Задача Дирихле собственных значениях

Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Ла пласа с граничными условиями Дирихле и с плотностью, постоянной всюду в области ЙсЯ", >3, кроме малой окрестности некоторой ее внутренней точки О. Предполагаем, что точка (У является началом координат в Я", Й — ограниченная гладкая область. [c.262]

В действительности, задачи о собственных значениях могут быть ассоциированы и с какими-либо другими однородными краевыми условиями, однако для простоты мы будем рассматривать только условие Дирихле. [c.279]

Упражнение 1.3. Показать, что для задачи Дирихле, т.е. когда в (1.52) xi = Х2 = О, собственные значения имеют вид [c.212]

Упражнение 1.5. Показать, что в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате со стороной I минимальные и максимальные собственные значения имеют вид [c.212]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Предлолсение 1. Число A = О является собственным значением оператора А при тех и только тех (вещественных) k, при которых внутренняя однородная задача Дирихле [c.350]

Задача Дирихле ). Предположим, что О не является собственным значением оператора Л, и рассмотрим задачу (36.1) — (36.3) при Я = 0. Она распадается на внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле с + = " = на 5 внутренняя задача разрешима (это следует из предложения 1), внешняя всегда однозначно разрешима (см. [И] или [36]). Для этой двойной задачи Дирихле нетрудно получить теорему типа теоремы 2. Ограничимся замечанием, что оценка (36.13) заменится оценкой [c.357]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Нахождение собственных значений и собственных функщ1Й задачи Штурма-Лиувилля численными методами представляет определенные трудности. Метод конечных разностей недостаточно точен и ведет к большим ошибкам по причине необходимости обращения матриц большой размерности. Эффективный асимптотический метод, описанный в статье [15], применим только для граничных условий Дирихле. Здесь использован аналог метода стрельбы для нахождения решения задачи Коши для уравнения (2.21). [c.637]

Итак, достаточное условие устойчивости может быть сформулировано так пусть с = min[l/A(z)] > О, если с/сд > 1, где ко — наименьшее собственное значение вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля (2.30) с нулевыми граничными условиями Дирихле, то тогда течение устойчиво по Ляпунову в норме энстрофии (4.3). [c.664]

Если X (>0) есть минимальное собственное значение для задачи, определяемой дифференциальным оператором Лапласа и однородными граничными условиями Дирихле, то С=1/к (Курант и Гильберт, 1953, стр. 386—392). Из лем- [c.115]

О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В перфорированной ОБЛАСТИ [c.236]

Усреднение собственных значений и собственных функций задачи Дирихле в перфорированной области [c.252]

ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ С ОТВЕРСТИЯМИ МАЛОЙ СУММАРНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ И краевым УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ НА ГРАНИЦЕ [c.278]

Таким образом, l=k при достаточно малом е, поскольку Я (е)- 4, Я< >(е)- 4 и Яо - однократное собственное значение, и потому в его окрестности при достаточно малом е лежит только одно собственное значение оператора с однородными граничными условиями Дирихле. Приведенные рассуждения обосновывают формальное асимптотическое разложение (8.6). Доказана Теорема 8.5. Для собственных значений и собственных функций задачи (8.1) имеют место неравенства [c.292]

Теорема 9.10. Для каждого собственного значения Хо задачи (9.16), которому соответствуют только собственные функции, существует последовательность собственных значений задач Дирихле (9.15) для операторов такая, что Я - -Я при к->-- -оо. Имеет место оценка [c.302]

Для собственных функций и х) задач Дирихле (9.15) для операторов отвечающих собственным значениям Я , имеет [c.302]

Именно в этом причина того, что мы ввели в (5.6) член , содержащий мнимую единицу. Без этого члена (5.14) выполнялось бы только для, отличного от собственного значения задачи Дирихле в В,) [c.376]

Таким образом, задача Дирихле — эллиптическая даже при <7 = 0. Действительно, эллиптичность просто означает, что q превышает наибольшее собственное значение тах оператора Лапласа А. В задаче Неймана Vax = 0. v= 1 — соответствующая собственная функция и при = О эллиптичность отсутствует. В задаче Дирихле Ятах < О, и она остается эллиптической даже для некоторых отрицательных значений q. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...