Алгоритм определения собственных значений и собственных элементов

Алгоритм определения собственных значений и собственных элементов [c.155]

При появлении отрицательных элементов включается алгоритм решения задач на собственные значения (7.32) или (7.36). Последняя задача решается в том случае, если матрица АК не является положительно определенной. Находится столько пар собственных чисел и собственных векторов, сколько появляется новых отрицательных диагональных элементов. [c.227]

В соответствии с алгоритмом вначале вычисляют собственные значения и собственные векторы гамильтониана. Собственные значения записывают в виде диагональных элементов матрицы d, а из собственных векторов образуют матрицу v. После этого исключают из рассмотрения столбцы матрицы v, соответствующие определенным собственным значениям, и в итоге вычисляют коэф-144 [c.144]

Остановимся теперь на особенностях определения собственных значений и собственных форм составных систем, включающих подсистемы с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами (см. рис. 76). При отсутствии нулевых значений i согласно (13.23) и кратных элементов со,- матрицы Q системы (13.22), как указывалось в 13, можно обоснованно усекать бесконечномерную модель (13.22). Будем полагать, что для рассматриваемого ограниченного частотного интервала (О, % ) выполняется неравенство (13.24). Тогда проблема собственных спектров эквивалентной усеченной модели (13.22) на указанном частотном интервале решается на базе дихотомического алгоритма (14.10), (14.11) и вычислительной схемы (14.44). Возможные дополпительпые модификации расчетной модели (13.22), связанные с наличием нулевых Сг или кратных сог, рассмотрены выше. [c.240]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Методы прогонки с ортогонализацией были изложены выше без учета влияния ошибок, возникающих при численной реализации алгоритма и проистекающих в конечном счете от округления. Ошибки округления возникают при использовании численных алгоритмов для решения линейных систем алгебраических уравнений, при решении задачи Коши, при решении полной проблемы собственных значений. В последнем случае не требуется высокой точности определения собственных значений и векторов. Чтобы проиллюстрировать это, найденные с ошибками собственные векторы разложим по точным собственным векторам. Если внедиаго-нальные элементы такого разложения на о дин-два порядка меньше 1, а диагональные мало отличаются от 1, то такие приближенные собственные векторы вполне годятся для использования в м.н.о. Эксперимент показывает, что максимальная ошибка в результат решения задачи вносится из-за конечной величины шага численного метода решения задачи Коши. [c.226]

Замечания. Можно заметить, что алгоритм А подобен <3 -алго-ритму с явным сдвигом. Фактически алгоритм А несколько проще, так как в нем сдвиги есть не что иное как требуемые собственные значения, которые известны заранее, в то время как в С -алго-ритме сдвиги определяются в процессе вычислений. Еще одно отличие состоит в том, что вектор обратной связи (шаг 3) находится из условия соответствия сдвига и требуемого собствен-ногр значения. Алгоритм, разработанный Миминисом и Пейджем [5] для решения задачи РСЗ в одномерных системах, также основан на ( -алгоритме. Его отличие от алгоритма А состоит в том, что исходной является матрица замкнутой системы Р1 = = Р — где пара (Р, ) представлена в верхней форме Хессенберга, а вектор подлежит определению. Другими словами, в матрице Р неизвестной является первая строка. Затем в соответствии с алгоритмом 15] вначале с помощью сдвигов и ортогональных преобразований требуемые собственные значения располагаются на диагонали верхней (блочной) треугольной матрицы (действительной формы Шура), в которой неизвестными являются наддиагональные элементы. На втором этапе определяются эти неизвестные элементы и в результате — неизвестная первая строка матрицы Р и вектор обратной связи к . [c.299]

Переставив строки, как показано цифрами справа, прямым ходом метода исключения Гаусса приводим матрицу А к верхнетреугольному виду. Далее определитель матрицы А вычисляется как произведение диагональных элементов. Чтобы зафиксировать изменение знака определителя необходимо, очевидно, повторять этот алгоритм в пределах определенного интервала изменения частоты со. Четких правил по выбору начального значения частоты и шага ее изменения не существует. Здесь необходимо руководствоваться интуитивными представлениями. Ориентиром могут служить частоты собственных колебаний отдельных стержней (см. таблицу № 7) и в качестве начальных значений выбирать (1/100 - 1/1000) минимальной частоты составляющих элементов стержневой системы. В качестве грубого шага изменения частоты можно рекомендовать (1/100 - 1/1000) длины интервала, на котором определяется частота. Далее, если интервал, содержащий корень уравнения (3.2), найден, интервал и ко- [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...