Комплексная плоскость

Возможность решения уравнений (4.4) методами расчета электрических цепей достигается в случае перехода к результирующему току статора, который в установившемся режиме является синусоидальным и может быть выражен в виде комплексной величины. Учитывая, что результирующий ток равен фазному, и сопоставляя плоскость координат d, q с комплексной плоскостью, можно пе- [c.87]

Рассмотрим теперь несколько подробнее только что введенную важную характеристику системы —ее частотную характеристику. В комплексной плоскости можно построить годограф функции IF (рис. VI.12). Для этого надо, подставляя в выражение (67) значения О, меняющиеся от О до подсчитывать порознь действительные и мнимые части этого выражения и по точкам строить годограф. Начинаясь на действительной оси (так как W при Q = 0 равно отношению свободных членов полиномов и Д), [c.245]

Изменение типа состояния равновесия при непрерывном изменении параметров происходит при изменении чисел корней характеристического уравнения, находящихся справа и слева от мнимой оси комплексной плоскости X, т. е. при обращении действительной части одного из его корней в нуль. Поэтому любая точка границы области [c.251]

Рис. 3.9.2. Комплексная плоскость гармонического осциллятора

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Зависимость W (i ) =f (са) называется комплексной частотной характеристикой или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) средств измерений. Типичный вид амплитудно-фазовой характеристики, изображенной на комплексной плоскости g, г , представлен на рис. 7.1. [c.139]

Таким образом, производная комплексного потенциала по независимой переменной представляет собой комплексную переменную ы == — iu,,, действительная часть которой равна проекции Uj скорости, а мнимая — взятой с обратным знаком проекции Uy величину й назовем сопряженной скоростью. В комплексной плоскости Ujj, называемой плоскостью годографа скорости, число й является, очевидно, сопряженным с числом и = + iUy, которое будем далее называть комплексной скоростью (рис, 7.2, б). Величины пай можно представить в виде [c.213]

Рассмотрим в комплексной плоскости г (рис. 7.24, а) симметричное струйное обтекание пластины потоком жидкости, который выходит из канала, ограниченного двумя параллельными стенками. Условно назовем это течение течением через клапан (рас- [c.254]

Из сказанного следует, что области течения в плоскости г рис. 137, а) соответствует горизонтальная полоса шириной Q и плоскости W (рис. 137, б). Отыскание функции w w (t) сводится к конформному отображению этой полосы на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости t (рис. 137, в). Рассматри-I ая полосу на рис. 137, б как двуугольник с углами — Q [c.277]

Например, функция на всей комплексной плоскости г аналитическая. Функция W = 2 , хотя и дифференцируема в единственной точке 2=0, но не аналитическая в этой точке, поскольку она не дифференцируема в ее окрестности (следовательно, функция w = z не аналитическая при любых г). Функция 141= Z не дифференцируема и не аналитическая на всей комплексной плоскости z. [c.179]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Разложение (6.77) получено для любых положительных t, т. е. ряд (6.77) сходится на всей комплексной плоскости t. Используя разложение (6.77) и известные оценки для коэффициентов ряда Лорана С с MR , k = 1, 2..... легко проверить справедливость неравенства /(0 < М/ ехр ( /1), показывающего, что сумма ряда (6.77) растет не быстрее экспоненты, что и должно быть, поскольку / (О — оригинал. [c.213]

Для решения типа (6.5.8) подходят лишь корни Я с положительной действительной частью (Ке Я >0, Re / o)<0). Вводя комплексную плоскость Я = Re Я + i Im КН), покажем существование и единственность корня уравнения (6.5.11) в правой полуплоскости в случае волн сжатая (рс>1) и то, что этот корень является действительным, а следовательно, положительным числом. [c.88]

Теорию одномерных сингулярных уравнений принято излагать для произвольных контуров в комплексной плоскости, что позволяет сразу, без вспомогательных преобразований, использовать ее для рещения некоторых двумерных краевых задач математической физики. Тогда само построение теории опирается на свойства интеграла типа Коши. [c.51]

Исследуем более подробно уравнение (9.44), Для выделения однозначной ветви радикала л/а — 0 проведем в комплексной плоскости 0 разрез вдоль вещественной оси (—д- , а ) и фиксируем ветвь радикала — 0 условием при [c.442]

Рис. 41. Точки комплексной плоскости с разрезом.

Функция 5(s) регулярна, не обращается в нуль в комплексной плоскости S, разрезанной вдоль отрезка действительной оси от точки S = —до S = —Ь и стремится к единице при S-VOO. Разложение (6.18) является основой решения уравнения (6.15) методом Винера — Хопфа для неподвижной или распространяющейся с постоянной скоростью полубесконечной трещины. [c.496]

Уравнение (4.7) представляется удобным записать, обратившись к представлению точек контура в комплексной плоскости. Тогда получим систему интегральных уравнений (для компонент вектора ф(р)) с ядром Коши (будем исходить из соответствия точек точке р будет соответствовать точка /о, а точке [c.590]

На комплексной плоскости X точка, определяемая этим соотношением, при изменении со пробегает окружность радиуса г с центром в точке —г (рис. 3.5). Отсюда следует, что условие Неймана (3.42) выполнено, если / <1, и не выполнено, если г>1. [c.88]

Величина и направление скорости V в комплексной плоскости (рис. VII. 1) определится формулой [c.160]

Таким образом определяются оси координат вспомогательной комплексной плоскости со. [c.62]

Преобразуем конформно плоскость w на некоторую вспомогательную комплексную плоскость t (рис. 11.13, в) так, чтобы выполнялось следующее соответствие точек точка В = О, = 0 точка С Wq = exp (2ni), i = —1 точка D Wp фд, t == oo. [c.85]

Подсчитаем коэффициент е , на который следует умножить комплексное число, заданное в плоскости г, для того, чтобы получить соответствующее комплексное число в комплексной плоскости, определяемой векторами и Э2, рассматриваемыми [c.502]

Годограф функции W(ja) на комплексной плоскости называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис. 52). По оси абсцисс отложена вещественная часть U (a), а по оси ординат —мнимая часть jV a). Амплитуда вектора этого годографа дает >4(со), а угол, отсчитываемый от положительного [c.180]

Корни характеристического уравнения (9.78) для исследо-вания устойчивости движения удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости. Тогда условие устойчивости при линейных уравнениях движения формулируется как условие расположения всех корней характеристического уравнения слС ва от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или одна пара сопряженных комплексных корней находится справа от мнимой оси, то механизм неустойчив. Мнимая ось является границей устойчивости. [c.182]

Критерий Михайлова, как и критерий Рауса и Гурвица, основан на рассмотрении характеристического уравнения. С этой целью на комплексной плоскости строится годограф характеристического вектора D ja)), который получается из характеристического полинома [c.185]

Вид действительной и мнимой частей R(l) и —Х(1) импеданса излучателя Хь(1) легко найти. Видно, что Ом является максимумом, а величина Ам равна полуширине при половинной высоте R(l) и что геометрическим местом точек импеданса Хь(1) является окружность диаметром Ом с центром Zt+ Дл72 на комплексной плоскости, поскольку [c.103]

Рассмотрим теперь комплексную плоскость, по осям которой отложены значения U и V . Подставляя в функцию (29) последовательно значения со от О до -[-со, можно по точкам построить годограф этой комплексной функции (см. рис. VI.5, на котором стрелкой указано направление роста со). Если менять ы от О до —со, то построенный таким образом годограф будет зеркальным отображением относительно действительной оси годографа, построенного для положительных значений со. В самом деле, при замене ю на — со значение функции (У (со), содержащей только четныэ степени со, не меняется, а функция V (со), содержащая только нечетные степени со, меняет знак. Часть годографа, соответствующая отрицательным значениям со, показана на рис. VI.5 штриховой кривой. [c.223]

Представив комплексные числа А и Вехр(2 <) векторами на комплексной плоскости и используя теорему косинусов, найдем [c.234]

Точки комплексной плоскости г = х + iy, изображающие комплексные числа с модулем, равным единице ( 2 = 1), находятся на окружности единичного радиуса с семром в начале координат. Такие комплексные числа могут быть выражены формулой (103). Пользуясь формулами (103) и (105), мы можем вывести уравнение Муавра [c.142]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай и = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть Pj (у = 1, 2, 3, 4) — его корни при е = 0. Будем изо-брангать их па комплексной плоскости р (рис. 157, а). Пусть при малых 8 один из корней, нанример pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень рГ с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси, А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2> при малых е ма ы, то у сместившегося корня pi [c.399]

Из изложенного следует, что области течения в плоскости г (рис. 7.24, а) соответствует горизонтальная полоса шириной Q в плоскости W (рис. 7.24, б). Отыскание функции w = w (t) сводится к конформному отображению этой полосы на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости t (рис. 7.24, в). Рассматривая полосу как двуугольник с углами = а, == О при вершинах Н и В, можно требуемое отображение осуп1,ествить с помощью формулы Кристоффеля—Шварца [c.255]

Рассмотрим в комплексной плоскости 2(рнс. 137, а) симметричное струушое обтекание пластинки потоком жидкости, которы," вытекает из канала, ограниченного двумя параллельными стенками. Условно назовем это течение течением через клапан. Набегающий поступательный поток имеет скорость (скорость тече- [c.276]

Тогда, учитывая все вышесказанное о свойствах функций f< PyS), N+ p,s), K-ip,s), N-(p,s), V-, получаем, что правая часть (5.20) регулярна при Res>0 и убывает в этой полуплоскости быстрее, чем s / при s-> , а левая часть регулярна в области ResdRep и убывает в этой полуплоскости при s- oo по крайней мере как Из выполнения равенства этих частей в полосе 0 < Re s < Re р следует, что в комплексной плоскости S существует единственная целая функция F (s), совпадающая в области Res>0 с правой частью уравнения (5.20), а в области Res < Rep с его левой частью. Так как эта функция ограничена, то по теореме Лиувилля [33] F(s) s onst. Но поскольку F(s)- 0 при s->-oo, то эта постоянная равна нулю, т. е. F (s) = 0. Отсюда, учитывая, что в полупло- [c.488]

Связь между w и t установим при помощи интегрального соотношения Кристоффеля—Шварца. Разрез AB D вдоль оси ф комплексной плоскости w примем за четырехугольник, внешность которого преобразуем на верхнюю полуплоскость t [формула [c.85]

Кривая, которую описывает конец вектора D ja)) на комплексной плоскости при изменении (о от О до оо, называют годографом Михайлова. Годограф начинается при (о = О на вещественной оси в точке йп и при ю = оо уходит в бесконечность в квадранте, соответствующем порядку характеристического уравнения. Для устойчивости системы п-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от О до оо годограф Митйло й начинался на положительной вещественной полуоси и обошел в положительном направлении против хода часовой стрелки) послбдовсетелто п квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...