существует алгоритма вычисления собственных значений, эффективного для матриц любого тина, то всякий раз приходится решать проблему выбора алгоритма. Для вычисления комплексных характеристических показателей линейной системы с матрицей С произвольной структуры следует применять QL- и (ЗЛ алгоритмы. При этом эффективность алгоритмов повышается, если предварительно выполнить процедуры масштабирования и приведения матрицы к почти треугольной форме (форме Хессенберга) [53]. Указанные алгоритмы позволяют получать характеристические показатели с машинной точностью, что особенно важно для исследования устойчивости систем, содержащих исчезающе малые параметры, как, например, параметры малых диссипативных сил. [c.486]

От ЛИШНИХ стационарных точек можно избавиться, прибавляя к функционалу интегралы от квадратов (или перекрестных произведений, если граничные условия парные) левых частей граничных условий, естественных для функционала. Исключение составляет случай, когда допустимые функции удовлетворяют уравнению во всем объеме V. В этом случае свойством достаточности обладают функционалы, представляющие собой просто сумму интегралов (с произвольными весовыми коэффициентами) от квадратов левых частей всех граничных условий, которым допустимые функции не удовлетворяют. Для самосопряженных задач эти же функционалы возникают в методе наименьших квадратов. Применение метода Ритца к таким функционалам приводит к матрицам с попарно близкими (сливающимися в пределе) собственными значениями. [c.183]

Собственное значение Тг = 2 при всех числах Рейнольдса, поскольку это соответствует закону сохранения момента количества движения. Для ге > 2 значения jn оказываются дробными и зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При ReО (Л- < ) собственные значения целочисленные jn = п, и им отвечают собственные функции вида Тп(х) = Dn i - х )Тп-2 х) п>2), где Тп х) — некоторые полиномы степени п, Dn = onst. Нетрудно видеть, что система Г является в этом пределе полной системой функций. Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере радиуса Но можно задать скорость любой регулярной функцией угла 0, в частности произвольной функцией из пространства 2 (1-1, 1]). [c.289]

В ряде случаев удастся доказать и обратное утверждение — что линейная устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову. Так, для уравнения (2.15) справедлива следующая теорема (Л. А. Дикий (1976)) двумерное плоскопарал-лву >ьное течение с монотонным профилем скорости и (г), О г к, в котором и (0) и и (к) не являются собственными значениями уравнения Рэлея, может быть неустойчивым лишь при наличии в дискретном спектре невещественных и.т кратных вещественных собственных значений. Доказательство основано на решении задачи Коши для уравнения (2.15) (при зависимости г] от лг по закону e ) при произвольном 1ачальном значении (2 , 0) = фо(<2) с помощью преобразования Лапласа по времени. Полагая [c.83]

Однородное уравнение, вообще говоря, всегда имеет решения, при некоторых нефизических, в том числе комплексных, Л. Чтобы в этом убедиться, достаточно вьфазить А из уравнения через функцию 3 т) и интеграл — ее свертку с ядром. Для произвольной функции 3 т) можно вычислить значение А, для которого эта функция будет решением уравнения. Однако один набор значений Л выделен тем, что соответствующие решения ограничены. Эти значения А заполняют промежуток [1/У(0),-Ьоо), и можно положить А = 1/У и), и Е [О, оо). Тогда решениями являются экспоненты Указанные значения А образуют непрерывный спектр уравнения, а решения представляют собой собственные функции этого спектра, [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...