Моды резонатора

Решение 1. В дипольном приближении 4-потенциал поля электромагнитной волны A t, х) = (О, h t)). Разложение поля по модам резонатора дает [c.287]

В первом приближении моды резонатора типа Фабри — Перо можно представить себе как суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси резонатора. При таком допущении нетрудно получить резонансные частоты, если наложить условие, что длина резонатора L должна быть равной целому числу полуволн, т. е. Т = т(/./2), где т=1, 2,. . . . Такое условие необходимо для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электромагнитной стоячей волны было равным нулю. Поэтому резонансные частоты равны т = = т(с/2Т). Разность частот, соответствующих двум последовательным модам, равна Ат = с/2Т. Эти две моды отличаются одна от другой распределением поля вдоль оси резонатора (т. е. в продольном направлении). Поэтому такие моды называют продольными. Кроме продольных мод в резонаторе осуществляются и поперечные моды, которые дают распределение поля в плоскости, перпендикулярной к оси резонатора. [c.281]

Задолго до создания лазеров были хорошо изучены типы колебаний в объемных резонаторах, широко используемых в сантиметровом диапазоне длин волн. Идеальный объемный резонатор представляет собой замкнутую полость с идеально проводящими стенками, в которой может находиться непоглощающая среда. Электромагнитное поле в таком резонаторе можно получить путем решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. В результате оказывается, что поле в резонаторе может быть представлено как суперпозиция отдельных типов колебаний, или мод резонатора. Напряженность поля каждой моды изменяется гармонически во времени и имеет вид [c.282]

Перейдем от идеального резонатора к реальному с потерями энергии на стенках полости или в находящейся в ней среде. Для этого рассмотрим идеальный резонатор, в котором возбуждена какая-то одна мода, и в некоторый момент времени мысленно включим потери. Тогда амплитуда поля станет убывать и одновременно будет несколько изменяться ее относительное распределение в разных точках резонатора. С течением, времени относительное распределение амплитуд будет стремиться к некоторому устойчивому предельному относительному распределению, которое и называют модой резонатора с потерями. Амплитуда такой моды в каждой точке резонатора убывает экспоненциально с одной и той же постоянной затухания. В отличие от идеального резонатора колебания каждой моды резонатора с затуханием могут происходить в пределах резонансной полосы частот, ширина которой тем меньше, чем меньше потери энергии в резонаторе. [c.282]

Рис. 108. Частоты мод резонатора со сферическими зеркалами (ri = r2 = 3d). Сверху указаны значения индексов pul

Величина коэффициента усиления при стационарной генерации устанавливается вследствие явления насыщения усиления. Выше мы видели ( 3), что оно носит разный характер при однородном и неоднородном уширении спектральной линии рабочего перехода, вследствие чего спектральные свойства генерации оказываются различными, см. рис. 111. Здесь взят наиболее типичный случай, когда ширина атомной линии значительно превышает расстояние между соседними продольными модами резонатора. Для простоты предположено, что в ОКГ выделена одна поперечная мода. В случае однородного уширения (а) стационарная генерация осуществляется только на той продольной моде, которая ближе всего расположена к центру атомной линии vq. На других модах генерация не возникает, так как коэффициент усиления оказывается ниже уровня потерь. Если имеется неоднородное уши-рение (б), то генерация происходит на всех продольных модах, для которых К° ) Кп- [c.292]

Напряженность электрического поля можно представить в виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора [c.361]

Параметры Лазеров подразделяются на внешние и внутренние. Внешние параметры характеризуют излучение, вышедшее из лазера внутренние связаны с процессами, происходящими внутри резонатора с рабочим веществом. К внешним основным параметрам относятся энергия и мощность излучения, длительность импульса, угловая расходимость пучка света, когерентность излучения и поляризации. Помимо этого в ряде случаев необходимо знать распределение энергии и мощности внутри пучка, его спектральный состав и изменение во времени, а также изменение угловой расходимости в ближней и дальней зонах. К внутренним параметрам относятся спектр мод резонатора, усиление и шумы в ряде случаев требуется знать также порог генерации и насыщение. Различные типы лазеров имеют различные параметры, определяющие области их применения в науке и в технике, и в частности в машино-и приборостроении. [c.19]

Как уже указывалось ранее, контур спектральной линии значительно шире частотного интервала между модами резонатора, поэтому в полосу усиления попадает обычно большое количество мод, которые генерируются одновременно. В результате интерференции мод появляются флюктуации интенсивности. Если создать такие условия, когда в процессе генерации участвуют все моды, но с определенным соотношением фаз присущих им колебаний, то при этом происходит генерация весьма коротких импульсов исключительно большой мощности. [c.32]

Наибольшая мощность (45 и 37%) приходится соответственно на излучение длин волн 0,4880 (голубая линия) и 0,5017 мкм (зеленая линия). Суммарная мощность излучения на трубках длиной 50 см составляет несколько ватт. Ширина линий определяется доплеровским уширением, обусловленным высокой ионной температурой (обычно свыше 2000 К). Доплеровская ширина оказывается при этом порядка нескольких тысяч мегагерц, в то время как частотный интервал между модами резонатора равняется нескольким сотням мегагерц, поэтому генерация, как правило, происходит на многих модах. [c.43]

В этих интерферометрах резонатор лазера используется и как измерительный интерферометр, формирующий сигнал измерительной информации. При этом для определения расстояний используется то обстоятельство, что разностная частота между соседними продольными модами резонатора является функцией его длины [c.231]

Данная глава посвящена теории пассивных оптических резонаторов. Под пассивным оптическим резонатором мы понимаем замкнутую полость, состоящую из отражающих поверхностей и содержащую внутри себя однородную, изотропную и пассивную диэлектрическую среду. Напомним, что мода резонатора была определена в разд. 2.2 как стационарная конфигурация электромагнитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Максвелла, так и граничным условиям. При этом электрическое поле такой конфигурации можно записать в виде [c.160]

В отличие от резонаторов, применяемых в устройствах СВЧ-диапазона, лазерные резонаторы характеризуются следующими двумя главными особенностями I) они, как правило, являются открытыми, т. е. не имеют боковой поверхности, и 2) их размеры намного превышают длину волны лазерной генерации. Поскольку длина волны лазера простирается от долей микрометра до нескольких десятков микрометров, лазерный резонатор с размерами, сравнимыми с этими длинами волн, имел бы слишком низкий коэффициент усиления, чтобы могла возникнуть лазерная генерация. Упомянутые выше две особенности оптического резонатора оказывают значительное влияние на его характеристики. Например, то, что резонатор является открытым, приводит к неизбежным потерям для любой моды резонатора. Эти потери обусловлены дифракцией электромагнитного поля, вследствие чего часть энергии покидает резонатор. Поэтому такие потери называются дифракционными. Таким образом, строго говоря, определение моды в смысле (4.1) нельзя применить к открытому оптическому резонатору, и в таком резонаторе не существует истинных мод (т. е. стационарных конфигураций). Однако в дальнейшем мы увидим, что в открытых резонаторах в действительности существуют конфигурации типа стоячих электромагнитных волн, имеющие очень небольшие потери. Поэтому мы будем определять моду (иногда [c.160]

Это выражение можно сравнить с (4.3), которое было получено из простых соображений для одномерного случая. Таким образом, для каждого набора трех значений I, т и п существует вполне определенная мода резонатора с вполне определенной резонансной частотой. [c.188]

Вместо того чтобы изучать общее распределение t/[, рассмотрим распределение U, соответствующее моде резонатора. В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по формуле (4.73), с точностью до некоторого постоянного множителя должно быть снова равно U. Таким образом, в соответствии с (4.73) получаем следующее выражение [c.191]

Если t/г соответствует моде резонатора, то U[(r) = aU r). При этом из предыдущего уравнения находим [c.230]

Займемся теперь выводом явных выражений для величины В, которая входит в уравнения (5.16) и (5.1 в). Строгое выражение для этой величины выводится снова в Приложении Б. Для большинства практических целей подходит приближенное выражение, которое можно получить, исходя из простых соображений. Для этого рассмотрим резонатор длиной L, в котором находится активная среда длиной I с показателем преломления п. Можно считать, что мода резонатора образована суперпозицией двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть / — интенсивность одной из этих волн. В соответствии с выражением (1.7) при прохождении волны через слой dz активной среды ее интенсивность изменяется на величину dI = a N2 — Ni)I dz, где а—сечение перехода на частоте рассматриваемой моды резонатора. Определим теперь следующие величины 1) Т и —коэффициенты пропускания двух зеркал резонатора по мощности 2) а и Ог — соответствующие относительные коэффициенты потерь на зеркалах 3) Ti — относительный коэффициент внутренних потерь за проход. Тогда изменение интенсивности Д/ за полный проход резонатора запи- [c.240]

Величину V мы будем называть эффективным объемом моды резонатора. Заметим, что формула (5.136) обобщает полученное в разд. 4.3 выражение для времени жизни фотона. Кроме того, выражение (5.14) для объема резонатора справедливо лишь приблизительно. На самом деле в Приложении Б показано, что в (5.13а) следует использовать более строгое выражение для V, а именно [c.242]

Действительно, в этом случае, если одна мода резонатора совпадает с максимумом контура усиления, то двум прилежащим [c.258]

Поскольку активная среда имеется только в резонаторе I, уменьшение добротности какой-либо моды в нем может вызвать срыв ее генерации. В то же время добротность моды резонатора II, которая как бы переходит в резонатор /, увеличивается, что приводит к возникновению генерации на ней. После того как вновь загенерировавшая мода займет положение невозмущенной моды резонатора I, интенсивность лазера на этой же моде вновь достигнет максимального значения. [c.234]

Временной интервал между импульсами т,. = (Д 3) 1, где Д 3 — разность между двумя соседними частотами длительность импульса т =(Л Д 3) 1. Продольные моды резонатора как раз представляют собой колебания, собств. частоты к-рых эквидистантны и отделены друг от друга интервалом AQ = /2L(,n. В реальных системах этот интервал —10 Гц. При Л 10 можно получить импульсы длительностью с (ультракороткие импульсы). Число генерируемых мод N определяется хнприном спектральной линии Деи., и мсжмодовымчастотным ин-тервалом Д 2 iV = A D,,/AQ, так что принципиально достижимая длительность импульсов [c.549]

М. м. особенно широко используются в теории оптических резонаторов для составления интегральных ур-ыий, к-рым удовлетворяют поля мод резонаторов, и для описания эволюции рождающихся во многих резонаторах пучков с самовосцроизводящейся (сохраняющей свою форму при распространении) структурой, простейишм из к-рых является гауссов. Распределение ноля гауссова пучка ширины w с радиусом кривизны волнового фронта р пропорционально [c.74]

Селекция продольных нод. Для разрежения (селекции) продольных мод, имеющих одинаковое поперечное распределение поля, но отличающихся частотой, используются резонаторы, содержащие дисперсионные элементы (призмы, дифракц. решётки, интерферометры и ДР-). В частности, в качестве дисперсионного элемента применяют дополнит. О. р., связанные с основным и образующие т. н. эквивалентное зеркало, коэф. отраженна к-рого р зависит от частоты V. Для удаления из спектра одной из продольных мод наиб, пригоден линейный трёхзеркальный О. р. (рис. 6,а), для выде ления в спектре одной продольной моды — резонатор Фокса — Смита (рис. 6,6) и Т-образный (рис. 6,в). В нек-рых случаях удобен О. р. Майкельсона (рис. 6,г). [c.456]

Для увеличения мощности П. г. с. кристалл помещают внутри открытого резонатора, благодаря чему возбуждаемые волны пробегают кристалл многократно за время действия накачки (увеличивается эфф. длина взаимодействия, рис. 3). Перестройка частоты такого резонаторного П. г. с. происходит небольшими скачками, определяемыми разностью частот, соответствующих продольным модам резонатора. На практике используются о дно резонаторные П. г. с., в к-рых обратная связь с помощью зеркал резонатора осуществляется только для одной из воабуждае.чых волн, и двухреао-наторные П. г. с. с обратной связью на обеих частотах 0X1 и сог. Порог самовозбуждения двухрезонаторпого [c.540]

Р. а. применяют в лазерных гироскопах для подавления одной из встречных волн для прецизионного измерения анизотропии оптич. элементов, для чего исследуемый элемент помещают в резонатор и по характеру собств. состояний поляризации резонатора судят об анизотропных свойствах элемента для управления энергетнч., поляризац. и частотными параметрами выходного излучения. В часгности, в Р. а. возможно осуществить селекцию продольных мод резонатора (см. Селекция мод). Для этого в линейный резонатор помещают поляризатор и двулучепреломляющую пластинку, гл. осп к-рой повёрнуты относительно осей поляризатора на угол ф. Модули собств, значений матрицы Джонса обхода такого резонатора равны [c.318]

Бнерация сверхкоротких импульсов. Для генерации СКИ в лазерах используют процесс синхронизации продольных мод резонатора лазера. Для синхронизации мод применяются пассивные и активные методы связывания фаз продольных мод лазера. При одинаковой фазе, навязанной всем продольным модам лазера, синфазное сложение амплитуд электрич, полей приводит к генерации СКИ, длительность к-рых ограничена шириной спектра генерации. В неодимовых лазерах, к-рые обычно используют в Ф. с., достигается генерация СКИ длительностью 10" — 10 с при помещении в оптич. резонатор лазера насыщающихся органич. красителей—для пассивной синхронизации мод, а также акустооптич. и эл.-оптич. модуляторов света—для активной синхронизации мод. В методе активной синхронизации мод сфазирование отдельных продольных мод осуществляется с помощью помещаемого внутрь резонатора модулятора для управления потерями резонатора внеш. периодич. сигналом с частотой, равной или кратной частотному интервалу между продольными модами резонатора лазера [3 ]. [c.280]

Здесь Тс — время жизни фотона в резонаторе (время релаксации квадрата амплитуды электрического поля). Из указанного выше второго свойства оптического резонатора следует, как мы увидим в дальнейшем, что в оптическом резонаторе резонансные частоты расположены очень близко друг к другу. Действительно, в соответствии с выражением (2.14) число мод резонатора N, расположенных в пределах полосы лазерной линии шириной Avo, равно N = Snv KAvo/ = 8я(КД ) (Л> оА), где Л>.о = = K .vol — ширина лазерной линии, выраженная в единицах длины волны. Из приведенного выражения видно, что N пропорционально отношению объема резонатора V к кубу длины волны. Так, например, если v=5-I0 Гц (частота, соответ-ствуюш,ая середине видимого диапазона), V=I см и Avo = 1,7-10 Гц [доплеровская ширина линии Ne на длине волны 0,6328 мкм см. выражение (2.81)], то число мод Л 4-10 . Если бы резонатор был закрытым, то все моды имели бы одинаковые потери и такой резонатор в случае его применения в лазере приводил бы к генерации очень большого числа мод. При этом лазер излучал бы в широком спектральном диапазоне и во всех направлениях, что является весьма нежелательным. Эта проблема может быть решена с помош,ью открытого резонатора. В таком резонаторе лишь очень немногие моды, соответствуюш,ие суперпозиции распространяюш,ихся почти параллельно оси резонатора волн, будут иметь достаточно низкие потери, чтобы стала возможной генерация. Все остальные моды резонатора соответствуют волнам, которые почти полностью затухают после одного прохождения через резонатор. Это главная причина, почему в лазерах применяется открытый резонатор Хотя отсутствие боковых поверхностей означает, что может возбуждаться лишь очень небольшое число мод, все же число генерируемых мод, как мы покажем ниже, может быть значительно больше, чем одна. [c.161]

Интересно заметить, что такое же самое выражение можно получить, если наложить условие, чтобы набег фазы плоской волны после полного прохода (в прямом и обратном направлении) через резонатор был бы равен целому числу, умноженному на 2я, т. е. 2kL = 2пп. Это условие нетрудно получить из соображений самосогласованности. Если частота плоской волны равна частоте моды резонатора, то набег фазы волны при полном проходе резонатора должен быть равен нулю (без учета целого, кратного 2я), поскольку только в этом случае благодаря последовательным отражениям амплитуды волн в любой произвольной точке будут складываться в фазе и давать значительное суммарное поле. [c.162]

Ссылка на конечное распределение поля на поверхности зеркала резонатора может, на первый взгляд, показаться противоречащей обсуждению, проведенному в разд. 4.1, где поле предполагалось равным нулю на зеркалах (для металлических зеркал). В действительности же поперечная зависимость распределения поля U P) = U(x, у), введенная в этом разделе, не дает полного описания поля моды резонатора, поскольку она не учитывает продольного (т. е. вдоль оси z) изменения поля. Если учесть это обстоятельство, то в соответствии с (4.68) можно записать, например, в виде Ех х, у, г) = exU(x, y)sin kzsinwt. Теперь видно, что Ех действительно равно нулю при z = О, т. е. на поверхностн зеркала 1 (рис. 4.20). Кроме того, Ех = 0 при г = L, т. е. на поверхности зеркала 2 (рнс. 4.20), если kzL = пл. [c.191]

Заметим, что стоящие в правых частях уравнений (4.149) амплитудные множители 1/М 2 учитывают тот факт, что после каждого полного прохода резонатора размеры пучка возрастают, и, следовательно, поле <7г(х, у) уменьшается в М раз. Чтобы функция U2X представляла собой моду резонатора, потребуем выполнение равенств t/ (Mj ) = 2уШУ) [c.223]

ЧТО В уравнении (5.1в) слагаемое, учитывающее спонтанное излучение, должно было бы иметь следующий вид УаЛ г/тспонт. Однако это неверно. На самом же деле, как показано в разд. 2.4.3 [см., в частности, выражение (2.115)], спонтанное излучение распределено в некотором частотном интервале и форма его линии описывается функцией g(Av). Однако в уравнении (5.1в) член, учитывающий спонтанное излучение, должен включать в себя лишь ту долю этого излучения, которая дает вклад в рассматриваемую моду. Правильное выражение для этого члена можно вывести только из квантовомеханического рассмотрения электромагнитного поля моды резонатора. Получаемый при этом результат является очень простым и поучительным [4]. В случае когда учитывается спонтанное излучение, уравнение (5.1 в) преобразуется к виду [c.240]

Если условие (5.51) выполняется, то эталон будет обеспечивать дискриминацию между модой в центре линии и двумя соседними модами резонатора (дискриминация между соседними модами резонатора). Однако этого недостаточно для обеспечения работы в одномодовом режиме, так как если область дисперсии эталона Avfsr значительно меньше половины ширины ли- [c.260]

Если данное условие выполнить нельзя вследствие, скажем, ограничений на практически достижимые значения резкости, то применение только одного эталона Фабри — Перо не позволяет осуществить одномодовую генерацию. Таким образом, необходимо использовать еще один эталон или большее число эталонов. Для рассмотрения этого случая предположим, что первый эталон имеет толщину Li = L/2rirF и наклонен под углом 0i таким образом, что пик пропускания совпадает с модой резонатора в центре линии. При этом удовлетворяется условие (5.51) и происходит дискриминация между соседними модами резонатора. Чтобы осуществить дискриминацию между соседними модами первого эталона (т. е. подавить пики пропускания 1 и V на рис. 5.10), в резонатор вставляется еще один эталон толщиной Li под углом 03 таким образом, что пик пропускания этого [c.261]

Для пояснения данной ситуации обратимся к примеру. Рассмотрим вновь случай, когда L = 90 см, Avo = 190 ГГц, Пг= 1,5 и f = 30. Для выполнения условия дискриминации соседних мод резонатора в соответствии с (5.51) выберем U = 1 см. Согласно же условию (5.55) положим L2 =/-i/2f = 0,17 мм. Тогда область дисперсии второго эталона равна Av" = o/2tt L2=600rrn, так что условие (5.56) выполняется и происходит селекция одной продольной моды. В более общем виде условие генерации в режиме одной продольной моды с двумя эталонами записывается следующим образом [c.262]

Рассмотрим теперь два явления, которые нельзя описать в рамках используемого до сих пор приближения скоростных уравнений. Однако эти явления играют очень важную роль и заслуживают того, чтобы быть здесь представленными. Обратимся сначала к рис. 5.19, на котором приведены резонансные кривые как линии лазерного перехода (с центром при vo и шириной Avo), так и моды резонатора (с центром при v и шириной Av ). Предположим, что генерация происходит на этой моде и что нам нужно найти частоту генерации vren, а также ширину линии AvreH выходного спсктра. [c.272]

Метод синхронизации мод позволяет получить генерацию лазерных импульсов сверхкороткой длительности (от нескольких десятков фемтосекунд до нескольких десятков пикосекунд). Синхронизация мод соответствует условию генерации, при котором моды резонатора генерируют с примерно одинаковыми амплитудами и синхронизованными фазами. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...