Типы задач иа собственные значения

Уравнения на собственные значения типа (11,50) могут быть решены как прямыми, так и итерационными методами. Так как ВО многих физических задачах иа собственные значения амплитуды колебаний мод уменьшаются с увеличением частоты то часто требуется лишь несколько первых собственных значений X,- и соответствующих им собственных векторов В этом случае итерационные методы, как правило, более предпочтительны. Подробности процедур решения задач на собственные значения описываются в литературе [12—15]. [c.268]

Для стержня переменного сечения J в (11.20) — момент инерции некоторого фиксированного сечения. Он зависит от условий закрепления, характеристик стержня и типа нагрузки. Его можно найти, решая соответствующие задачи на собственные значения, что не всегда возможно. Приближенный способ определения критической силы, позволяющий избежать этих трудностей, указан в 11.3. [c.379]

В данной статье приводится решение задачи на собственные значения для прямоугольной пластинки с эксцентрическим круговым вырезом для различных вариантов сочетания внешних и внутренних граничных условий. Известно, что для решения такой задачи обычно применяются приближенные методы типа метода конечных элементов, метода конечных разностей и метода коллокаций [4]. Они обладают определенными [c.69]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Я. А. Р о й т б е р г и 3. Г. Ш е ф т е л ь. Граничные задачи и задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами, в сб. Матем. физика , Киев, 1965, стр. 119—135. [c.416]

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, но зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. [c.49]

Все перечисленные модельные уравнения решаются при соответствующих граничных условиях. Можно указать два типа краевых задач задачи о прохождении и задачи на собственные значения. В первом случае предполагается, что решение известно в бесконечно удаленной точке и рассматривается его изменение после прохождения резонансной зоны (зоны сильного взаимодействия осцилляторов). Второй тин задач сводится к поиску финитных решений, т. е. решений, локализованных в конечной области безграничного пространства. [c.7]

Этот оператор обычно называют КВ-гамильтонианом молекулы потому, что в молекуле существуют два физически разных типа ядерных движений и соответственно в гамильтониане присутствуют колебательные ((//, и вращательные (/х, Iу, ]г) операторы, имеющие разные математические свойства. Большинство работ по методу КП связано с проблемой упрощения задачи на собственные значения для гамильтониана При этом преобразование (2.10) выбирают обычно таким образом, чтобы сделать процесс нахождения КВ-энергии молекулы Еун двухступенчатым, последовательно концентрируя внимание вначале на колебательной , а затем на вращательной задаче. [c.33]

Далее будем предполагать, что задача на собственное значение должна решаться, например, с целью определить эффективный коэффициент размножения или условия критичности в данной системе. После того как групповые константы определены, так же как геометрия, состав системы и тип решаемой задачи, выбирается источник деления. Пространственное распределение полного потока нейтронов в первой группе (я = 1) можно затем вычислить либо непосредственно для одномерной системы, либо с помощью внутренних итераций. Если рассматриваются приближения более высокого порядка, чем Рх-приближение, то помимо полного потока и тока нейтронов требуются дополнительные компоненты разложения угловой зависимости потока нейтронов. Когда поток нейтронов для первой группы известен, то расчет можно продолжить для следующей (я = 2) группы с выбранным источником деления и т. д. для всех О групп. Если в некоторых группах присутствует рассеяние, приводящее к возрастанию энергии нейтронов, то потребуются отдельные итерации, если только не используются специальные методы, такие, как метод матричной прогонки. [c.161]

В этих попытках достигнут некоторый успех, особенно в следующих двух направлениях во-первых, в установлении необходимых и достаточных условий для неустойчивости, когда влияние вязкости не принимается во внимание. Во-вторых, в установлении достаточных условий для устойчивости с учетом влияния вязкости. Однако условия первого типа иногда вводят в заблуждение, если они применяются недостаточно осмотрительно, а условия второго типа часто слишком слабы. Большинство же окончательных результатов все еще зависит от непосредственного решения задачи о собственных значениях в каждом отдельном случае, решения, включающего часто сложную вычислительную работу и иногда очень спорного. [c.21]

На каждой частоте со уравнение (1.10), граничные условия (1.9) и нулевые условия на бесконечности могут удовлетворяться лишь при дискретных значениях р, которые называются собственными значениями задачи, а сама задача (1.9)— (1.10) называется задачей на собственные значения. Если известно аналитическое решение уравнения (1.9), то удовлетворяя граничным условиям (1.9), можно в явном виде получить соотношение для определения Р, которое называется дисперсионным уравнением. В общем случае уравнение имеет q корней, каждому из которых соответствует определенное решение уравнения (1.8). Оно называется собственным решением задачи, а в электродинамике — собственным типом волны или модой. В круглом диэлектрическом волноводе моды при -V О имеют [c.24]

В математическом отношении задача о собственных колебаниях резонаторов приближенно приводится к задачам на собственные значения и собственные функции для скалярного уравнения Гельмгольца. В частности, собственные колебания двухзеркального резонатора представляют собой собственные функции типа прыгающего мячика, рассмотренные в главах 4 и 7. [c.265]

Пользуясь равенством (5.215) для определения критической точки и критических индексов, мы должны помнить, что в действительности речь идет о матричном соотношении, содержащем набор параметров взаимодействия. Соответственно здесь возникает задача на собственные значения. Ее можно решить прямыми методами (см., например, [76, 71]). Так, имеется прямая связь [77] между взаимодействием спинов в треугольной решетке (рис. 5.18) и взаимодействием между аналогичными переменными, определенными для треугольных спиновых блоков в соответствующей решетке блоков. Матрицу соответствующего отображения можно найти, вычисляя вклады различных характерных типов взаимодействия в парциальную статистическую сумму для гексагонального кластера спинов. Решение задачи на собственные значения [c.243]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

Вернемся после этого отступления к осциллятору и выясним вопрос, что изменится, если у нашего осциллятора будет не одна, а две или более степени свободы (пространственный осциллятор, твердое тело). Если каждой координате соответствуют различные механические собственные частоты (значения l a), то все останется по-прежнему. При этом достаточно представить у) В виде произведения функций от каждой из координат, чтобы вся проблема распалась на столько же задач рассмотренного типа, сколько имеется координат. Собственные функции будут произведением ортогональных функций Эрмита, собственные значения всей задачи будут суммами собственных значений, полученных для каждого измерения, во всех возможных сочетаниях. Ни одно собственное значение (всей системы) не будет кратным, если считать, что никакие из значений не находятся в рациональном отношении. [c.697]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Другие типы задач. Задачи колебаний и устойчивости неконсервативных линейных систем (см. гл. V) приводят к квадратичной проблеме о собственных значениях [c.79]

Механика занимает в кругу технических дисциплин промежуточное положение, а именно она стоит между общеобразовательными предметами, как математика, начертательная геометрия, физика, и собственно техническими, специальными науками. Обыкновенно изучение механики представляет для начинающего известные трудности эти трудности возникают особенно тогда, когда учащемуся самому приходится решать задачи механики такого типа, какие ставятся техникой, и как раз тут-то и обнаруживается, усвоены ли положения механики во всем их значении или нет. Оказывается, что они не усвоены и нет навыков применить их, как бы ни казались просты основные теоремы, однако новичку очень трудно охватить их значение и научиться правильно применять их в разнообразнейших проблемах техники и природы. Больше чем где-либо уместны здесь старые слова Лейбница ...хотя сама природа и проста в своих законах, но необычайно богата в применении их . [c.193]

Во всех вариантах метода, описанных в книге, решение задачи дифракции (т. е. решение неоднородного уравнения) ищется в виде ряда типа (1.4), и различные варианты отличаются тем, как вводятся собственные функции т. е. решением каких однородных задач они являются. И уравнение, и граничные условия для должны быть однородными. Если уравнение для будет отличаться от уравнения для [/ только отсутствием правой части, а граничные условия для будут теми же, что и для и, то будут, вообще говоря, тождественно равны нулю. Для того чтобы получить систему ы , надо изменить либо уравнение, либо граничные условия и ввести в них некоторый свободный параметр, который будет играть роль собственного значения. [c.12]

Легко обобщить полученные результаты на случай, когда р и р в условиях (10.29), (10.30) являются функциями координаты на поверхности 5 (т. е. р = р(з), р = р(5)). Такая ситуация возникнет в задаче дифракции, если поверхность 5, на которой происходит дифракция, имеет переменную прозрачность, например, является ленточной решеткой с переменным коэффициентом заполнения. В этом случае (как и в ш-методе при ш = да(5)) р и р в условиях однородных задач (10.4) также являются функциями 5, а роль собственных значений играет некий параметр, входящий в эти функции. Возможный вид функций Рп(5) и р (5) оп-ределяется формулами типа (5.11), (5.33). Подробнее более общая задача будет рассмотрена в 12. [c.108]

Применение описанного выше метода для задач дифракции на незамкнутых поверхностях не встречает принципиальных трудностей. В этом случае оказываются справедливыми все полученные здесь формулы, кроме интегрального уравнения (10.28) для I варианта. Заменяющее его уравнение оказывается сложнее, и мы его приводить не будем. Формулы типа (10.10), (10.32) изменятся таким же образом, как и соответствующие формулы 9 эти формулы можно получить, например, предельным переходом от очень тонкого тела (рис. 9.1). Напомним, наконец, о том, что в р-методе для незамкнутых поверхностей малость собственных значений всегда свидетельствует об истинном резонансе. [c.108]

Функционал (16.8) стационарен на собственных функциях однородной задачи -метода, если к принимает значение кп. Но он же стационарен и на собственных функциях ш-метода при да = ау , поскольку при вычислении б нигде не конкретизировалось, какой именно из двух параметров к или да) играет роль собственного значения, а функция ф не подчинялась никаким условиям, содержащим да. Как и все функционалы такого типа, (16.8) принимает в стационарных точках нулевые значения. [c.162]

Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных уравнений вида (10,1), получающиеся в случае эллиптических дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры существуют и для других типов задач. Например, конечиоэлементная формулировка линейной задачи иа собственные значения приводит к алгебраической задаче на собственные значения, которая может быть решена либо прямым, либо итерационным методом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны рекомендациям для стационарной задачи. Линейные динамические задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от времени, для которых более подходящими являются итерационные методы. Для решения нелинейных систем уравнений не существует прямых методов, поэтому приходится использовать итерационные процедуры, В следующих разделах дан краткий обзор прямых и итерационных методов,, а также некоторых соответствующих приемов уменьшения времени и стоимости решения, [c.223]

Очевидно, что теории представленного здесь типа необходимы для описания поведения элементов конструкций из слоистых композитов, используемых на практике. Многие результаты, полученные с помощью глобально-локальной модели, и их использование при анализе межслойного разрушения приведены Сони и Кимом [43—45]. В их работах рассматривается влияние межслойного сдвига и растяжения на расслоение в композите. Модель оказалась вполне пригодной для изучения влияния характеристик материала, геометрических параметров и укладки слоев на межслойные эффекты в слоистых ком- позитах со свободными кромками. В настоящее время для рассмотрения более общих проблем теории упругости слоистых композитов разработан новый алгоритм решения. В этом алгоритме соответствующие определяющие уравнения перегруппировываются к виду, характерному для задач на собственные значения, и промежуточные величины, появляющиеся в уравнениях (80)—(83), определяются достаточно эффективно. Новый подход [52] позволяет использовать до 40 — 50 различных локальных или глобальных областей в пределах слоистого композита. [c.80]

Уравнение (4.1) рассматривается вместе с однородными граничными условиями (например, ф = — О Д я опертого по концам стержня). Мы получаем, таким образом, задачу о собственных значениях, содержащую два параметра — характеристический показатель г и параметр нагрузки р. При Р = О все г — чисто мнимые, а частоты колебаний — действительные. Критическое значение р определяется из условия, что при Р >> Р среди характеристических показателей г впервые окажется хотя бы один, имеющий положительную действительную часть. Если выход, на правую полуплоскость происходит через значение г = О, то потеря устойчивости невозмущенной формы равновесия носит неколебательный характер. В остальных случаях будет иметь место неустойчивость колебательного типа. В задачах аэроупругости говорят о дивергенции и флаттере соответственно. [c.334]

Выбор подходящего алгоритма для решения той или иной задачи на собственные значения определяется типом собственных значений, типом матрицы и числом искомых собственных значений. Чем сложнее задача, тем меньше число алгоритмов, пз которых можно выбирать. Таблица 3.1 позволяет облегчить этот выбор. Обычно пакеты математического обеспечения ЭВМ содержат подпрограммы, в которых используются все эти алгоритмы или некоторые из них. Одним из эффективных способов использования имеющегося математического обеспечения является одновременное применение двух подпрограмм, позволяющее совместить их лучшие качества. Например, имея матрицу общего вида, можно методом Хаусхолдера свести ее к виду Гессенберга, а затем с помощью алгоритма найти собственные значения. При этом будут использованы как быстрота, обеспечиваемая методом Хаусхолдера, так и универсальность алгоритма QR. [c.67]

Так как в этой работе для решения динамических задач для упругих тел с трещинами применяется метод граничных интегральных уравнений, то представляется цёлесообразным и задачи на собственные значения для них решать этим методом. Однако при непосредственном использований граничных потенциалов типа (5.4) и построенных на их основе граничных интегральных уравнений вида (5.61) и (5.65), возникают принципиальные трудности. Они заключаются в том, что хотя фундаментальные решения, входящие в (5.61), (5.65), зависят от частоты (см. формулы (5.24) — (5.26), в которых обозначено = Ыса), тем це менее решение задачи нельзя свести к алгебраической задаче на собственные значения. Поэтому при таком подходе для определения собственных частот и форм колебаний необходимо последовательно задавать различные значения частот возмущающих сил до тех пор, пока не появится резонанс. Поскольку полная система граничных интегральных уравнений должна быть составлена и решена для каждого значения частоты, то такой метод решения требует больших объемов вычислений. [c.127]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Значительно более, удовлетворительным представляется положение в отношении плоского течения Пуазейля. Здесь, после того как тщательные расчеты Линя, основанные на асимптотических разложениях, специального типа, применимых при больших Re, подтвердили основной вывод Гейзенберга о неустойчивости этого течения и позволили найти форму кривой нейтральных возмущений с( , Re) =0, эти результаты были еще раз проверены Томасом (1953) с помощью численного решения соответствующей задачи на собственные значения, а затем частично также и Локком (1955), использовавшим усовершенствованную форму асимптотических разложений. Результаты всех этих расчетов оказались вполне удовлетворительно совпадающими друг с другом (см., например, рис. 14). В дальнейшем Шэнь (1954) рассчитал по методу Линя для этой задачи также и форму кривых 3m (fe, Re) = onst, определяющих совокупность возмущений с заданной быстротой возрастания. Форма нейтральной кривой 3>n (fe, Re) = О, где Re = UHilv, и — максимальная скорость невозмущенного течения, найденная Линем и Локком, показана на рис. 14. Критическое число Рейнольдса (отвечающее самой левой точке этой кривой) оказалось равным примерно 6000 по данным Локка и [c.127]

Решения уравнения Гельмгольца, сосредоточенные в окрестности оси волновода и имеющие вид произведения экспоненты на функцию параболического цилиндра, аргументы которых представляют собой бесконечные ряды, строили В. С. Булдырев [6] и В. Ф. Лазуткин [3]. Впервые с неразрешимостью задач на собственные значения при условии, что величины ф и 2я линейно зависимы над кольцом целых чисел, столкнулся В. Ф. Лазуткин [5], исследовавший собственные функции типа прыгающего мячика в однородной среде. Собственные функции типа прыгающего мягчика в неоднородной среде рассматривались В. С. Булдыревым в [7]. Им же получена формула для собственных частот открытого резонатора, заполненного неоднородной средой. Поправки в формуле для собственных частот неконфокальных резонаторов нашел В. Ф. Лазуткин [4]. [c.442]

Во-вторых, задачи на собственные значения типа (9.18), как правило, не эрмитовские. Так, например, диагональные элементы массового, поляризационного и им подобных операторов могут иметь конечные мнимые части. В результате собственные значения Е могут оказаться комплексными (имеет место затухание). Соответственно параду с (9.18), (9.19) и т. д. следует рассматривать и сопряженные с ними уравнения. [c.82]

Приближенными собственными значениями будут Уг, а новая матрица Х , состоящая из приближенных собственных векторов, равна произведению матрицы Уп на квадратную матрицу порядка I, образованную из собственных векторов Q задачи (55). Бас и Парлетт детально изучили две вычислительные задачи решение небольшой задачи (55), для которой они используют исключение типа Якоби, как только матрицы становятся почти диагональными, и выбор начальной матрицы Л о. При выборе I допускается компромисс — при больших I требуется мало итераций, но каждая из них довольно дорога. При вычислении первых р собственных значений они брали I = т п 2р, р - - 8) и обнаружили, что восемь итераций дают отличные результаты. Этот способ эффективен даже для задач, слишком больших, чтобы работать только с оперативной памятью ЭВМ, и его можно с успехом применять к задачам на собственные значения, возникающим в методе конечных элементов. [c.278]

Важнейший класс теории П. составляют динамич. задачи изучение собственных, вынужденных, парамет-рич. колебаний, а также автоколебаний разл. типа, еапр. при флаттере. Расс.мотрение осн. типов колебаний ведётся о позиций линейной теории для жёстких П. и нелинейных зависимостей, относящихся к гибким и абсолютно гибким П. Большое значение для совр, техники имеет исследование поведения П. при быстром (динамич.) нагружении и при действии ударных нагрузок. Несущая способность П. при динамич. приложении усилий сжатия и сдвига в срединной поверхности оказывается выше, чем при статич. нагружении. При изучении динамич. устойчивости должны учитываться форма прикладываемых к П. импульсов и их последовательность. При исследовании динамич. задач для П. в ряде случаев должны приниматься во внимание волновые процессы в материале П., связанные с деформациями в срединной поверхности, и силы инерции, отвечающие деформациям сдвига (но модели Тимошенко), Соответствующие ур-ния движения являются гиперболическими. [c.627]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных Uzy Ur, Uq, р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (г, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

Задачи другого типа возникают при приведении системы с распределенным параметрами к системе с одной степенью свободы. Критерием в таком преобразова НИИ является равенство первой собственной частоты исходной системы и собствен ной частоты приведенной системы Обычно приводят массу к какой-либо точке си стемы, воспользовавшись статическим значением жесткости системы в этой точке Можно поступать иначе — привести к дайной точке жесткость системы, а сосредо точенную в ней массу принять равной массе исходной системы. [c.164]

Основной источник регулярных возмущений в рассматриваемых установках — рабочий процесс в ДВС. Поэтому одной из общих, существенно важных задач является разработка рациональных способов схематизации возмущающих свойств ДВС различных типов для решения задач динамики силовых установок. При расчетах динамической нагруженности установок для оценки долговечности их силовых цепей приходится, как правило, решать трудоемкую задачу определения собственных частот и q rapM многомерных цепных динамических моделей. В практике указанные расчеты обычно выполняют в нескольких вариантах. Поэтому важное значение имеют вопросы разработки эффективных алгоритмов расчета собственных спектров многомерных моделей с варьируемыми параметрами. [c.351]

Знание собственных частот колебаний квадратных пластинок с квадратными или прямоугольными вырезами является необходимым элементом проектирования авиационных, машиностроительных и гражданских конструкций. Изложенные здесь результаты посвящены исследованию, основанному на распространении разностной модели, аналогичной предложенной Виттевеном [1], на случаи включающие различные типы граничных условий. До сих пор не существо- йало как экспериментальных, так и теоретических значений основных частот колебаний пластинок с квадратными вырезами. Нахождение точного рещения задачи о свободных колебаниях таких пластинок оказалось трудным, за исключением случаев пластинок с круговыми вырезами. Широко используемый метод Рэлея — Ритца оказался непригодным в этом случае, поскольку для пластинок с вырезами трудно выбрать приемлемую первоначальную форму колебаний. Для квадратного выреза задача становится более сложной вследствие наличия в системе угловых точек. Использование метода конечных разностей для углов выреза также оказалось малоэффективным, поскольку в этом методе применяются фиктивные законтурные точки, которые трудно определить. Все это можно легко преодолеть с помощью физической мо- [c.52]

Если ток /(г) протекает в закрытом объеме, то функцию Г (/г) обычно тоже удается факторизовать без привлечения общей формулы (18.16). Например, в задаче о разветвленном плоском волноводе [и в аналогичных задачах, которые сводятся к системе уравнений типа (18.1)] функция Г(Н) не имеет разрезов и может быть представлена в виде произведения бесконечного числа множителей типа (к — Лл)- (где Нп — собственные значения некоторой краевой задачи), а такое произведение легко записать в форме (18.12). При этом и функция / (Л) также не имеет разрезов во всей плоскости Л, и интеграл для тока (18.7) деформацией контура в верхнюю полуплоскость преобразуется в сумму, каждый член которой есть ток, соответствующий волноводной волне. Для открытых же систем функции Г(/г) и / (/1) имеют разрезы, как в (18.17), и поле не Представц1 о в виде дискретной суммы вол1 , [c.183]

Во втором варианте р-метода ( 11) нормальная производная функции п непрерывна на 5, скачок испытывает сама и скачок этот пропорционален нормальной производной, и коэффициент пропорциональности Рп является собственным значением задачи. Метод, изложенный в 12, является обобщением т- и р-методов между значениями и ее нормальной пропзводнон с обеих сторон поверхности устанавливаются линейные соотношения. Этот метод применим к задачам дифракции при весьма общих граничных условиях для и на 5, условиях типа неизотропной полупрозрачной решетки. [c.14]

Излагаемый в этом параграфе вариант метода применйм при решении задач дифракции в открытых системах. В нем вспомогательная однородная задача оказывается вещественной и может быть сведена к вещественному интегральному уравнению, если в задаче дифракции присутствуют только потери на излучение. Это связано со следующей закономерностью, уже обсуждавшейся для закрытых задач. А именно, при наличии потерь только одного типа соответствующую вспомогательную задачу всегда можно сделать вещественной, если вводить собственное значение именно в той области, где эти потери присутствуют, точнее, если вводить собственное значение через параметр задачи дифракции, ответственный за эти потери. В рассматриваемом варианте собственное значение однородной задачи (которая соответствует задаче дифракции с потерями только на излучение) мы введем через условия для собственной функции на бесконечности. Физический смысл этих условий состоит в том, что существует как сходящаяся из бесконечности собственная волна, так и рассеянная телом собственная волна. Угловые зависимости сходящейся и расходящейся волн, определяемые формой и свойствами облучаемого тела, должны совпадать (с точностью до комплексного сопряжения). В качестве собственных значений принимаются отношения амплитуд рассеянных и приходящих [c.125]

Задача Дирихле ). Предположим, что О не является собственным значением оператора Л, и рассмотрим задачу (36.1) — (36.3) при Я = 0. Она распадается на внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле с + = " = на 5 внутренняя задача разрешима (это следует из предложения 1), внешняя всегда однозначно разрешима (см. [И] или [36]). Для этой двойной задачи Дирихле нетрудно получить теорему типа теоремы 2. Ограничимся замечанием, что оценка (36.13) заменится оценкой [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...