Определение собственных значений и собственных функций

Уравнения, которые используются для определения собственных значений и собственных функций при колебаниях кругового стержня в плоскости чертежа, приведены в решении задачи 5.1. Определив собственные функции (векторы), ищем решение уравнения (1) в виде [c.283]

Какой бы метод ни использовался для определения собственных значений и собственных функций системы, необходимо проделать на порядок больше вычислений, чем при решении соответствующей статической задачи. К счастью, собственные значения можно достаточно точно определить при меньшем, чем в случае статической задачи, числе степеней свободы. [c.375]

Поэтому для системы ( ) на отрезке [О, pd получаем модифицированную постановку задачи для определения собственных значений и собственных функций, для которых неизвестные значения Л, У2, Рй находятся из дополнительных условий ( ). [c.395]

Подставляя эти ряды в (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) и разделяя переменные, для определения собственных значений и собственных функций / , получим те же самые уравнения (3.5.9), (3.5.10) с другими граничными условиями [c.130]

Рассмотрим решение этой проблемы на примере оператора К. Уравнение (21.53) для определения собственных функций и собственных значений имеет вид [c.147]

Исследование устойчивости сводится к определению собственных значений дифференциального уравнения (386) при известных граничных условиях. Найдя собственное значение функции ф и собственное значение коэффициента с, можно отыскать условия, соответствующие нейтральному (безразличному) воздействию, т. е. условия, при которых возмущения не затухают и не усиливаются ( i = 0). Эти условия будут соответствовать границе между устойчивой и неустойчивой областями течения. [c.177]

Изложенный метод определения собственных значений краевых задач может быть использован и для неконсервативных задач, для которых (например, колебания прямолинейного трубопровода с текущей жидкостью) возможны неустойчивые режимы колебаний. Поэтому при определении собственных значений временную функцию следует брать в виде В этом случае определитель, получающийся при удовлетворении краевым условиям задачи, зависит от двух параметров а и X [D = D (а, X)]. Значения а и %Ji, при которых определитель обращается в нуль, дают собственные комплексные числа k = 1,2,. ..). В зависимости от знака действительной части комплексного числа колебания будут устойчивыми или неустойчивыми. [c.204]

Определение собственных чисел и собственных векторов, как и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода. Использовались приближения, в которых разложения (45.8) содержали одинаковое число членов N = М = 14, Путем сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных функций, установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней спектра при значениях параметра /г0<2500. [c.319]

Уравнения, приведенные в предыдущем разделе для собственных значений и а в многогрупповых уравнениях Р -и диффузионного приближений, используются для определения собственных функций, которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям. В разд. 1.5.3, 1.5.5 было показано, в каком смысле эти собственные значения существуют для полного уравнения переноса, и теперь необходимо рассмотреть их свойства в много- [c.146]

Несмотря на то что эта проблема в сравнении с проблемой определения собственных функций и собственных значений по утвердившемуся общему мнению в смысле сложности стоит рангом ниже, она за все время существования статистической механики была решена только для нескольких теоретических модельных систем. [c.75]

Если принять это упрощающее все рассмотрение положение, то квантовомеханическая задача по определению собственных функций и собственных значений энергии молекулы распадается на независимые частные задачи, волновая функция представляется в виде произведения независимых функций [c.185]

Задача (3.4.13) и (3.4.14) служит для определения собственных функций и собственных значений А . [c.117]

Для определения положения уровней частиц задаются определенными параметрами потенциальной ямы ее ширину принимают равной диаметру ядра, а глубину находят из условия, что энергия связи нейтрона в ядре примерно равна 8 Мэе (параметры ямы не меняются заметным образом при изменении А). Если для частицы, находящейся в такой яме, решить уравнение Шредингера, то получится серия собственных значений и соответствующих им собственных функций, описывающих различные состояния частицы в потенциальной яме. [c.192]

Алгоритм численного определения собственных значений X/ и собственных функций Zo < > (компонент собственных векторов Z )) изложен в гл. 4 (см. 4.2 и 4.3). [c.291]

Перейдем к определению собственных значений у г и соб ственных функций С (ру ,) краевой задачи (4.8), (4.9). [c.351]

В данной книге рассмотрение ограничено только точечным спектром собственных значений и соответствующих собственных функций операторов L и L+. Это связано с тем, что задачи тепло- и электропроводности, а также проблемы прочности в технической физике рассматриваются феноменологически, для моделей сплошных сред, а не на атомарно-молекулярном уровне. В последнем, случае, когда возникает потребность определения функции распределения ка-214 [c.214]

МОЩЬЮ ЭВМ 18 непосредственно или через специальный блок управления ЭВМ, получая кодированные значения сигналов F, и I/, (или Vjj) с выхода аналого-цифрового преобразователя /7, при наличии помех может определять среднеквадратичные значения силы, ускорения, скорости (путем деления на ш), модуля импеданса и подвижности (путем взаимного деления величин), фазового угла (через вычисление авто-и взаимно-корреляционных функций). Результаты выводятся па цифропечатающее устройство и (или) используются при дальнейших вычислениях (идентификация, определение собственных частот и форм, обращение матриц и т п ). [c.325]

Нормированные спектральные плотности s (со) имеют от одного до трех максимумов, расположенных в низкочастотной области (до (О < 40 с ). При со > 40 с s (со) заметных максимумов не имеет. Например, для рассматриваемого процесса (см. рис. 3.14) у нормированной спектральной плотности можно выделить три максимума. Первый максимум находится в "области частот со = О - 2 с и связан с нестационарностью процесса по среднему значению и плохим центрированием всей реализации относительно среднего значения М. Очевидно, используя алгоритм, позволяющий сглаживать процессы по среднему значению, можно исключить указанный максимум [15, 108]. Второй максимум наблюдается при со = б с , меньшей низших собственных частот трансмиссии и подвески третий —при со = 10 совпадает с низшей собственной частотой колебаний трансмиссии. Наличие других максимумов является следствием численного определения спектральной плотности по корреляционной функции. Подобный характер нормированных спектральных плотностей говорит о том, что формирование крутящих моментов при движении в тяжелых дорожных условиях определяется первыми низшими собственными частотами подвески и трансмиссии, поэтому эквивалентные колебательные системы могут быть описаны простейшими одно- и двухмассовыми системами. [c.113]

Легко показать, что вспомогательные задачи описывают системы, в которых с поверхности пленки 5 происходит выделение энергии, компенсирующей потери на излучение. Иными словами, полупрозрачная пленка является активным излучающим элементом, и именно благодаря этому обстоятельству при определенных значениях р и р возможны незатухающие колебания, происходящие с заданной частотой к (т. е. нетривиальные решения однородных задач). Собственные значения должны иметь положительную мнимую часть. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно записать баланс энергии однородных задач. Его запись получится, если применить теорему Грина для функций Пп а и п к областям и У , вычесть результаты и воспользоваться в одном случае (10.4а), а в другом (10.46). Тогда получим для [c.99]

Задачу (6.2.18), (6.2.19) называют задачей Штурма - Лиувиля по определению собственных значений и собственных функций. При постоянных коэффициентах в (6.2.18) она имеет аналитическое решение. [c.334]

Проблема определения собственных значений и собственных функций О. в матричной фор.мулировке сводится к решению в общем случае бесконечной системы уравнений [c.493]

Рассмотрим конкретный пример определения собственных значений и собственных функций задачи в простом случае пространственно одномерной задачи об изменении температур в плоской бесконечной стенке толпишой 26 (рис. 4.5). В качестве характерного размера / возьмем 6. В этом случае задача (4.13) будет иметь вид [c.90]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Собственным значениям соответствуют собственные функции ЛгСоз Д, являющибся решениями уравнения (18.12). Таким образом, уравнение температурного поля (18.14) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению теплопроводности (18.5) при любом собственном значении Однако из физических соображений ясно, что температура не может иметь множество различных значений в определенной точке в заданный момент времени. С другой стороны, нет никаких оснований для того, чтобы отдать предпочтение какому-либо собственному значению. Необходимо использовать их в совокупности. Известно, что если частные решения линейного дифференциального уравнения сложить, то полученная сумма также будет решением этого дифференциального уравнения. Составим такую сумму на основе выражения (18.14) и собственных значений ку. [c.444]

Таким образом, определение собственных чисел и собственных функшш задачи (5.1.3) для областей D е М состоит в определении и для канонической о сти и интегрировании задачи Коши (5.1.7), для которой П/ и W/ являются начальными условиями. Правые части уравнений продолжения (5.1.7) для каждого значения параметра являются решением задачи (5.1.8). Поскольку в п цессе продолжения по параметру для каждого значения X известны юбственные функции к, (Х) и собственные значения (2 (Х), то решение задачи (5.1.5) сводится к вьпш-слениям интегралов в соотношениях (5.1.12)-(5.1.14) и суммированию [c.150]

В то время как максимально полный опыт, заключающийся в определении собственных значений всех коммутирующих друг с другом эрмитовских операторов, описывается в квантовой механике Т-функцией, опыт немаксимально полный, по общепринятым сейчас представлениям, всегда может быть описан статистическим оператором (так называемым оператором Неймана [29] или матрицей плотности, см. 4 гл. II). Все квантовомеханические попытки интерпретации статистики исходят поэтому из описания статистических систем либо при помощи Т-функций, либо при помощи статистических операторов. В настоящей главе мы будем рассматривать возможности различных точек зрения, исходя сначала из максимально полного описания, потом — из статистических операторов. Мы переносим в главу III исследование вопроса о возможности описания немаксимально полных опытов при помощи статистических операторов, и следуем в этой главе общепринятым представлениям. [c.136]

Надо заметить, что если К является собственным значением, то собственные функции задачи (Р совпадают с собственными функциями задачи (6.2). Если форма В(ы, у) симметрична на V, то для ф и гр из Яр (Л) имеем (ф, Ог ))о = (— 1 )" В (Оф, Ог ]) = (— 1 )" X X В (Ог ), Оф) = (Оф, г ))о таким образом, О — симметричный оператор в На(А). Кроме того, в силу предположения (III) (ф, Оф)о==(—1) "В(0ф, Оф)>Уо110фС. т. е. О — неотрицательно определенный оператор ) фактически он даже положительно определен, ибо из 0ф = 0 следует Оф = (—1) ф = 0, [c.51]

Рассмотрим квантовомеханическую систему с большим числом степеней свободы, которая характеризуется гамильтонианом Н. Система предполагается изолированной в макроскопическом смысле. Это значит, что ее гамильтониан не зависит явно от времени, но система может находиться в состояниях, соответствующих собственным значениям невозмущенного гамильтониана, которые лежат в некотором интервале А , определяемом точностью макроскопического измерения энергии. Назовем эту группу собственных значений гамильтониана энергетическим слоем [Д 1 . Макроскопическое измерение энергии соответствует диагональной матрице, элементы которой для всех собственных функций равны некоторому промежуточному вначению Е . Точность определения такого макроскопического гамильтониана соответствует точности измерения энергии. Следуя Нейману [13] и ван Кампену [14], мы можем определить и другие макроскопические операторы, коммутирующие с макроскопическим гамильтонианом. Принимая, что существует полный набор ) таких операторов, мы разобьем энергетиче- [c.38]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Множество всех возможных собственных значений (отвечающих всем возможным собственным состояниям т)) интерпретируется как множество тех значений, которые может принимать в некотором эксперименте наблюдаемая, связанная с Ь. Вообще говоря, такое множество значений дискретно в этом заложено определенное различие между классической и квантовой механикой. В квантовомеханической системе динамические переменные (такие, как энергия) могут принимать только некоторые строго определенные значения в этом состоит сущность квантования. Другое важное замечание заключается в следующем так как собственные значения bjn должны представлять наблюдаемые численные значения динамических функций, они с необходимостью должны быть вещественными числами. Это означает, что операторы Ь, представляющие наблюдаемые, обязательно должны быть зрмитовыми, т. е. [c.26]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

Свободным колебаниям шарнирно опертых прямоугольных пластинок с прямолинейным сквозным отверстием посвящены две публикации [46, 47]. Для пластинки, имеющей один вырез, моделирующий трещину и идущий параллельно одной из кромок, автор этих работ теоретически проанализировал свободные колебания и концентрации динамических напряже- ний у конца выреза. Пластинка при исследовании делилась по направлению выреза на две части, и в плоскости выреза, исключая сам вырез, выражались внутренние моменты и сдвигающая сил . Каждую часть пластинки можно было при дальнейшем ра9Смотрении считать прямоугольной шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной по четвертой кромке на участках вне выреза неизвестными моментами и сдвигающей силой как линейной нагрузкой. После определения функции влияния для прогибов, удовлетворяющей граничным условиям, и интегрирования по участкам вне выреза произведения этой функции влияния и линейной нагрузки находились прогибы. Налагая некоторые условия при связывании для участков вне выреза на прогибы и углы прогибов соответствующих пластинок, автор получил интегральные уравнения Фредголь-ма первого рода относительно внутреннего момента и внутренней сдвигающей силы. Заменяя далее интегральные уравнения конечными суммами, он получил частотное уравнение. В качестве собственных векторов находились распределения внутреннего момента и внутренней сдирающей силы. Определение собственных значений проводилось путем решения трансцендентного уравнения итерационным методом. [c.295]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...