Вариационные методы и определение собственного значения

МЕТОД РЭЛЕЯ. Метод Рэлея является одним из вариационных методов определения приближенных значений собственных частот. Его обоснованием могут служить теоремы об экстремальных свойствах частот, изложенные в 15 гл. III. В частности, задача о нахождении основной (наименьшей) частоты может быть решена как задача об абсолютном минимуме функции Рэлея [c.188]

Энергетический метод. Определение критической нагрузки сводится, таким образом, к нахождению собственных значений задачи. Можно непосредственно разыскивать нетривиальные решения дифференциального уравнения (67.10). Во многих случаях целесообразнее, однако, исходить из энергетического уравнения. Последнее можно вывести, перейдя от дифференциального уравнения к соответствующему вариационному уравнению. [c.294]

Как и в обычном fe-методе, вариационный аппарат предназначен в основном для поиска собственных значений однородных задач, а для определения собственных функций он менее удобен. Но поскольку при резонансе соответствующее собственное значение является определяющим в амплитуде дифрагированного поля, то для описания резонансных свойств системы достаточно знать лишь собственные значения. Исходя нз этого, мы будем рассматривать однородную задачу как задачу на поиск собственных значений. Предполагается, что при [c.146]

Другое, в некотором отношении аналогичное применение вариационных методов, которое описано ниже, состоит в определении собственного значения для однородной задачи, т. е. задачи без источников. Кроме того, при изучении переноса тепловых нейтронов часто требуется оценить отношение числа поглощений в топливе и в замедлителе. Для этого отношения с полющью вариационных методов были получены соответствующие выражения [16]. Вариационные методы используются также для анализа поведения потока нейтронов вблизи свободной поверхности, т. е. для определения экстраполированной длины [17]. [c.228]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

Другим основным источником теории оптимальных процессов явились экстремальные вариационные задали, которые возникли в ходе развития автоматического регулирования. Возрастающие требования к регулируемым системам означали не только необходимость обеспечить устойчивость заданного движения, но и приводили к проблеме определения таких законов регулирования, которые обеспечивали бы наилучшие возможные характеристики переходных процессов. Сначала требования к переходным процессам формулировались в качественной форме и выран ались прежде всего в условиях, налагаемых на спектр собственных значений тех линейных операторов, которыми описывался процесс. Это обстоятельство естественным образом было связано с тем, что в то время исследовались главным образом линейные объекты и линейные законы управления ими. Соответственно основным рабочим аппаратом служили линейные дифференциальные уравнения разо] кнутой и замкнутой системы регулирования, изучаемые методами операционного исчисления, где основную роль играют частотные характеристики передаточных функций. Позже были предложены количественные оценки и начала оформляться задача о выборе таких параметров регулятора, при которых эти количественные характеристики оказались бы экстремальными. Одной из таких характеристик, которая сыграла большую роль в развитии проблемы оптимальности, явилась интегральная оценка переходного процесса х 1), [c.184]

Кроме того, при определении главных напряжений нормальное напряжение Ог полагается равным нулю. Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собственные значения применяется метод разделения переменных в сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому искомые функции для произвольного малого интервала вдоль меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени с непрерывными функциями и их первыми производными в концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают систему 14(Л -М) однородных алгебраических уравнений относительно 14(Л -Ы) неизвестных, где N — число интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой системы дает условия для определения собственных частот, а затем и форм колебаний. Описанная вььше методика была применена к исследованию неосесимметричных (т=1 и м = = 2,3,4 п и т — число окружных и продольных полуволн) по- [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...