Элементарные делители

Двучлены (к — к ) ходящие множителями в Е к) и отличные от постоянного числа (т. е. при 0), называются элементарными делителями Х-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами делители через ( , klY ,. . ., к — кт) причем среди чисел ki могут быть и равные (биномы (к — Я ) могут входить в разные инвариантные множители Ej ). [c.134]

Элементарные делители для рассматриваемой матрицы будут Я-1- 1, К, (Х+ 1)2 [c.135]

Из этого следует, что матрица Ji — ХЕ имеет только один элементарный делитель, ранный X — Я ) . [c.137]

Очевидно, что элементарные делители матрицы J — [c.137]

ХЕ совпадают с элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения Л — = О совпадают о корнями элементарных делителей. [c.137]

Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана, нужно прежде всего найти элементарные делители характеристической матрицы (5.34) [c.138]

Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32)) (A.i = О, =1 к =0, е = 1 Х3 = —1, [c.139]

Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32)) [c.140]

Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — ХЕ и В — ХЕ имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А — [c.143]

Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только элементарные делители матрицы А — Дифференциальные уравнения в. канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своему элементарному делителю или своей клетке Жордана Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру) [c.144]

Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать только в том случае, если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни с нулевой вещественной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны. [c.146]

Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической матрицы (см. 5.3) [c.185]

Примечание 2. Если det G ф О, то характеристический определитель системы имеет ровно s нулевых корней. Из устойчивости системы следует, что эти корни простые для элементарных делителей. [c.186]

Заметим, что первые два вывода справедливы и при кратных корнях характеристического уравнения, а последний только при простых корнях (точнее, при корнях простых относительно элементарных делителей). [c.237]

Если все собственные значения матрицы Л различны или если они не все различны, но элементарные делители все простые, то матрица JT является диагональной и уравнения в вариациях могут быть представлены в форме [c.462]

Таким образом, если матрицу А удается представить в диагональной форме (т. е. если эта матрица имеет простые элементарные делители), то решение системы (23.3.1) имеет вид [c.464]

Если Ж есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица Ж будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда имеет вид С МС. Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Жордана. Собственные значения [Xi, Ца, -. Н т называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку [c.465]

Метод вращений или метод Якоби. Вещественная симметричная матрица G всегда имеет линейные элементарные делители. Отыскание собственных значений и собственных векторов такой матрицы равносильно построению такой ортогональной матрицы и, для которой [c.80]

Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители. [c.95]

Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрицы R рЕ. При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному корню, по-прежнему имеют вид (14), причем каждому мультипликатору кратности г отвечает г решений типа (14) с независимыми периодическими функциями Xf (О- Если же кратному корню соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью г, то решение имеет вид [c.119]

Решение q = О уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга р < 1. Решение q = 0 уравнения (1) неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю боль-U и единицы, или найдутся кратные р = 1 с непростыми элементарными делителями. [c.119]

Заметим, что элементарными преобразоианиями часто пользуются для определения элементарных делителей. Рассмотрим матрицу порядка следующего вида [c.136]

Каждому корню Х (А = 1,. . ., т) элементарного делителя соответствует своя клетка Жордана / . Нормальной формой Жордана для данной матрицы А называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Жордана, а все пртне элементы нулю [c.137]

Отметим существенное для дальнейшего обстоятельство корни элементарных делителей и корни характмистическогЬ уравнения всегда совпадают, но их кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот случай нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического уравнения, но он простой для элементарных делителей (так как двум нулевым корням отвечают два элементарных делителя). Корни Я, == Я, = — 1 имеют одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей. [c.139]

Следовательно, матрица Л — ХЕ в утом случае имеет только два элементарных делителя [c.140]

Обратим внимание на следующие обстоятельства характеристические ]гравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни X, = Я.2 = О, Xj = = — 1. Однако нормальные формы Жордана разные. Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примере — только два. [c.140]

Теорема 1. Если матрица А неособенная, то элементарные делители матриц А %.Е и ЛЛЛ — кЕ одинаковы. Обратно, если элементарные делители матриц А — %Е и В — КЕ одинаковы, то всегда найдется такая неособенная M/impwfa Л, что [c.141]

При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нулшо прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один корень, вещественная часть которого положительна, то вопрос об устойчивости решен и нет смысла исследовать элементарные делители, т. е. решать задачу более сложную. Точно так же задача сразу решается, если корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с нулевой вещественной частью соответствуют простые элементарные делители), а остальные кропи имеют отрицательную вещественную часть. [c.146]

Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к нормальной форме и содержат производные порядка выше первого. Для того, чтобы опре делить элементарные делители и решить вопрос об устой чивости, нет нужды приводить систему к нормальной фор-м6 — достаточно составить характеристическую Я-матри-цу д 1я исходной системы и исследовать ее. Покажем это на примере уравнения [c.147]

В примере 1 5.3 было установлено, что характеристическое уравнение det (Л — Е) = О этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения, так и относительно элементарного делителя, но он не может испортить устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического уравнения, но простой для элементарных делителей. Следовательно, не-воамущенное движение устойчиво относительно переменных xi, [c.148]

Однако иногда исследование устойчивости для случая пг > 2 приводит к результатам, отличным от случая т = 2. Предполоншм, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми) при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены os pi и sin рг. Формальное доказательство мы отложим до 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера. [c.420]

Если хотя бы одно к имеет положительную вещественную часть, то мы имеем неустойчивость по первому приближению отклонение, определяемое линейным приближением, не остается малым. Если имеется кратное чисто мнимое X и соответствующий элементарный делитель не является простым, то решение уравнений Якоб1и содержит члены вида os Pi, sin p , что опять-таки дает неустойчивость по первому приближению. [c.464]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Если собственные значения 2. матрицы О попарно различны или если кратным собственным значениям отвечают простые элементарные делители, то матрица С подобна диагональной матрице с собственными значениями на диагонали. Поэтому элементы матрицы ехр(0/ ) представляют собой линейные комбинагщи членов [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...