Собственное значение существование

Оно имеет период 2тг, если а и 6 выбраны постоянными, и тогда решение (8) является тривиальным разложением но степеням функций и при А = г. С другой стороны, теорема существования 14 дает прямое разложение в ряд решения но степеням е и е с а = А +..., причем А есть чисто мнимое собственное значение. Очевидно, что решению (8) могут соответствовать собственные значения г. Впрочем, фактически у пас г являются даже многократными корнями, в связи с тем, что в решении (8) а и 6 могут быть линейными функциями времени но это замечание нока еще нельзя доказать, так как в 14 шла речь только о простых собственных значениях. Существование собственного значения А = О также имеет свою причину мы йотом покажем, что это следует из интеграла площадей. [c.156]

Можно показать [26], что ядро интегрируемо с квадратом и поэтому, применяя теорию симметричных интегральных уравнений Фредгольма, приходим к доказательству существования (когда область конечна) дискретного спектра собственных значений (иначе говоря, частот собственных колебаний), которые являются вещественными и, более того, положительными числами ). [c.571]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

В 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора / являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны ). [c.173]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение (3.4 ) при однородных граничных условиях имеет нетривиальные решения (см. приложение I). [c.81]

Таким образом, задача определения условий существования изгибных состояний равновесия первоначально плоской пластины свелась к типичной задаче на собственные значения требуется найти те значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение имеет отличные от тождественного нуля решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям. [c.146]

Полученная система N уравнений линейна и однородна относительно варьируемых параметров с,-. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Равенство нулю определителя однородной системы уравнений приводит к характеристическому уравнению, которое относительно параметра нагрузки Р имеет N-v) степень N корней этого характеристического уравнения дают приближенно N первых собственных значений Р . Для каждого из этих значений из системы (4.59) все варьируемые параметры можно выразить через какой-нибудь один (например, /-й) и, используя выражение [c.169]

Таким образом, задача определения условий существования изгибных форм равновесия (смежных с исходной круговой) кругового кольца, находящегося под действием равномерной гидростатической нагрузки, свелась к типичной задаче на собственные значения. [c.226]

Приведенное заключение позволяет утверждать, что о существовании периодического решения у системы (17) можно судить по собственным значениям матриц H[k], используемых в п. 2 6 алгоритма 1 —4. Исследование собственных значений матрицы [c.78]

Подстановка (6.2.21) в граничные условия (6.2.19) приводит к системе однородных алгебраических уравнений для определения постоянных j. Из условия существования ненулевого решения определитель, составленный из коэф-фициентов при Ср должен быть равен нулю, что и дает уравнение для определения собственных значений. В рассматриваемом примере получим sin t/=0. Следовательно, собственные значения 1Сп=пк/1, п—, 2,... [c.335]

Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки. При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально некоторому параметру Л > О — параметру нагружения. Тогда функции докритического состояния 7 , Л1 ,...) и коэффициенты уравнений устойчивости зависят от Л. Следовательно, задача устойчивости свелась к задаче на собственные значения. В качестве критического значения следует взять наименьшее (положительное) [c.43]

Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69]

Основной задачей при этом является нахождение решения характеристического уравнения (11.1.4), удовлетворяющего условиям непрерывности тангенциальных составляющих полей на диэлектрических поверхностях раздела и граничным условиям на бесконечности. Для данного профиля показателя преломления п х, у) существует, вообще говоря, бесконечное число собственных значений 13 , соответствующих бесконечному числу мод. Однако лишь конечное число этих мод обычно удерживается вблизи сердцевины и беспрепятственно распространяется вдоль волновода. Одним из необходимых условий существования волноводной моды является отсутствие потока энергии в поперечном направлении, что эквивалентно [c.440]

Все эти уравнения допускают тривиальное решение / = О, что соответствует существованию прямолинейной формы равновесия. В теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений соотношения (11.11)-(11.13) при р[х) = О (или 5 = 0, р х) = Pof x) где f x) — заданная функция) вместе с соответствующими однородными граничными условиями называются задачами на собственные значения S (или ро). Они могут иметь бесконечное множество нетривиальных решений [собственных функций собственных форм) Уп х) (п G N) при S = Sn (ро = [c.375]

Переходя теперь к резонатору, следует отметить, что наличие анизотропии приводит к появлению еще одного требования, накладываемого на моды резонатора состояние поляризации на любой выбранной отсчетной плоскости после полного прохода резонатора должно воспроизводиться (в качестве такой отсчетной плоскости обычно выбирают выходное зеркало). Подобно тому как требование воспроизведения распределения амплитуды и фазы поля [т. е. существование мод резонатора (см. п. 2.1)] приводило к решению задачи на нахождение собственных значений некоторого интегрального уравнения, воспроизведение поляризационного состояния излучения математически может описываться задачей нахождения собственных значений матрицы Джонса / резонатора для полного прохода. Последняя определяется как произведение соответствующих матриц элементов резонатора, записанное справа налево в порядке прохождения излучением (рис, 2.26). [c.90]

Легко видеть, что Я = О и в самом деле является собственным значением, причем это собственное значение пятикратно вырождено. Последнее свойство непосредственно следует из существования пяти инвариантов столкновений и доказывается при помощи незначительного видоизменения выкладок, проведенных в разд. 12.3. Пять независимых полиномов 1, v , Vy, i и в самом деле являются решениями уравнения (13.1.13), отвечающими значению А, = О, Из них легко построить пять взаимно ортогональных [c.88]

Для существования нетривиальных решений системы (13.3.13) необходимо, чтобы собственное значение X удовлетворяло дисперсионному уравнению [c.97]

В 3 было указано, что степенные потенциалы очень трудны для строгого математического анализа. Единственный достаточна общий результат (неравенство (3.13)) можно получить как следствие первой теоремы 4, применимой также и в случае потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия, если предположить существование (/г, L/г), а не (/г, vA) (последнее в этом случае не имеет смысла). Помимо этого простого и интересного результата, сведения об операторе столкновений при потенциалах с бесконечным радиусом взаимодействия неполны исключение представляет случай максвелловских молекул, для которого можно явно вычислить и собственные значения, и собственные функции. [c.94]

Другим возможным допущением, в котором учитывается указанное выше ограничение на собственное значение Я = 1, является предположение о существовании двух различных собственных значений Хо = I, Х = I — а (О < а 1, /г = 1, 2,. . . ). Тогда [c.111]

Проблема существования и единственности для стационарных задач теории переноса нейтронов имеет ряд отличий. Действительно, поглощение и деление нарушают законы сохранения взаимодействие нейтронов со средой приводит к их уничтожению или рождению (в среднем). В первом случае существование и единственность могут быть доказаны довольно просто [41], во втором же случае они могут иметь или не иметь места в зависимости от размера области, и при этом возникает критическая задача (см. разд. 5 гл. VI). Обсуждение существования и единственности положительного решения соответствующей задачи на собственные значения содержится в работе Мики [42]. [c.448]

Предположение, касающееся существования точечного изображения Р, подтвердилось только частично путем нахождения соответствующего члена первого порядка, определили направление изображения [3.17], но нахождение члена второго порядка позволило определить интервал вдоль этого направления, причем границы интервала даются корнями рх и рг характеристического уравнения собственных значений (3,25). Этот интервал выражает астигматизм изображения Р, т, е. волновое поле основного изображения представляет собой астигматический пучок лучей с фокусами, расположенными на интервале Р . Кроме того, имеется частный случай, из которого непосредственно видно, что интервал Р сводится к одной точке. Фактически, если к = к = с = с, то (3.25) принимает вид Я [c.54]

Уравнение (1.19) есть однородное уравнение Фредгольма с симметричным ядром класса 2 Согласно теореме Гильберта—Шмидта отсюда следует существование дискретного спектра действительных собственных чисел или собственных значений параметра (о для которых интегральные уравнения (1.19) имеют отличные от нуля решения. Эти числа называются собственными частотами соответствующих однородных задач. [c.289]

Таким образом, для существования отличных от нуля первых членов разложений (5.89), (5.90) Ьх/Ьо ф 0) должны существовать некоторые собственные значения а, при которых переопределенная система уравнений (5.92) имела бы решение. Численное интегрирование систем (5.91), (5.92) показало, что в интервале О < а < 70 для каждого значения Со имеется лишь одно собственное значение а. Для шо = 90°, 74°, 45°, 30° при (7 = 1 и = 0,5 это значение с точностью до двух знаков соответственно равно а = 24 22 12 7,7. Численное интегрирование системы (5.88) с начальными условиями, соответствующими нулевым членам разложений (5.89), (5.90) показало [Козлова И.Г., Михайлов В.В., 1970], что подобная задача некорректна. Отход от кромки = 1 с помощью двух членов ряда (5.89) (точность контролируется двумя последними уравнениями системы (5.88)) дает однопараметрическое семейство решений, зависящих от величины Ь /Ьо. [c.223]

До сих пор считалось само по себе разумеющимся существование у уравнения (7.14.4) собственных функций. Доказать, что такие функции действительно существуют, — непростая задача. Действительно, поскольку ядро К12 интегрального уравнения не является эрмитовым, мы не можем использовать результаты хорошо развитой теории эрмитовых операторов. Эта проблема явилась своеобразным вызовом изобретательности математиков, которым в конце концов удалось доказать существование собственных значений уравнения (7.14.4) [28]. [c.530]

Условие (14-7) приводит к линейной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов 5,, из которой эти коэффициенты и могут быть определены. Собственные значения находятся из условия существования нетривиального решения упомянутой системы уравнений. В результате получим выражения для собственных функций с точностью до постоянного множителя, который затем находится из условия нормирования [c.261]

Стохастическая сходимость является следствием того, что при приведенных условиях вероятность перехода за п шагов pW uj при /г ОО. На языке теории матриц условие (7) означает, что вектор (м ) есть левый собственный вектор матрицы (р ), отвечающий единичному собственному значению. Если / (х) обладает соответствующими свойствами (достаточно существования ее третьего абсолютного момента), то справедлива центральная предельная теорема цепей [c.277]

Найденные таким образом значения А и В откладываем в виде точек и соединяем их с началом координат. Получим, как видно, всего пять лучей, крайние из которых образуют сектор, ограничивающий некоторую площадь, внутри которой и находятся все три искомых истинных значения коэффициентов Л и В квадратных трехчленов. Все описанные здесь операции должны быть осуществлены до того, как приступим к поискам собственных значений, так как они сужают область этих поисков. Отсюда ясно, что на основании этих простых соображений, задача установления области существования решений вовсе не является такой неопределенной, как это казалось на первый взгляд. [c.115]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Можно показать, что у динамической модели, имеющей d-кратное собственное значение, из соответствующих ему d орто-нормированных собственных форм d — 1 форм могут быть построены так, чтобы в каждой из них произвольная /-я (/с-я) компонента равнялась пулю. Указанное является принципиальной предпосылкой существования у модели такого машинного агрегата рассмотренных выше собственных форм, соответствующих нормальным колебаниям, инвариантным относительно локализованных возмущений. При использовании условий (18.23) иредиола-тается, что ортонормированные собственные формы динамической [c.286]

В уравнения возмущений вещественный параметр входит только в квадрате (а ). Для случая нейтральных возмущений =0) используется задача собственнь значений (16), позволяющая определить положительные величины Последние находятся решением краевых задач (16) и (17). При i Ф О прежде всего представляет интерес вопрос о существовании решений для нарастающих во времени возмущений (р >0). [c.264]

Для краев трещины, свободных от приложенных напряжений, получаем условия, при которых 090 (напряжение, нормальное к поверхности трещины) и (сдвиговое напряжение на поверхности трещины), когда 0 = 0, или 2л равны нулю. Из этого следует, что в вышеприведенных формулах F (0) = F (2я) == F (0) = = F (2л) = 0. В формуле Уиллиямса для F (0) существует четыре неизвестных постоянных 6,- (Ь , Ь , Ь , Ь ), и граничные условия дают четыре уравнения. Для существования решения детерминант из коэффициентов 6 четырех уравнений должен обращаться в нуль. В общем для V-образного надреза с углом а приравнивание детерминанта нулю приводит к уравнению собственных значений [c.71]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Высокая чувствительность пшрокоапертурных плоских резонаторов к светорассеянию может быть истолкована примерно в том же ключе, что и чувствительность к малым крупномасштабным аберрациям. Мы уже упоминали о том, что такие резонаторы имеют совсем малые, по сравнению с устойчивыми, разности собственных значений, а с ними и частот. В результате наличие даже слабой связи (за счет светорассеяния) одновременно между множеством мод с близкими частотами приводит к их объединению в комплексы с единой частотой. Такие комплексы, порой действительно состоящие из огромного числа мод идеального резонатора со случайно распределенными амплитудами и фазами, и представляют собой моды резонатора со светорассеянием (экспериментально их существование было показано автором и Седовым в [64]). [c.165]

В общем случае элементы матрицы Ащ и у — комплексные числа. Матрицы у и а подобны. Блоки матрицы А , являющиеся собственными векторами напряжений и токов падающих и отраженных волн, трансформируют а или к у , следовательно, а — матрица простой структуры или диагонилизн-руемая матрица [41]. Последнее обстоятельство имеет в отношении многосвязных полосковых структур очевидную физическую интерпретацию в виде существования в МСПЛ квази-Т волн с коэффициентами распространения yi, у2,. .., уп. Практически всегда, если в МСПЛ учитываются все возможные связи между полосками и потерн, отсутствует кратность собственных значений у матрицы а. Волны, имеющие коэффициенты распространения yi, у2..... Уп, представляют собой, по [c.19]

Кривые плоскости 5, ограничивающие область существования дискретных собственных значений, в случае БГК-мо<дели были исследованы Р. Мэсоном [28]. [c.354]

Существование собственных значений строго показано в работе М. Р. Уховского и В. И. Юдовича [ ]. Критические числа Рэлея образуют счетную последовательность [c.26]

Рассмотрим простейший открытый резонатор, образованный двумя плоскими прямоугольными зеркалами с размером — й2= а и базой L > а. Воспользуемся известными результатами существования стоячей электромаг-нитной волны в полом резонаторе с указанными параметрами открытого резонатора. Согласно решению уравнений Максвелла, собственные значения частот резонатора равны [c.42]

Пусть гамильтониан Н задан в представлении (2.10), причем собственные значения как матрицы А, так и матрицы С различны, а матрица В невырождена (detB ф 0). Тогда для существования дополнительного квадратичного, независимого с Н, Рг, 2 интеграла движения [c.192]

Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при (1 = О во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества периодических решений в огра- [c.794]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...