Собственное значение наибольшее

Выражения, устанавливающие связь между а,( ) и а,( >( ) и Я, при которых имеют место периодические решения, называются собственными значениями функций Матье первого рода. Наибольшую ценность в полученных приближенных решениях представляют собственные значения которые разбивают плоскость пара- [c.222]

Неравенство (3.48) является аналогом условия (3.41). Имеются некоторые алгебраические условия, достаточные для того, чтобы выполнялось неравенство (3.48). На практике, однако, их используют редко, и мы не будем их приводить. Сформулируем лишь простой необходимый признак устойчивости. Обозначим через к], Х2,. .., Лр собственные значения матрицы перехода 5. Очевидно, А,2",. .., Хр" — собственные значения матрицы S". Наибольшее по модулю собственное значение матрицы не превышает ее нормы (см. 1.6), поэтому [c.87]

Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 22, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Р=50 кН, F=2 см, 1= м. Материал — сталь, Я=200 ГПа. Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня можно не учитывать. [c.40]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Следствие. Рассмотрим преобразование Т, для которого матрица А линейного приближения имеет собственные значения, не превышающие единицы, I Цг I <1 1 при г = 1, 2,. . ., т. Оператор Т асимптотически устойчив. Пусть к — число, лежащее между наибольшим из [х и единицей. Тогда существуют положительные числа т) и с такие, что если х < т , то [c.428]

Под решением мы понимаем собственную функцию, имеющую наибольшую величину собственного значения. [c.23]

Путем сравнения первых трех собственных значений устанавливается, что если 2 — произвольная выпуклая фигура с наибольшим диаметром ( тах, наименьшим dn m, ТО в случае [c.35]

Если рассмотреть совокупность прямоугольников, вписанных в О, то оказывается, что все прямоугольники этой совокупности пересекаются между собой. В этом случае сравнение величин собственных значений для наибольшего и любого другого вписанного прямоугольника невозможно, так как это сравнение обосновывалось теоремой (В), которая в этом случае теряет силу. [c.36]

План, обеспечивающий минимум наибольшего собственного значения матрицы D (min max X), называется -оптимальным [c.135]

При использовании итерационного процесса для определения наибольших по модулю собственных значений применяют другую форму представления уравнения (40а) [c.489]

Матрица В порядка (п — 1) имеет собственные значения fi2,. .., fi . Собственное значение 2 находят одним из методов вычисления наибольшего собственного значения. Далее из равенства [c.85]

Коэффициент показывает, во сколько раз амплитуда неоднородного критического давления больше верхнего критического однородного давления 7в. Задача по отысканию критического состояния оболочки сведена к нахождению наибольшего собственного значения X бесконечной матрицы А. Собственный вектор С, соответствую-Ш.ИЙ этому Я , позволяет найти прогибы оболочки. Вычисление Я удобно производить методом итераций. [c.233]

Основная теорема. Пусть задана система линейных уравнений (1.10) и пусть А, А" — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А. Тогда процесс простой итерации (1.11) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем [c.211]

Если — наибольшее собственное значение матрицы то [c.191]

Чтобы вычислить критические показатели, необходимо найти наибольшее собственное значение РГ-уравнения, линеаризованного относительно седловой неподвижной точки. [c.394]

По найденным значениям ujf (г = 1,. .., 6) вычисляется собственный вектор При этом, предполагая, что собственные значения не являются кратными, в матрице [R — ХЕ] среди всех ее миноров пятого порядка выбирается тот, который имеет наибольшее по модулю значение, то есть вычисляется номер строки, подлежащей исключению в (9.7), и номер столбца, определяющий правую часть соответствующей системы уравнений пятого порядка. [c.490]

Эту же теорему можно использовать для определения такта квантования Б том случае, когда известно собственное значение системы с наибольшей собственной частотой со ах- Она будет максимальной частотой, пропускаемой дискретным регулятором без искажений. В частности, если исполнительное устройство обладает значительной инерционностью, в общем случае не следует выбирать слишком малый такт квантования, поскольку может случиться, что предыдущий сигнал управляющей переменной окажется неотработанным к моменту прихода следующего сигнала. Если в системе используются измерительные приборы, выдающие сигналы дискретно, как, например, в химических анализаторах или во вращающихся радиолокационных антеннах, то такт квантования дискретного регулятора оказывается заданным. Оператору, как правило, желательно иметь в системе быстрый отклик управляющей или регулируемой переменной на ступенчатое изменение задающего сигнала в произвольный момент времени. Поэтому такт квантования не должен превышать нескольких секунд. Более того, если учитывать возможность возникновения опасной ситуации, например появления сигнала тревоги, такт квантования следует выбирать малым. Для минимизации вычислительных затрат или стоимости каждого контура управления такт квантования следует брать как можно большим. [c.112]

Собственные значения все неотрицательны и наибольшее из них l (со) в точности определяется формулой [c.281]

Поиск собственных чисел матриц большого размера, возникающих при решении интегрального уравнения методом моментов (2.84) или методом квадратур (2.90), возможно использование либо алгоритмов диагонализации матриц [б1], либо метода Пропи [62]. Последний позволяет находить несколько первых, наибольших по абсолютной величине, собственных значений. [c.168]

Метод, которым мы пользовались здесь для решения интегрального уравнения, позволяет надежно вычислить лишь одно-два собственных значения. Для случая, когда требуется найти с достаточной точностью несколько собственных значений и соответствующих им собственных функций (например, если добротность резонатора невелика и для решения задачи дифракции требуется учесть несколько членов ряда), можно предложить некоторую модификацию общеизвестного итерационного метода. При этом будут использованы не только последние итерации, дающие, как известно, наибольшее по модулю собственное значение, но и все предыдущие — именно в них содержится информация о высших собственных значениях. К тому же и общее число итераций оказывается намного меньшим, чем обычно. [c.238]

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, но зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. [c.49]

Определение наибольшего собственного значения методом итераций [c.52]

На рис. 3.1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы [c.52]

Пример 1. Определить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Д (рис. 10.11, а) определить числовые значения наибольшего наиряжеиия и наибольшего перемещения, если F = = 5 кН, Д] —2 см - , / = 1 м. Материал — сталь (Е 2 10 МПа). Собственным весом стержня пренебречь. [c.125]

Сформулируем еще одно утверждение модуль каждого собственного значения матрицы Л не превосходит любой из ее норм. Отсюда l maxl ЦЛ , гдб Ащах — наибольшее собственное значение матрицы Л. [c.24]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Вероятностно-статистическое содержание чисел обусловленности матриц. Кроме рассмотренных чисел Kyi и Тюринга, для оценки обусловленности матр 1Ц Д. К. Фаддеевым предложено число //х, равное где — наибольшее собственное значение матрицы А А %п — наименьшее собственное значение этой матрицы. Здесь индексом т отмечено транспонирование матрицы А. Вероятное содержание числа при нормальном законе распределения погрешностей коэффициентов матрицы А соответствует отношению большой и малой осей эллипсоида рассеивания результатов решения уравнения [c.182]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Из формул (3.2) следует, что чувствительность к возмущениям у распределений полей устойчивых резонаторов из зеркал сравнительно небольшой кривизны быстро убывает, при прочих равных условиях, по мере увеличения последней. Действительно, при этом величина ar os fgig2 возрастает вместе с ней растут все разности собственных значений близких по классификации мод. Поэтому распределения полей устойчивых резонаторов, заметно отличающихся от плоских (и концентрических), сравнительно мало подвержены влиянию внутрирезонаторных аберраций. К этому добавим, что большая расходимость излучения лазеров с устойчивыми резонаторами значительного сечения обычно вызывается не влиянием аберраций, а возбуждением мед высокого порядка (см. следующий параграф). Наконец, если еще принять во внимание, что играющие, как правило, наибольшую роль волновые аберрации первого порядка (оптический клин) и второго ( линзовость среды) легко учитываются прямо на этапе составления матрицы резонатора, то в дальнейший анализ деформаций отдельных мод можно уже не вдаваться. [c.151]

Мы получили интегральное уравнение с положительным симметричным ядром. Нас интересует наибольшее собственное значение этого уравнения. Чтобы гриближённо вычислить Xq, будем исходить из следующего свойства наибольшего собственного значения. Пусть / (х) — некоторая функция, не принимающая отрицательных значений и отличающаяся тем свойством, что отношение Lf/f ограничено. Тогда, если Lfjf заключено в пределах Aj и Лд [c.347]

Чтобы сравнить этот результат с предыдущим рассмотрением, напомним, что решение в виде (10.8.16), содержаш ее соответствует решению (10.7.21), содержаш ему 2 , и решению (10.6.17), содержаш ему 2>. Следовательно, собственное значение Я < 1 в терминологии разд. 10.6 соответствует показателю у dO, а Я > 1 — показателю > 0. Тогда из (10.8.22) следует, что для е <С О точка Pj является седловой точкой, а Рц соот етлт ует неустойчивому узлу (фиг. 10.6.2,6). Таким образом, критическую точку следует отождествить с точкой Pi, и критический показатель необходимо вычислять по формуле (10.7.23) исходя из наибольшего соответствуюш его собственного значения Ям- Соответственно находим [c.398]

Пусть Л —вполне непрерывный (другое название компактный) оператор. Известно (см., например, [2], гл. V), что тогда 2 (Л) состоит из О и не более чем счетного множества собственных значений, которые могут скапливаться только к 0. Каждому собственному значению Я =/= О отвечает конечномерное корневое подпространство 2 (Я) = %), состоящее из всех таких векторов f, что (Л — /) f = 0 при каком-нибудь натуральном т. Если f =7 = О, то наименьшее m = m(f) называется порядком вектора f. Корневые векторы порядка 1 — это собственные векторы, порядка больше 1 — присоединенные векторы. Если О — собственное значение, то мы будем предполагать, что отвечающие ему корневые векторы образуют конечномерное подпространство ). Размерность d (Я) = dim й (Я) называется алгебраической кратностью собственного значения Я. Если она больше 1, то либо 2 (Я) состоит из О и собственных векторов, либо там имеются также и присоединенные векторы. Положим еще m( ) = maxm(f) по всем f =7 О из Й(Я) это наибольший из размеров жордановых клеток матрицы оператора Л в (Я). [c.302]

Процедура начинается с пробного нормированного вектора Х Этот вектор умножается слева на матрицу Л, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X . Если вектор X совпадает с вектором Х " , то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходилюсти этого итерационного процесса зависит от того, насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...