Методы решения проблемы собственных значений

В общем случае наиболее эффективным из современных методов решения проблемы собственных значений моделей вида [c.234]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [c.131]

Изложение методов решения проблемы собственных значений содержится в [12, 13, 16, 45, 70, 71]. Как доступное введение в современное состояние проблемы можно рекомендовать [30]. [c.132]

Суммируя все сказанное относительно предложенного метода и алгоритма вычисления минимального критического параметра и соответствующей формы потери устойчивости, отметим, что удалось избежать таких операций, как решение проблемы собственных значений, обращение и перемножение матриц большего порядка. Это позволяет надеяться, что предложенный метод и составленная на его основе программа для ЭВМ найдут применение при расчете сложных пространственных конструкций на устойчивость. [c.107]

Таким образом, задача сводится к решению проблемы собственных значений для матрицы, соответствующей системе (3.2). В расчетах, связанных с высокими приближениями метода Галеркина,предпочтительными являются итерационные способы нахождения собственных значений, удобные для реализации на ЭВМ. [c.21]

Поскольку на практике в вибрационные расчетах интерес представляет лишь определенная (как правило, низшая) часть спектра частот и форм собственных колебаний, определяемая числом р < и, где п - полное число уравнений (3.59), рассматривается частная проблема собственных значений. Среди многочисленных методов решения такой задачи [c.108]

Приведенные примеры, разумеется, не исчерпывают всех особенностей применения МКЭ для расчета собственных колебаний конструкций и служат в основном иллюстрацией выбранного метода решения частной проблемы собственных значений. [c.112]

На втором этапе вычисляется геометрическая матрица жесткости конструкции, соответствующая этим внутренним усилиям, и затем находятся один или несколько корней уравнения (1.8) и соответствующие им формы потери устойчивости. Задача вычисления корней уравнения (1.8) называется проблемой собственных значений, которая рассмотрена в разделе 1.4.2. Теория устойчивости деформируемых систем и применение метода конечных элементов к решению задач устойчивости конструкций подробно изложены в [10, 12, 15, 17, 20]. [c.38]

В гл. 1 показано, что нелинейный конечно-элементный расчет на устойчивость способом последовательной линеаризации сводится к решению на каждом шаге нагружения конструкции квадратической проблемы собственных значений (1.81). В свою очередь квадратическая проблема может быть решена методом, описанным в 4.2 настоящей главы. Алгоритм решения квадратической проблемы собственных значений является более громоздким, чем соответствующей линейной проблемы, так как требует вычисления, помимо матриц [К] и еще и матриц [c.116]

Определение таких решений (собственных векторов и соответствующих им собственных значений матрицы коэффициентов этой системы) в общем случае требует обращения к численным методам. Вопросы численного решения алгебраической проблемы собственных значений к настоящему времени разработаны достаточно полно (см., например, [353]). Если эта проблема решена и [c.207]

Третий способ вычисления нулей основан на использовании вспомогательной программы матричных преобразований, в которую включены алгоритмы решения обобщенной проблемы собственных значений для пары матриц [141 с помощью QZ-методов [15]. Это хороший пример задачи, которую лучше всего решать, применяя файл макрокоманд. [c.126]

В этом разделе будут рассмотрены теоретические основы метода Шура для решения различных типов алгебраических уравнений Риккати с помощью соответствующих обобщенных проблем собственных значений. Обобщенная проблема собственных значений представляет собой единую методику надежного численного решения широкого класса уравнений Риккати, возникающих в оптимальном управлении или задачах фильтрации, в том числе нестандартных задачах с вырожденными весовыми матрицами управления (или ковариационными матрицами шума измерения), перекрестными весовыми (взаимно корреляционными) матрицами и вырожденными переходными матрицами (для дискретных систем). Кроме того, могут рассматриваться модели в пространстве состояний, приводящие к обобщенным уравнениям Риккати [c.249]

Основные алгоритмические проблемы метода Шура связаны с преобразованием пучка матриц (5) или (9), решением обобщенной проблемы собственных значений (4) и упорядочением обобщенных собственных значений, с тем чтобы устойчивые собственные значения были расположены в верхних левых блоках размерности йХ/г матрицы ЯЬ — М. В данном разделе приведены некоторые детали соответствующих алгоритмов. Рассматриваются также и связанные с этим вопросы численной обусловленности. [c.253]

Таким образом, чтобы на кривой нагрузка—перемещение найти точку бифуркации, необходимо, совместно с определением равновесных состояний конструкции, из уравнения (43) найти минимальное собственное значение X. Поскольку решение проблемы (43) на каждом шаге нагружения конструкции (в чисто вычислительном аспекте) также представляется весьма трудоемкой задачей, то наряду с модификациями описанного алгоритма поиска точек бифуркации используются и другие методы [13]. [c.289]

С математической точки зрения проблема заключается в определении собственных значений и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы уравнений (5.3.4). В отдельных случаях (каноническая форма пластинки, однородное докритическое состояние, специальный вид краевых условий) решение этой задачи не вызывает затруднений и осуществляется элементарными методами. Примером может служить задача об устойчивости шарнирно закрепленной прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в своей плоскости в одном или в двух направлениях. Однако в большинстве случаев исследование устойчивости равновесия пластинки является сложной математической проблемой, требующей для своего решения применения специальных методов. [c.144]

Методы градиента и наискорейшего спуска получаются при единичной матрице N,. Попытка применения этих методов к решению большинства задач оптимизации электронных схем приводит к возникновению проблемы, аналогичной проблеме минимальной постоянной времени в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей схем. Эта аналогия позволяет установить, что количество шагов поиска в гребневых ситуациях соизмеримо с отношением максимального и минимального собственных значений матрицы Гессе. [c.157]

При решении динамических задач для упругих тел конечных размеров, содержащих трещины, возникает необходимость определения их собственных частот и форм колебаний, т. е. возникает задача на собственные значения. Эта проблема достаточно хорошо изучена, разработаны эффективные аналитические и численные методы ее решения [96, 208, 256, 260, 426, 471 и др.]. Обычно при ее решении исходят из граничной задачи для соответствующего дифференциального оператора (в теории упругости для оператора (3.1)). [c.127]

Из выражения (10.14.47) следует, что если бы мы могли вычислить собственные значения трансфер-матрицы V трехмерной модели Изинга, то могли Ьы также вычислить их для двумерного гамильтониана Ж Наоборот, можно надеяться, что решение последней проблемы приведет к решению первой. К сожалению, ни та, ни другая проблема не решена точно, хотя приближенные методы, рассмотренные в разд. 1.5, привели к полному успеху. [c.270]

Решение системы для вязких возмущений для переменных и, и, го, го, у, р проведено методом ортогонализации [19]. Достаточно сложной является проблема построения трех линейно независимых векторов для замыкания краевой задачи на собственные значения в цилиндрической системе координат. Как обычно, используются аналитические решения в областях постоянных параметров среднего течения — в потенциальном ядре г О и дальнем поле струи г оо, где постулируется отсутствие добавочных центробежных членов. [c.138]

Основной метод, примененный в этих экспериментах, состоял в предварительной балансировке обобщенной проблемы собствен ных значений. Поскольку в основе решения уравнений Риккати методом Шура лежит решение соответствующей обобщенной проблемы, подобная балансировка представляется целесообразной. [c.255]

В настоящее время наиболее эффективный в вычислительном отношении алгоритм решения проблемы собственных значений симметричных матриц произвольной структуры базируется на методе Хаусхолдера ортогонального подобного приведения анализируемой матрицы к трехдиагональному виду. Трехдиаго-нализация (п X га)-матрицы А осуществляется на основе ненте-рационной вычислительной процедуры, состоящей из г — 2 шагов последовательных преобразований подобия исходной матрицы А. На каждом шаге в качестве матриц преобразования используются ортогональные матрицы отражения Р следующего вида [95] [c.228]

Как в спектральных, так и в прямых методах интегрирования уравнений движения петли ГЦК необходимо располагать представительным (для получения достаточной точности) набором форм и частот ее собственных колебаний. Решение проблемы собственных значений МКЭ для петли ГЦК вьшолнено изложенным выше блочно-степенным методом. [c.196]

Освоение программы NASTRAN служит стимулом для изучения различных областей теории упругости и пластичности, строительной механики, механики композиционных материалов, линейной алгебры и проблемы собственных значений, динамики и устойчивости конструкций, численных методов решения нелинейных систем, оптимизации конструкций. При этом NASTRAN имеет сравнительно небольшой набор базовых понятий, которые необходимо усвоить, чтобы начать использовать его на практике. [c.15]

Итак, для отыскания собственных частот и собственных форм систем с конечным числом степеней свободы применимы численные методы решения алгебраической проблемы собственных значений (G — х = О или ( iE — Н) х = О, где х = 1/А, = = 1/(0 , G и Н — или симметричные матрицы, или канадая из них есть произведение двух симметричных матриц. [c.79]

Д В — постоянные 5x5 матрицы, выражения для элементов которых легко получить, сопоставвляя между собой (4.4.14) и (4.4.15)) сводится, как известно, к решению полной проблемы собственных значений для матрицы А Б. При численном решении этой проблемы использовался обобщенный метод вращений [83]. [c.120]

Приведем результаты численного исследования [30] строения спектров матриц С,. .., G. Результаты получены путем численного решения на ЭВМ БЭСМ-6 полной проблемы собственных значений для этих матриц с использованием обобщенного метода вращений [83]. Выяснилось, что собственные значения 4x4 матрицы Е — комплексные числа [c.196]

X 4L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 4L X 4L матриц. Во втором случае размерности этих матриц составили 12 х 2L и 2L X 2L соответственно. Краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения (см. гл. 7), а при решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с приведением матрицы к форме Хессенберга (см. [353]). Значение параметра L, достаточное для обеспечения высокой точности результата, опреде- [c.260]

X 6L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 2L-E(ju) X 2Ь-Е /л) матрицы. В рассмотренном далее примере краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения, а при численном решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с предварительным приведением матрицы коэффициентов системы (8.6.26) к форме Хессснберга [353 ]. При вычислениях принималось L = 6, что согласно оценкам, полученным в предыдущих разделах, достаточно для обеспечения высокой точности результата. Данные о скорости сходимости метода относительно параметра /г приведены ниже. Расчеты выполнены с использованием МВК Эльбрус-2. [c.272]

Методы прогонки с ортогонализацией были изложены выше без учета влияния ошибок, возникающих при численной реализации алгоритма и проистекающих в конечном счете от округления. Ошибки округления возникают при использовании численных алгоритмов для решения линейных систем алгебраических уравнений, при решении задачи Коши, при решении полной проблемы собственных значений. В последнем случае не требуется высокой точности определения собственных значений и векторов. Чтобы проиллюстрировать это, найденные с ошибками собственные векторы разложим по точным собственным векторам. Если внедиаго-нальные элементы такого разложения на о дин-два порядка меньше 1, а диагональные мало отличаются от 1, то такие приближенные собственные векторы вполне годятся для использования в м.н.о. Эксперимент показывает, что максимальная ошибка в результат решения задачи вносится из-за конечной величины шага численного метода решения задачи Коши. [c.226]

По приведенным результатам можно сделать ряд полезных выводов. Заметим, что в данном случае k (Уц) и относительное приращение (г) являются хорошими показателями точности вычислений. Поскольку машинная точность приблизительно равна 10" , можно ожидать, что для хорошо обусловленной задачи (для е = 1) правильными будут около 17 значащих цифр. Результаты показывают, что при каждом изменении k (Uii) и г на порядок точность уменьшается на одну зна чайную цифру. Это служит хо- рошим показателем обусловленности. Заметим, что балансировка по ВарДу улучшает обусловленность Уц и уменьшает значение г для тех же значений е. Эта балансировка позволяет находить решения для меньших значений е, однако в данном случае точность уже не связана так явно с k (Уц). По-прежнему хорошим показателем точности служит относительное приращение. Во всех случаях при приемлемом начальном приближении всего несколько итераций по методу Ньютона восстанавливают максимальную точность. В качестве начального приближения использовалось решение обобщенной проблемы собственных значений, которое счи-262 [c.262]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

В вычислительном аспекте эта проблема сводится к нахождению собственных значений 2. определителя п порядка [2]. Существующие многочисленные методы решения рассматриваемой проблемы [3] позволяют успешно отыскивать значения при небольших п. Эти же методы с помощью ЭЦВМ позволяют прин-ципиально решать поставленную задачу при больших значениях. п п достигает значений десятков и сотен единиц). Однако с ростом п и числа г жесткостных и инерционных параметров системы использование многих известных методов может оказаться малоэффективным даже с использованием ЭЦВМ, поскольку важно определить не только ( о, , но и факторы, влияющие на их значения. [c.19]

Краткая характеристика чнсленных методов решения стандартной алгебраической проблемы. Отыскание собственных значений эквивалентно отысканию корней алгебраического полинома. Все методы решения алгебраической проблемы являются в сущности итерационными. Численные методы решения алгебраической проблемы получили свое дальнейшее развитие в связи с широким применением ЭВМ. При выборе метода следует руководствоваться общими требованиями к устойчивости счета, точности результатов, простоте реализации алгоритма на ЭВМ и экономичности по затратам машинного времени. Основные методы решения алгебраической проблемы, машинно-ориентированные версии методов и особенности реализации можно найти в [22, 106, 107, 108]. [c.79]

Использование метода квазичастиц для построения приближений. Очевидно, что в данном случае точный путь решения также позволяет естественным образом строить приближения. Можно ожидать, что если исключены все собственные значения а оператора К, кроме тех, величина которых мала по сравнению с единицей, то оставпшйся борновский ряд для У или V сходится быстро. С практической точки зрения главная проблема состоит в том, каким [c.240]

Очевидно, что общая стратегия, используемая при решении задач на собственное значение к, содержит два различных вида расчетных проблем. Одна из них — определение пространственного распределения одногрупповых потоков в задачах с известными источниками для двух- и трехмерных задач это делается с помощью так называемого метода внутренних итераций (см. разд. 3.4.3, 3.4.4). Другая проблема включает в себя итерацию источника деления до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. Такие итерации обычно называются внешними тп итерациями по источнику), чтобы отличить их от внутренних итераций для внутригрупповых потоков. [c.150]

Ковариационные матрицы температуры, использованные для расчета собственных векторов и собственных чисел, имеют несколько меньший порядок, чем указанный ранее. Это обусловлено тем, что сокращая порядок матрицы 5г за счет исключения ковариаций, полученных по выборкам меньшего объема (они характерны для уровня 30, 20 и 10 гПа), мы достигаем определенной внутренней согласованности значений элементов такой матрицы и, следовательно, обеспечиваем достаточно высокую точность рассчитываемых по ней величин Ра и /Закроме того, мы столкнулись с проблемой получения состоятельных оценок е. о. ф., поскольку при их вычислении использовалась не истинная, а выборочная ковариационная матрица, определенная по выборке ограниченного объема. Для решения ее был применен метод прямого сопоставления е. о. ф., вычисленных по разным выборкам. Это сопоставление, проведенное для станций Калининград, Одесса и Ашхабад на основе трех январских выборок температуры за 1961 —1965, 1966—1970 и 1961 —1970 гг. (при П1 = П2=120 и П2 = 240 случаев), показало, что собственные векторы Ра мало изменяются от выборки к выборке (косинус угла между подобными векторами равен 0,90—0,99), а нормы % матриц 5г различаются между собой незначимо и случайно. Все это подтверждается также результатами подробного анализа прост-ранственно-временной устойчивости собственных векторов, которые детально обсуждаются в гл. 3 и 4. [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...