Тензор собственные значения

Доказательство. Коль скоро тензор симметричный и неотрицательно определенный, он имеет три ортонормированных собственных вектора ех, ег, ез с неотрицательными собственными значениями Ах, Л2, Аз. Произвольно зададим три массы [c.59]

Величины e , е , определяются из уравнения собственных значений тензора 5 как его корни, т. е. как корни кубического уравнения для е [c.215]

Это кубическое уравнение для определения У называется уравнением собственных значений тензора инерции [c.277]

Если известны компоненты тензора напряжений для любых координатных осей, то главные напряжения р , р ,, ря определяются как корпи уравнения собственных значений тензора напряжений [c.552]

Это кубическое уравнение для р имеет корни р , р , р . Оно аналогично уравнениям собственных значений тензоров инерции и скоростей деформаций. Все эти тензоры второго ранга. [c.552]

Решения уравнения (1.93) называются главными (или собственными) значениями тензора i соответствующие главным значениям Xj. главные направления будем обозначать s. . (Длину s будем считать равной единице.) Из алгебры известно, что решения уравнения (1.93) для случая симметрии = действительны, а главные направления, соответствующие различным главным значениям, ортогональны. [c.319]

Главные оси прочности определяются уравнением (87). Так как главные оси, соответствующие различным собственным значениям Яь 12, / 6, ортогональны, можно заключить, что любой композит, поверхность прочности которого описывается квадратным уравнением (83), можно назвать ортотропным в отношении прочностных свойств. Подчеркнем, что главные оси прочности не обязательно совпадают с главными осями тензора напряжений (это схематически изображено на рис. 9). [c.453]

Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования. Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е. [c.172]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

В 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора / являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны ). [c.173]

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ 175 [c.175]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Для симметричного тензора главные значения вещественны, - а соответствующие им собственные единичные векторы — ортогональны. В ортонормированном базисе собственных векторов симметричный тензор представляется следующим образом [c.14]

Собственные значения неотрицательного (положительно определенного) тензора неотрицательны (положительны). [c.15]

Здесь Xs —собственные значения, тензора X, а квадратные [c.15]

Как и любой симметричный тензор, тензор, В имеет вещественные собственные значения Кь Кг> называемые главными кривизнами поверхности в данной точке. Спектральное разложение тензора В записывается в виде [c.49]

Формула (1.145) дает разложение произвольного тензора на сумму девиатора Ьд и шарового тензора aoL ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. Как мы уже отметили, результатом умножения [c.62]

Проблема определения главных направлений и собственных значений тензора Та сводится к решению характеристического уравнения его матрицы Л [c.62]

Собственные значения тензора, как и его главные направления, не должны зависеть от выбора Системы координат. Поэтому коэффициенты характеристического уравнения [c.63]

Что такое главные направления и собственные значения тензора [c.65]

Корни этого уравнения являются собственными значениями тензора напряжений и называются главными компонентами напряжений. Условимся, что справедливо неравенство (Т1 сг2 0з- [c.120]

Векторы поляризации нормальных мод являются собственными векторами тензора поперечной непроницаемости с собственными значениями 1/л . Поскольку г , — симметричный тензор второго ранга, он имеет два ортогональных собственных вектора. Эти два собственных вектора D, и Dj отвечают двум нормальным модам распространения с показателем преломления л, и 2 соответственно. [c.88]

Уравнения (17.18) являются условием распространения поверхности if д. Из него следует, что амплитуда—собственный вектор, а произведение prU — собственное значение акустического тензора Qik. Поскольку Qik = Qki, то всегда существуют три взаимно ортогональные амплитуды и три соответствующих им действительных квадрата скорости распространения. Если эти собственные значения положительны, то существуют действительные U и поверхность может распространяться. Если собственные значения отрицательны, то Л = О и 6 / не будет поверхностью разрыва. Из того что в (17.17) только одно произведение NaN , следует такое же условие распространения для направления (—jVa), как и для направления Na- Таким образом, если поверхность разрыва может распространяться со скоростью U в направлении Nay то она сможет распространяться с той же скоростью в обратном направлении. [c.115]

Симметричный тензор qik назовем, как и Qik, акустическим тензором, а а аналогично амплитудой. Если возникнет необходимость различить эти величины, то будем говорить акустический тензор мгновенной конфигурации и акустический тензор отсчетной конфигурации. Те же названия будем использовать по отношению к амплитуде. Как следует из (17.37), амплитуда определяет скачки вторых производных функции "i (Х , t) на 6 . Согласно (17.35) амплитуда является собственным вектором, а произведение рм — собственным значением акустического тензора мгновенной конфигурации. Как следствие симметрии qik = дш существуют [c.119]

Проанализируем уравнение (18.7 Предположим, что собственные значения т = prакустического тензора Qik различны [c.122]

Предположим, что собственные значения акустического тензора Qik различны если два или три собственных значения одинаковы, то анализ намного сложнее, но проводится так же, как и приведенный ниже. [c.122]

Тензор q ik будем называть приведенным акустическим. В несжимаемом материале амплитуда является собственным вектором, а произведение ри — собственным значением приведенного акустического тензора. Умножая (19.6) на rii, можно записать условие распространения в виде, аналогичном (17.18). В таком условии [c.129]

Умножим это уравнение на П . Поскольку П — собственный вектор акустического тензора, которому соответствует собственное значение PrU , то правая часть полученного уравнения равна нулю. Таким способом получим уравнение [c.141]

Эти векторы взаимно-ортогональны. Направления, совпадающие с направлением собственных векторов - главные оси тензора. Собственные числа Я ,Я ,Я называются главными значениями тензора. [c.61]

Ясно, что такие модели нужно искать среди тех, в которых нарушен релятивистский постулат. Поставленным условиям удовлетворяет прежде всего модель, в которой масса, связывающая 4-векторы импульса и скорости, не скаляр, как обычно, а тензор [5]. В этой модели сохраняется обычная релятивистская кинематика, а динамика (в частности, связь энергии и импульса частицы с ее скоростью) отличается от обычной. Это отличие тем больше, чем выше значение лоренц-фактора частицы, причем соответствующее критическое значение 7 определяется безразмерной относительной разностью собственных значений тензора массы. Недавно Сазоновым было указано на возможное влияние тензорного характера массы на спектр космических лучей в области сверхвысоких энергий [5. [c.162]

На поверхности пластичности, определяемой уравнениями (1), рассмотрим точки, в которых равны два главных значения тензора р. Как известно, если равны два главных значения симметричного тензора второй валентности, то кроме определителя тензора р — рЕ также все миноры второго порядка матрицы этого тензора обращаются в нуль. Обозначим через 1, т, п и Р1,Р2,Рз собственные векторы и собственные значения тензора р соответственно. Тогда, полагая, что Р"(1 (8) 1 — т 0 гп) = О, будут иметь место равенства [c.102]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Этот процесс ортогонализации собственных векторов, соответствующих кратному корню Я, такой же, как процесс ортогонализации произвольной системы функций. Он также подобен процессу, которым мы пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора инерпии. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов а двукратным корнем X, можно объ- [c.358]

Расписав подробно эти четыре уравнения, мы увидим, что они полностью совпадают с уравнениями (9.4.58), задающими бесконечно малое преобразсвпние Лоренца. При этом электрический вектор Е играет роль а, а магнитный вектор Н — роль Ь. Следовательно, движение вектора скорости электрона во внешнем электромагнитном поле можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых првобразеваний Лоренца, причем компоненты этого преобразования задаются электромагнитным тензором Интересным предельным случаем является движение электрона в поле плоской волны. Здесь Е=Н и Е Н. Мы имеем здесь физическую реализацию того частного четырехпараметрического класса преобразований Лоренца, который разбирался раньше [см. (9.4.47—9.4.55)], когда все четыре собственных значения совпадали и три главные оси сливались в одну, лежаш,ую на нуль-конусе. [c.369]

Пластическая деформация только в ггобластях связана со значением П = 1 и только в г-областях со значением Р Q. При Р = = а имеет место гомогенная деформа7] ия. По Кренеру [7] средний тензор собственных искажений ш или veo области [c.112]

Направление, вдоль которого векторы dn/dl и s коллинеарны, называется главным направлением поверхности. В каждой неомбилической точке [72] поверхности Q существуют ровно два взаимно ортогональных главных направления, которые определяются из задачи на собственные значения тензора кривизны [c.19]

Тензор Qih введен ранее акустическим тензором. В общем случае он не имеет нулевых собственных значений, ибо скорость распространения была бы тогда равной нулю. В связи с этим d xldt Ф О и согласно (27.7) д к1дР Ф 0. Разделив (27.7), на дН дР , находим [c.186]

Остается только еще объяснить, чтое и а — скаляры, величины, не зависящие от системы координат. Для каждого тензора можно найти собственные значения соответствующие нормальным [c.312]

Это материальное уравнение справедливо в пределе D 0 г оо). Ему отвечает тензор диэлектрической проницаемости Sij = dDi/dEj поперечные (относительно направления D) собственные значения которого равны DI Eq и действительно исчезают при D 0. В том же пределе поляризация (плотность дипольпого момента) отлична от нуля [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...