Собственные значения и теория возмущений

Здесь 61 > О определяется притоком энергии от течения Куэтта (искаженного слагаемым к основному возмущению Ю1(лО (только это Слагаемое фактически и учитывалось в работе Стюарта), 62 описывает порождение основным возмущением высших гармоник, а бз — искажение его формы. Для всех трех слагаемых в правой части (2.43) Дэви получил громоздкие формулы (содержащие решения соответствующей задачи на собственные значения линейной теории возмущений) после этого для случаев а) Qz = О, б) Ог/Й 1 и в) 2 = 2/ 1, = О он подсчитал численно значения этих слагаемых. При этом коэффициент б во всех случаях оказался положительным в случае а) его значения близко совпали с результатами менее точных вычислен 1й Стюарта, а в случаях б) [c.149]

Это, может быть, легче проследить, рассматривая энергию. Из второго члена (2.85) мы видим, что влияние гибридизации состоит в небольшом понижении собственных значений энергий ниже резонанса и повышении — выше его. В то же время мы знаем, что резонанс вводится из-за взаимодействия, носящего характер притяжения, а всякое такое взаимодействие понижает энергию каждого состояния. Ниже резонанса каждое состояние слегка понижает свою энергию и теория возмущений правильно оценивает это понижение. Выше резонанса энергия каждого состояния несколько понижается [c.237]

ВЫЧИСЛИТЬ все собственные функции электронов, хотя практически это и невозможно. В одноэлектронном приближении эти собственные функции и собственные значения дают полное описание системы. Зная их, мы можем вычислить любое выбранное нами свойство жидкости. Как мы увидим, функция Грина дает альтернативное описание системы она содержит ту же информацию, что и собственные функции и собственные значения, и тоже позволяет рассчитать любое свойство. Вместе с тем, разложение функции Грина по теории возмущений легко можно довести до высоких порядков, а вычисление многих свойств с ее помощью оказывается более непосредственным, чем с использованием собственных значений. Эти преимущества достигаются ценой некоторой потери в простоте понимания. [c.244]

Целью спектральной теории возмущений является изучение изменений спектральных свойств оператора, когда последний зависит от параметра. Физическим поводом для этого является изучение собственных значений и собственных векторов колебательных систем при возмущениях. [c.270]

Зная, что решение невозмущенного уравнения Шредингера имеет вид функций Блоха, и пользуясь методами теории возмущений, можно найти собственное значение энергии и собственные волновые функции уравнения (7.104). [c.236]

Математические модели для расчета колебаний структур содержат большое количество параметров, определяемых на основе усреднения свойств элементов реальных конструкций. Соответствие расчетных амплитудно-частотных характеристик и форм колебаний натурным зависит как от выбора модели, так и от точности задания параметров. Выбранной расчетной модели можно поставить в соответствие параметры или вектор параметров, обеспечивающий минимальное отклонение расчетных значений от действительных в заданном диапазоне частот. При конкретном расчете могут быть приняты несколько иные значения параметров, т. е. может быть реализован неоптимальный вектор параметров. Предположим, что ошибки реализации не систематические, а случайные, тогда оптимальным будет некоторое среднее значение вектора параметров. Каждой реализации соответствует система собственных частот и форм колебаний. Для общего случая системы с сосредоточенными параметрами отклонения собственных частот и форм колебаний можно определить на основании теории возмущений линейных алгебраических уравнений [41 при условии, [c.13]

Существенную помощь в исследовании нестационарных процессов может оказать метод разложения распределения температур в ряд по собственным функциям (см. гл. 3). Для этой цели должны быть разработаны эффективные алгоритмы численного расчета на ЭВМ собственных функций и собственных значений различных порядков основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Знание базисной системы функций основного и сопряженного уравнений позволяет также построить общую теорию возмущений высших порядков, о которой шла речь в гл. I. Несомненную пользу исследователю может дать теория возмущений для декремента затухания гармоник температурного распределения, поскольку она позволяет вводить поправки к функции, описывающей ход нестационарного процесса, под влиянием тех или иных возмущений параметров системы. [c.112]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Рассчитывая коэффициенты разложения, имеет смысл использовать не только собственные функции, но и разности собственных значений закрытого резонатора. Действительно, у открытых резонаторов эти разности с точностью до членов относительной величины /М определяются значениями фазовых поправок Фазовые поправки, в отличие от дифракционных потерь, практически не зависят от случайных параллельных сдвигов или неравенства величины зеркал, наличия промежуточных диафрагм и т.п. (см. предыдущий параграф), примерно совпадая с поправками для закрытого резонатора. Отсюда, кстати, следует, что характер изменения распределения поля под воздействием внутрирезонаторных аберраций мало зависит от случайных причин. Поэтому сведения, полученные с помощью первого приближения теории возмущений, могут служить объективной характеристикой поля излучения реальных лазеров расчет влияния возмущений на дифракционные потери требует намного более сложного анализа (см., например, [186]). [c.152]

Поскольку новый оператор стремятся к нулю при к- -0,ши можем построить теорию возмущений, так же как и в разд. 13.3. Определим собственные значения отвечающие реальной кулонов-ской задаче, как [c.113]

Теперь мы действуем точно так же, как и в разд. 13.3. Сначала строим надлежащий базис для теории возмущений, точно решая задачу на собственные значения в подпространстве, натянутом на пять инвариантов столкновений другими словами, мы определяем величину [c.113]

Большой интерес представляют задачи, относящиеся к механике неоднородных структур. Одна из таких работ выполнена В, М. Барановым и Е. М, Кудрявцевым [37]. В ней с использованием аппарата теории возмущений и теории групп рассмотрено влияние неоднородностей в виде трещин, сколов, раковин и анизотропии упругости на характер изменения спектра собственных частот колебаний круговых пластинок. Показано, что вследствие понижения степени симметрии, обусловленной неоднородностями, происходит расщепление резонансных пиков для собственных частот колебаний, соответствующих выраженным собственным значениям. Это обстоятельство приводит к появлению дополнительных по сравнению с однородными пластинками резонансных частот колебаний. В работе получены расчетные соотношения, связывающие параметры изменения спектра собственных частот колебаний с параметрами, определяющими неодно-,-родности. [c.294]

М не зависит от А, Н — норма в ) для всех к из области определения операторов Ь и Ь, то можно применить хорошо известные результаты теории возмущения спектра. В частности, если % — кратное собственное значение оператора Ь с кратностью ш и выполняется неравенство (8.3), то для достаточно малых значений комплексного параметра г оператор Ь + гЬ имеет тп изолированных собственных значений (не обязательно различных) [c.169]

Мы применим к уравнению (107.1) теорию возмущений и установим связь симметрии собственных векторов нормальных колебаний с возникновением критических точек. Пусть имеется рещение уравнения (107.1), соответствующее волновому вектору 0- Так как обусловленное симметрией существе нное вырождение играет важную роль в теории, мы выпишем уравнения динамики решетки, собственные векторы, собственные значения со всеми индексами. Напомним рассмотрение 75, 85, 91. [c.316]

Электрон-фононное взаимодействие возмущает собственные состояния системы электронов. Напомним общие результаты теории возмущений Шредингера. Из нее следует, что собственные функции и собственные значения системы, описываемой оператором Гамильтона Но, изменяются под действием возмущения Н согласно [c.202]

Поскольку статистическая сумма (13.30) вычисляется, исходя из уровней энергии, полученных в первом порядке теории возмущений, из вариационного принципа (см. гл. 10, 3) следует, что (13.30) меньше где Н дается выражением (13.25). Здесь этот вывод тривиален, так как точные собственные значения (13.25) как уже указывалось, являются энергиями свободных частиц. Однако нельзя утверждать, что (13.30) меньше где Я дается выражением (13.24), поскольку (13.24) не является эрмитовым оператором и вариационный принцип к этому гамильтониану неприменим. [c.310]

Очевидно, что по отношению к состояниям из подпространства 5 этот оператор имеет те же самые матричные элементы, что и даваемые формулами (19.40), (19.41) и (19.45). Наименьшее собственное значение //дфф дает энергию основного состояния в нижнем порядке нового метода теории возмущений. Гамильтониан (19.46) представляет собой невозмущенный гамильтониан нового метода теории возмущений ). [c.464]

Это выражение для собственного значения а очень напоминает соотношения, полученные из теории возмущений. Например, в уравнении (6.63) а и а можно рассматривать как величины, полученные из вариационного уравнения [c.232]

Постановка задачи. Уравнение Шре-дингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения - сложная математическая задача, которая не может быть выполнена с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения задач, т. е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений. [c.232]

Здесь мы приводим некоторые известные результаты из теории операторов, которые будут использоваться в дальнейшем. Кроме того, в 1 гл. III дано доказательство теорем о сходимости собственных значений и собственных элементов для последовательности абстрактных операторов, определенных на разных пространствах. Подобные результаты для несамосопряженных операторов изложены в книге [11]. На этих теоремах основаны все дальнейшие исследования спектральных задач теории усреднения, а также вопросов о поведении спектров сингулярно возмущенных операторов, рассмотренных в данной главе. [c.210]

Постановка задачи. В стационарной теории возмущений рассматривается постоянно существующее возмущение. Нестационарная теория возмущений позволяет изучить процесс появления возмущения. Поскольку в этом случае полный гамильтониан (включающий возмущение) зависит от времени, энергия не сохраняется и поэтому стационарных состояний не существуеп. Следовательно, в этом случае задача о нахождении поправок к собственным значениям энергии не возникает. Задача состоит в приближенном вычислении волновых функций уравнения [c.241]

НОИ оси г/i самолета, то при кренах самолета эта ось уже не совпадает с направлением истинной вертикали (ось а отклоняется от этого направления на углы у и О (угол у на рис. VII.5 не показан). При этом, как будет показано ниже, рамка карданова подвеса поворачивается вокруг осей у i и X, если даже гироскоп идеальный и ось z его ротора сохраняет неизменное направление в пространстве. Это обстоятельство имеет важное значение в теории гироскопа в кардановом подвесе, так как повороты рамок карданова подвеса гироскопа в пространстве порождают погрешности в определении положения самолета в пространстве, а также инерционные моменты, действуюш ие через реакции связей карданова подвеса на гироскоп и вызывающие собственную скорость его прецессии. Кроме того, в случае использования гироскопов в кардановом подвесе в качестве соответствующих датчиков автопилота такие повороты рамок карданова подвеса приводят к возникновению возмущений в каналах автопилота и к связям между каналами автопилота, снижающими запас устойчивости в авторегулируемой системе самолет — автопилот. [c.170]

Три точки Лагранжа. Применим теорему 30.2 к исследованию равновесного решения, в котором три частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника и находятся в нокое. Уравнения движения возьмем в иреобразованной форме 29.8. Собственные значения линеари- овапной задачи о возмущенном движении найдем из уравнения [c.611]

Теория возмущений для декремента затухания температурных гармоник. Аналогично тому, как это было сделано в предыдущих разделах, используя метод теории возмущений, можно найти изменение собственного значения v при изменении тепло-физических параметров и размеров системы. Такие формулы, несомненно, представляют интерес, не только теоретический, но и практический. Теория возмущений дает в распоряжение исследователей строгие соотношения, связывающие изменения декремента затухания отдельных гармоник температурного распределения 6vft, которые наблюдаются экспериментально при измерениях в нестационарных режимах, с изменениями различных параметров теплофизической системы. Тем самым открываются новые возможности для идентификации этих параметров, о чем будет сказано ниже. [c.107]

Наиболее распространенным источником малых волновых аберраций первого порядка (оптический клин) является непараллельность зеркал. В этом случае F(x) — 1 = 2ikex, где е — угол между зеркалами. Поскольку F — I является антисимметричной функцией х, не равны нулю только Р 1 с четными т — /1. Несложный анализ показывает, что с увеличением угла разъюстировки е центр тяжести распределения поля монотонно смещается в сторону более удаленных друг от друга краев зеркал (противоположный вывод в [80] основан на неточности в рассуждениях). В частности, выражение для собственной функции низшей моды имеет вид и о Uq + A ea X)Nui ([57] рис. 3.6а). В соответствии с этим выражением основная мода оказывается заметно деформированной уже пр и крайне малых углах разъюстировки. Когда е достигает значения Х/(4аЛ ) (что соответствует разности оптических длин на противоположных краях резонатора X/27V), угловая расходимость излучения основной моды примерно удваивается [120] одновременно сама теория возмущений перестает быть применимой для описания этой моды. Такая чувствительность к ничтожным аберрациям приводит к тому, что наблюдать мало искаженную низшую моду плоского резонатора с большим N в опытах с лазерами не удается практически никогда. [c.153]

Теперь перейдем к выражениям для собственных значений во втором порядке теории возмущений. Для этого возьмем неразло-женные выражения (13.6.11), (13.6.19) и (13.6.20) для величин фа И Вычисления представляют собой тривиальное обобщение рассуждений, проведенных в разд. 13.3, и мы сразу же находим следующий результат, соответствующий выражению (13.3.27) [c.116]

Таким образом, можно сказать, что при Ке > Ке, существуют такие стационарные осесимметричные возмущения, обеспечивающие необходимую интенсивность мультиполей с комплексно-сопряженными показателями степени, при которых течение теряет устойчивость. Такие возмущения, как это следует из условия невязкой неустойчивости, могут быть совсем не малыми. Заметим, что члены, порождающие неустойчивость, отвечают граничным условиям на внешней поверхности. Поэтому устойчивость также может теряться на внешней границе течения, что согласуется с экспериментальными результатами работы [195]. В работе [250] опытным путем обнаружено, что критическое число Рейнольдса для осесимметричной затопленной струи составляет 5,2—5,9, что несколько превышает значение Ее == 3,5. Следует отметить, что возмущения, вносимые в поток, в этой работе носили кратковременный характер и не исчерпывали, таким образом, весь класс возможных возмущений. Экспериментальное значение числа Рейнольдса, при котором наблюдается неустойчивость, соответствует области, в которой комплексно-сопряженными оказываются две-три пары собственных значений (см. рис. 112), т. е. в условиях, когда интенсивности отдельных мультиполей могут быть значительно ниже. В работе [231] нарушение стационарности и осесим-метричпости течения ламинарной затопленной струи впервые наблюдалось при Ке = 3,7—4,1 (в нашей работе принято определение числа Рейнольдса, соответствующее Ке = uoao v, где йо — радиус трубки, Мо — скорость жидкости в трубке, из которой бьет струя), что хорошо согласуется с результатами, полученными выше. Заметим, что рассчитанное ранее обычными методами теории гидродинамической устойчивости критическое значение числа Рейнольдса ( 15) [196, 211] значительно превышает его экснериментальное значение. [c.302]

Зависимость всех возмущений от х, у и t задается в виде ехр i к х + + к у — o)i), а зависимость их от z определяется из решения возникающей при этом краевой задачи. Система уравнений в случае произвольного магнитного поля и конечных значений числа Рейнольдса Re, магнитного числа Рейнольдса Re i и числа Гартмана На сводится к системе шестого порядка, состоящей из двух уравнений. Собственная частота находится как собственное значение рассматриваемой краевой задачи, причем ш зависит от / j, /сд, Re, Remt На. Как обычно, целью работ по гидродинамической теории устойчивости является нахождение границы устойчивости, т. е. поверхности Im со = О в пространстве переменных к , / j, Re, Re На. Результаты представляются часто в виде семейства нейтральных кривых Imto kl, Re) = О на плоскости к , Re, причем остальные переменные к , Rem и На) рассматриваются в качестве параметров семейства. В ряде случаев можно уменьшить число параметров, от которых зависят [c.455]

Наиболее удобным методом расчета собственных значений энергии нам представляется метод неприводимых тензорных операторов, который позволяет свести вычисление большого числа матричных элементов, встречающихся в теории возмущений для вырожденных уровней нулевого приближения, к вычислению очень небольшого числа ириведенных матричных элементов пропорциональных параметрам теории Dq, В, С и Эти параметры можно находить из сравнения теории с наблюдаемыми оптическими спектрами, привлекая также данные по спектрам ЭПР. [c.20]

Заметим, что матрица коэффициентов Ф, ([/ ) остается симметричной, что обеспечивает действительность ее собственных значений а. Это значит, что характеристические скорости Ск могут быть только либо действительными, либо чисто мнимыми, но не комплексными. В то же время величины а приобретают за счет присутствия Ф ф О, ф j лишь малые добавки к своим основным значениям (3.6) и, следовательно, = рос1 остаются положительными, а с - действительными. Это значит, что система уравнений (3.3) нелинейной теории упругости при малых деформациях является гиперболической. Задачи с малыми возмущениями были подробно рассмотрены в (Гузь [1986]). [c.158]

Отсюда следует, что либо истинная волновая функция зоны проводимости ортогональна псевдоволновой функции, либо энергии Е и Е тождественно равны. Если эти функции относятся к одному и тому же состоянию, они не могут быть ортогональными. Таким образом, мы получаем при любом выборе f (Е, /,/) правильные и точные собственные значения энергии. Этот пункт исключительно важен. Не существует единственного истинного псевдопотенциала псевдопотенциалы можно выбрать многими способами, и все они будут правильными. Каждому из них, если решить уравнение (2.22) точно, будут отвечать совершенно правильные собственные значения энергии и волновые функции. Однако если мы выполняем расчеты по теории возмущений, ограничиваясь вторым порядком, и роль возмущения играет псевдопотенциал, то результаты все-таки будут зависеть от того, каким мы его выбрали, причем ошибки, возникающие при расчете какого-либо свойства, следует рассматривать как погрешности теории возмущений, а не самого псевдопотеициала. Кроме того, попытки улучшить псевдопотенциал, варьируя его таким образом, чтобы результаты расчетов во втором порядке теории возмущений совпадали с соответствующими экспериментальными результатами, имеют ограниченную ценность — ошибки возникают главным образом не из-за псевдопотенциалов. Не очень перспективны также попытки определить более точный псевдопотенциал , сравнивая с экспериментом результаты расчетов в более высоких порядках теории возмущений. Расчеты в более высоких порядках неминуемо оказываются менее чувствительными к выбору псевдопотеициала, поскольку, как мы знаем, учет всех порядков теории возмущений делает результат расчета совершенно не зависящим от вида псевдопотеициала. [c.116]

Подход теории возмущений к проблеме переходных металлов создает несколько искусственное различие между состояниями к-и -типа, и соответственно получаемые собственные значения образуют несколько искусственную зонную структуру. Подобным же образом теория возмущений второго порядка в случае простых металлов дает искусственную зонную структуру вблизи граней зоны Бриллюэна в результате, чтобы получить приемлемые результаты для таких состояний, оказывается необходимым в многоволновом приближении метода OPW диагонализовать некоторую субматрицу гамильтониана. Тем не менее большинство свойств металлов зависит от интегралов по состояниям, и во многих случаях как для простых, так и для переходных металлов можно получить разумные результаты с помощью простой теории возмущений. Более того, мы видели, что в благородных металлах энергия Ферми достаточно далеко отстоит от резонанса, так что электронные свойства можно рассматривать столь же просто, как и в случае простых металлов (коль скоро OPW формфакторы уже получены). В обоих случаях — простых и переходных металлов — отправным пунктом служит уравнение с псевдопотенциалом. Расходимости возникают уже при использовании теории возмущений, но когда теория возмущений отказывает, можно построить и другие альтернативные приближения. [c.238]

Здесь, как и при вычислении вековых возмущений больших планет, можно воспользоваться двумя способами. В первом способе, становясь на точку зрения собственно теории возмущений, подставим в правые части (7) и (7 ) истинные значения элементов, относящиеся к эпохе оскуляции, вследствие чего правые части примут постоянные значения, что непосредственно даст значения вековых изменений элементов. Второй способ состоит [c.324]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...