Собственное значение в уравнении (е-метод)

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ В УРАВНЕНИИ (е-МЕТОД) [c.24]

С практической точки зрения весьма важно то обстоятельство, что мы можем записать каноническую матрицу плотности в произвольном представлении (для микроканонического ансамбля это невозможно в силу его сингулярной природы). В самом деле, чтобы выч слить рт В виде (4.3.17) либо Z в виде (4.3.16), необходимо знать собственные значения гамильтониана, т. е. решить уравнение Шредингера для S, что практически неосуществимо для нетривиальных систем. Напротив, если исходить из выражений (4.3.18) и (4.3.19), то можно выбрать в качестве базиса любой подходящий набор ортонормированных функций, вычислить матричные элементы гамильтониана Й для зтого базиса (что всегда осуществимо), а затем воспользоваться каким-либо удобным методом приближенных вычислений. Одно это уже дает представление [c.140]

В первой главе изложен метод, в котором роль собственного значения играет диэлектрическая проницаемость. Метод применим к задаче дифракции на диэлектрическом теле. Функции Ып удовлетворяют однородному волновому уравнению, в котором диэлектрическая проницаемость е тела заменена на собственное значение е . Функции и ортогональны при интегрировании по телу, а коэффициенты А содержат в знаменателе разность е — е . Если в системе нет никаких потерь или есть только диэлектрические потери, т. е. потери, обязанные комплексности е, то е вещественны. Для открытых резонаторов и вообще для задач дифракции, в которых есть потери на излучение, 1т е > О, т. е. е является диэлектрической проницаемостью некоторого активного (выделяющего энергию под действием поля) тела. Аппарат е-метода легко обобщается на задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах. В частности, этот метод применим и к квантовомеханической задаче рассеяния на потенциальном поле, которая коротко рассмотрена в 7 и 20. [c.13]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Как уже отмечалось, если в однородной задаче е-метода можно написать трансцендентное уравнение для собственного значения, то собственное значение в [c.216]

Для подготовки применения ее в дальнейшем к решению задачи на собственные значения, соответствующей уравнениям (4.111), методом последовательных приближений запишем произведение [c.300]

Система конечно-разностных уравнений (4.59) и (4.60) есть многогрупповая задача на собственное значение, которую следует решать методом внешних итераций, описанным в разд. 4.4.4. Решение дает эффективный коэффициент размножения вместе с соответствующей собственной функцией <р для каждой группы, т. е. — 1,2, В рассматриваемом случае схема внешних [c.153]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений - корни уравнения (6.61). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (6.2). Уравнение (6.61) позволяет определять критические силы как статическим (при со = 0), так и динамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (6.61) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ох (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 17 одна полуволна в направлении оси ох и множество полуволн в направлении оси оу). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (6.61) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и динамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.220]

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Пример 7.10. Возможности МГЭ проиллюстрируем решением задач устойчивости и динамики рассмотренной системы (рисунок 7.18,е). Собственные значения конструкции определяются как корни трансцендентного уравнения (3.2), где, в отличие от метода перемещений, отсутствуют точки разрыва 2-го рода. Пусть сжимающая сила приложена к модулям 1-0 и 3-0 (рисунок 7.18,к). В матрицей системы уравнений (7.134) необходимо менять фундаментальные функции по методике п. 7.5. При определении критической [c.488]

Метод обратных итераций. Пусть нужно найти собственный вектор е, отвечающий собственному значению X, для которого известно достаточно хорошее приближение X. Одним из эффективных методов решения этой задачи является метод обратных итераций. В этом методе приближения к е определяют последовательным решением систем уравнений [c.132]

Чтобы завершить обсуждение общей формулы для квантового интеграла столкновений, осталось выяснить, как вычисляются матрицы Т" Е). Формула (4.2.35) выражает Т" Е) через резольвенты R" E). Поэтому, вычислив резольвенты, мы сможем найти и Т-матрицы. Однако в большинстве практических задач этот метод неудобен, так как фактически нужно знать собственные функции и собственные значения двухчастичного гамильтониана /i2- Другой метод состоит в нахождении Т-матрицы из уравнений [c.272]

В такой постановке отличие от уравнений (8,26) метода собственных частот состоит только в том, что собственным значением является не а е. При этом вне диэлектрика уравнение не содержит собственного значения. [c.92]

Отметим, что уравнение для собственных частот кп в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту к на собственную частоту кп, а е на е. Уравнение для кп сложнее, чем уравнение (9.16) для 8 , в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для кп по сравнению с уравнением для е связано с тем, что в волновое уравнение для вне тела собственное значение метода собственных колебаний кп входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого. [c.97]

При решении конкретных задач какой-либо вариант обобщенного метода обычно оказывается в некоторых отношениях проще, чем метод собственных частот. Если задача сводится к трансцендентному уравнению, то уравнение это во всех методах одинаково, однако решать его не относительно частоты, а относительно какого-либо другого параметра обычно проще. В некоторых методах достаточно бывает лишь вычислить левую часть уравнения — эта величина при правильно записанном уравнении сама уже есть искомое собственное значение, т. е. полностью определяет резонансную кривую. Для систем с потерями часто удается избежать вычислений в комплексной области. Например, если диэлектрическая проницаемость тела комплексна, то целесообразно применять метод, в котором собственным значением является именно величина диэлектрической проницаемости— это собственное значение вещественно (если в задаче дифракции нет других потерь, кроме диэлектрических) и находится из вещественного уравнения. Ана- [c.8]

Во всех вариантах метода, описанных в книге, решение задачи дифракции (т. е. решение неоднородного уравнения) ищется в виде ряда типа (1.4), и различные варианты отличаются тем, как вводятся собственные функции т. е. решением каких однородных задач они являются. И уравнение, и граничные условия для должны быть однородными. Если уравнение для будет отличаться от уравнения для [/ только отсутствием правой части, а граничные условия для будут теми же, что и для и, то будут, вообще говоря, тождественно равны нулю. Для того чтобы получить систему ы , надо изменить либо уравнение, либо граничные условия и ввести в них некоторый свободный параметр, который будет играть роль собственного значения. [c.12]

Если теперь в (1.12) заменить обозначения К и) на kP-, а W — на W[и) и разрешить это соотношение относительно W u), то получится (1.9). Эта формальная процедура, обоснованная в третьей главе, соответствует соотношению между однородными задачами в fe-методе (собственное значение есть kl, w есть параметр задачи) и в да-методе [kP- есть параметр задачи, w — собственное значение). Во всех вариантах обобщенного метода стационарные функционалы могут быть получены из некоторого уравнения, содержащего параметры kP-, е, w, р, р, если разрешать это уравнение относительно соответствующего параметра и рассматривать правую часть как функционал. [c.15]

ТО они будут различными в разных методах. Подробнее вопрос о резонансных кривых одной и той же задачи в разных методах мы обсудим в 19, здесь лишь заметим, что обе функции в (8.43) одинаково хорошо описывают окрестность резонанса в высокодобротных системах. Во всех случаях следует применять тот метод, который удобнее всего для вычислений, в первую очередь для вычисления собственных значений. Если, например, собственные значения находятся прямо из трансцендентного уравнения, то выбор метода (8.40), (8.41) или (8.42) определяется тем, как входят в трансцендентное уравнение е и (х. Если из уравнения легче найти е, чем (X, то надо применять (8.40) и т. д. [c.83]

Все сказанное об условиях резонанса в 9—10 для хо- и р-методов полностью относится и к рассматриваемому случаю. А именно, резонанс происходит, когда собственные значения, например, как функции частоты, становятся близкими к значениям соответствующих параметров в задаче дифракции, т. е. когда р (й) близко к Р и <Хп к) близко к а. Так как в системе имеются потери на излучение, то резонансы всегда конечны собственные значения имеют положительную мнимую часть (доказательство этого факта проводится примерно так же, как и 10), и поэтому уравнения [c.121]

Собственные значения s определяются т того же трансцендентного уравнения (19.5), в котором теперь k — заданное число, а искомым является е. Решать уравнение (19.5) относительно s всегда проще, чем относительно k. Существенное упрощение появляется в случае, если в исходном уравнении (19.1) s комплексно тогда для -метода уравнение (19.5) становится комплексным, а для 8-метода остается вещественным. [c.204]

С помои ью кругового полярископа (с присутствием пластинок Я/4) определить разность главных напряжений в любой точке модели, а с помои ью плоского полярископа без пластинок Я/4 — картину изоклин. Однако этого еи е недостаточно для того, чтобы найти собственные значения главных напряжений сг и сга. Для разделения напряжений прибегают к достаточно трудоемким работам, связанным с численным интегрированием дифференциальных уравнений равновесия. Эта задача суи ественно упростится, если в эксперименте удастся определить сумму главных напряжений сг + сга. Для этой цели может быть применен интерферометрический метод измерений. [c.254]

Собственно конструирование сплайна является простой и стабильной процедурой. Нужно решить систему 4п линейных алгебраических уравнений для коэффициентов. Если оба свободных коэффициента используются на одном конце сплайна, то его построение тривиально, поскольку можно постепенно двигаться от этого узла к другому, определяя три коэффициента из условий непрерывности, а четвертый — из значения потенциала в очередном узле для каждого интервала. Процедура усложняется, если, как это обычно и бывает, два свободных условия используются на разных концах. Тогда приходится решать систему уравнений целиком, что, впрочем, не составляет проблему даже для очень больших значений п. Уравнения всегда могут быть расположены таким образом, что соответствующая матрица будет симметричной и трехдиагональной , т. е. все ненулевые члены будут расположены в ней на диагонали и двух прилегающих к ней линиях . В этом случае система элементарно решается любым прямым методом, например методом приведения Гаусса с обратной подстановкой (см. разд. 3.3.2.1). [c.176]

В дальнейшем В. Л. Рвачев [223] предпринял попытку решить указанную задачу при отсутствии пригрузки. Он свел ее к задаче на собственные значения для некоторого дифференциального уравнения на сфере. Для определения собственных значений был использован метод Галеркина. Полученное таким образом решение в вершине клина имеет особенность г - , где 0< у(ос) < 1, 2а — угол раствора клина. [c.205]

К счастью, на практике мы часто приближенно вместо бесконечного числа уравнений можем с успехом ограничиться одним или двумя уравнениями или (что дал<е более валено) одним или двумя членами в разложении потенциальной энергии (одним-двумя коэффициентами Но). В этом и состоит объяснение секрета практической полезности развитого здесь метода. Например, в случае двух уравнений детерминант из коэффициентов С будет типа 2 X 2, и соответствующее уравнение, полученное приравниванием этого детерминанта нулю, сразу дает два корня — собственные значения энергии г. Зная эти два корня, легко далее найти решение для отношения двух коэффициентов С. [c.319]

Поэтому здесь вполне можно ограничиться изучением обычной задачи на собственные значения для уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28). Первые попытки такого изучения, предпринятые (с помощью не очень строгих математических методов) около 1910 г. рядом авторов (В. Орр, А. Зоммерфельд, Р. Мизес, Л. Хопф и др.) в применении к плоскому течению Куэтта с линейным профилем скорости, привели к выводу, что это течение является устойчивым при всех числах Рейнольдса. Этот вывод казался, с одной стороны, довольно естественным (так как Орром (1906—1907) было доказано, что при отсутствии вязкости течение Куэтта устойчиво, а действие вязкости, естественно, предполагалось стабилизирующим) но, с другой стороны, он явно противоречил эмпирическим фактам о турбулизации всех известных течений при достаточно больших числах Рейнольдса. В начале 20-х годов Прандтль (1921) и Тить-енс (1925) рассмотрели вопрос об устойчивости течений с профилем скорости, составленным из отрезков прямых, и пришли к совсем неожиданному выводу, что при наличии вязкости такие течения будут неустойчивыми при любых (в том числе и сколь угодно малых) числах Рейнольдса. В те же годы появилась большая работа Гейзенберга (1924), посвященная исследованию с помощью метода малых колебаний устойчивости плоского течения Пуазейля. В этой работе с помощью тонкого исследования 1асимптотического поведения решения соответствующего уравнения ОрраЗоммерфельда при большом Ке (т. е. малом V) был получен казавшийся в то время парадоксальным (но оказавшийся тем не менее правильным) результат о том, что течение Пуазейля, которое при отсутствии вязкости будет устойчивым по отношению к малым возмущениям, в случае вязкой жидкости при достаточно больших числах Рейнольдса становится неустойчивым. Результат Гейзенберга, однако, долго вызувал серьезны сомнения, и доказательства устойчивости [c.125]

Постановка задачи. Уравнение Шре-дингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения - сложная математическая задача, которая не может быть выполнена с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения задач, т. е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений. [c.232]

Для того чтобы стационарное пламя устойчиво распространялось по равновесной в походном состоянии смеси, необходимо, чтобы вблизи начального состояния отсутствовала химнческая реакция (У = 0). Линеаризуя систему уравнений п ее первые интегралы около решений, соответствующих равновесным состояниям, получим системы уравнении, позволяющие исследовать характер особых точек, соответствующих равновесным состояниям. На рис. 5.2.1 дана схема ноля интегральных кривых в плоскости (б, Ti), где = dTJdx, при тепловом режиме распространения пламени. В данном случае особые точки о ъ d являются седлами. Линейное решение позволяет по сепаратрисе выйти из начальной особой точки о. Последующее численное решение, описывающее переход в конечное равновесное состояние, и вычисление собственного значения —скорости пламени можно строить методом пристрелки. [c.416]

Пусть функция а у) аналитична при Imy <2. Медленное решение 2=0, y=Et=r пересекает границу устойчивости при т=0. Собственное значение Xi=t—i обращается в нуль при т = 1, дуга L, состоит из двух отрезков, соединяющих точки т =—1 и т+=1 с точкой x — i ( Г — от riti al). Пусть асимптотический момент падения то для быстро-медленного решения z t) лежит левее —1. Тогда z(—1/е)=0(е). Чтобы вычислить (1/е), удобно перейти на плоскости т из точки —1 в точку 1 по дуге L.. Для z получается линейное уравнение с чисто мнимым собственным числом, обращающимся в нуль при x=i. Вдали от точки i величина 2 испытывает лишь колебания порядка е. Существенное изменение [z] набирается в окрестности точки i и легко подсчитывается методом стационарной [c.198]

Как в спектральных, так и в прямых методах интегрирования уравнений движения петли ГЦК необходимо располагать представительным (для получения достаточной точности) набором форм и частот ее собственных колебаний. Решение проблемы собственных значений МКЭ для петли ГЦК вьшолнено изложенным выше блочно-степенным методом. [c.196]

Следовательно, полученное распределение будет собственным решением уравнения (4.81а). Этот способ позволяет рассчитать также собственные значения и, следовательно, как было показано выше, дифракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первоначальное распределение поля представляет собой четную функцию величины I, то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначальное распределение поля должно быть нечетной функцией величины . В качестве примера на рис. 4.21 Приведены результаты, полученные для амплитуды поля U = U x/a,N) в случае, когда начальное распределение поля Ui выбрано однородным и симметричным (т. е. Ui = onst). При N = 6,25, чтобы достичь стационарного решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. = 1 при 0[c.194]

X 6L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 2L-E(ju) X 2Ь-Е /л) матрицы. В рассмотренном далее примере краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения, а при численном решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с предварительным приведением матрицы коэффициентов системы (8.6.26) к форме Хессснберга [353 ]. При вычислениях принималось L = 6, что согласно оценкам, полученным в предыдущих разделах, достаточно для обеспечения высокой точности результата. Данные о скорости сходимости метода относительно параметра /г приведены ниже. Расчеты выполнены с использованием МВК Эльбрус-2. [c.272]

Штраубель продолжил исследования длительным анализом влияния химического состава на коэффициент Пуассона и влияния на него твердости в терминах твердости по Ауэрбаху (Auerba h [1894,1]) (измерявшего модуль Е методом проникновения инден-тора в образец). Штраубель нашел, что различия в значениях коэффициента Пуассона между его собственными, непосредственно определенными, п значениями, найденными Ауэрбахом и Винкельманом из уравнения Е Е —v ), достигали в отдельных случаях 37,3%, а при усреднении данных достигали 16,2%. Сравнивая деформации и напряжения при одноосном сжатии по линейной теории, Штраубель принимает гипотезу Стокса — Бока, по которой коэффициент Пуассона должен возрастать до 1/2 в точке плавления, и предполагает, что это можно связать с показателем твердости по Ауэрбаху. [c.378]

Укажем в заключение на различие и сходство в задачах об определении зависимости адиабатического потенциала от нормальных координат Ш Q) и зависимости энергии зонного электрона в кристалле в зависимости от компонент импульса Е (к). Обе эти величины суть собственные значения уравнения Шредингера с.параметром Q или к), симметрия которого определяется значением этого параметра. Задача для W прош е, чем задача для Е, в том смысле, что она относится к точечной, а не пространственной группе и в ней не возникает сложностей, связанных с трансляциями и нагруженными представлениями. Однако задача для суш е-ственно сложнее в том смысле, что симметрия к-пространства всегда одинакова (группа кристаллического класса), в то время как симметрия -пространства зависит от колебательного представления. Метод, предложенный в настояш ей работе для написания секулярного уравнения, может быть использован в теории зон и представляет в этом смысле общую формулировку приемов, использованных для частных случаев в [ ]. [c.8]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

Рассмотрим задачу о закрытом резонаторе, частично заполненном диэлектриком. К такой задаче можно применить I вариант р-метода, введя собственное значение р в условия на границе диэлектрика 5р. Для Е- и Я-поляризаций ситуации различны. В случае -по-лярнзации на 5р в задаче дифракции должны выполняться условия непрерывности функции и ее нормальной производной (а на границе резонатора н 8 = 0). В однородной задаче нужно заменить уравнение (16.1) на [c.171]

Мы рассматриваем не все задачи, затронутые в главах I и II, а только наиболее типичные и, может быть, наиболее важные из задач, допускающих сведение к уравнениям Фредгольма в Ь 8) или Ь У+), где К+ — область, ограниченная поверхностью (или кривой) 5. Подробный разбор всех вариантов этих задач занял бы слишком много места. Все вторичные математические трудности мы устраняем, предполагая поверхность 5 гладкой и замкнутой, т. е. не имеющей ребер и отверстий, а диэлектрическую проницаемость г х) — меняющейся скачком при переходе через 5. (Таких трудностей особенно много в конкретных прикладных задачах, которые разбирались в главе IV.) К сожалению, в отношении задач, рассмотренных в 6 и 8, пока удалось выяснить очень немногое, и мы о них здесь не будем говорить. Не проанализирован также формальный метод Ритца отыскания стационарных точек функционалов (см. гл. III). Отметим, что другие методы вычисления собственных значений несамосопряженных операторов описаны, например, в [10], [14]. [c.297]

Теория упругой устойчивости разработана весьма основательно и располагает рядом эффективных методов. Один из методов определения критической нагрузки заключается в следующем полагая, что при некотором значении параметра нагрузки у возможно появление искривленной формы равновесия пластинки, составляют дифференциальное уравнение изгиба с учетом внешних сил Т, = уТ1 Т2 = уТ1 8 = у8 которые приложены в срединной плоскости пластинки и при ее искривлении дают составляющую р, нормальную к срединной плоскости пластинки. Решение такого уравнения, содержащего у в качестве параметра и удовлетворяющего всем граничным условиям, сзществует только при некоторых определенных значениях параметра у, которые называют собственными значениями задачи. [c.74]

Вычисление собственных значений и функций для больших значений п с помощью рассмотренного метода затруднено. В связи с этим Селлерс, Трайбус и Клейн Л. 7] построили асимптотическое решение уравнения (6-7), положив е —-се. Были получены следующие выражения для собственных значений, собственных функций и постоянных [c.83]

Рассмотрим некоторое значение %, и пусть Я,.у < Я, < Xw+t, т. е. существует N собственных значений, меньпшх чем Я,. Вопрос заключается в следующем можно ли указать некоторые общие свойства асимптотического распределения собственных значений при больших значениях N1 Известны два подхода к решению этого вопроса. Первый из них основан на использовании вариационных методов [189], вто-юп — на использовании теорем тауберова типа (см., например, 9, 190]). С помощью этих методов удается, в частности, определить число N %) собственных значений Я.<, заключенных в области h[c.233]

При описании формы контура центральной части линии [9, 20] главное упрощение — замена 5 матрицей рассеяния тотчас же приводит к дисперсионному контуру. Для крыла линии сразу же решается третья из ранее перечисленных задач, так как появляется возможность оценить интеграл по t методом стационарной фазы. Это влечет за собой радикальное упрощение и квантовой и классической задач. Первая сводится только к решению уравнения (эквивалентного золотому правилу Ферми) En(t) — Em(t) = где Е П, Егп — собственные значения гамильтониана взаимодействующих молекул. Для классической задачи уже не нужно знать всю траекторию — достаточна ее малая часть около корня последнего уравнения, где возможна аппроксимация прямолинейным участком. Наконец, в рассматриваемой асимптотике система уравнений для Ф [c.86]

Новая жизнь солитона — одного из самых привлекательных объектов современной физики — в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11]. Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21], которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение Шредингера дх - -- - и х) - -е]Ф = О в случае, когда потенциал U x) положительно определен и спадает до пуля при х оо, имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...