Алгебра линейная

Эта книга в течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. [c.161]

Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы). [c.9]

Замечание. Здесь х — параметр, определяющий некоторый пучок алгебр, линейно зависящий от х. При ж > О эти алгебры изоморфны алгебре вм(3), при ж < О — алгебре зи(2, 1), при х = О — полупрямой сумме (во(2) вм(1)) С . [c.284]

Следуя иному подходу, во многих книгах по векторному и тензорному анализу (линейная алгебра) используют свойства преобразований, выраженные уравнениями (1-2.10) и (1-2.11), для определения упорядоченных систем чисел, называемых соответственно контравариантными и ковариантным векторами. [c.19]

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Первые пять замечаний позволяют в некоторых важных случаях сразу указать главные или даже главные центральные оси инерции. В общем случае для нахождения главных осей инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (29) к каноническому виду (к главным осям). [c.184]

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования [c.237]

Матрица vy этого преобразования и числа Гь которые получаются в результате, определяются методами линейной алгебры. Эти п чисел Г являются корнями алгебраического уравнения rt-й степени [c.237]

Все корни Г[ векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа Г положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45). [c.237]

Координаты 9 (/= ,..., ) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Qj,. .., 0 , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для [c.237]

Набор степеней протекания независимых реакций в закрытых системах играет ту же роль, что и набор компонентов, позволяя минимальным числом соотношений между количествами веществ описать любые возможные изменения а химическом составе системы. Но, как видно из (1.4), в отдельных случаях число независимых реакций может оказаться меньшим, чем число компонентов. Это дает определенные преимущества при выполнении термодинамических расчетов. Кроме того, химические переменные оказываются более удобными для сочетания термодинамических и кинетических данных с целью выяснения механизма реакции. Выбор как компонентов, так и независимых реакций неоднозначен, но он облегчается применением методов линейной алгебры (см. 21). [c.68]

При расчетах равновесий в сложных системах для задания химического и фазового составов вводятся десятки, а иногда и сотни дополнительных внутренних переменных. Такие большие массивы переменных и соответствующих им входных данных делают мало пригодными обычные, рассмотренные выше методы их преобразования и даже способы записи. Для решения задачи с помощью ЭВМ требуются иные, строго систематизированные, формализованные способы представления и обработки термодинамических величин. Эффективным оказывается использование для этих целей методов линейной алгебры (см., например, [17]). Ниже рассматривается применение таких методов для преобразования переменных, описывающих состав системы. [c.175]

В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это [c.16]

Уравнения (19) являются однородными алгебраическими уравнениями линейными относительно двух искомых величин А1 и А - Такие два уравнения имеют тривиальное решение, нулевое Л1 = 0, Л2 = 0. Это решение не представляет интереса. Чтобы система (19) имела для Л1 и А решения, отличные от нуля, как известно из линейной алгебры, необходимо и достаточно, чтобы детерминант из коэффициентов при А , А был равен нулю [c.520]

Для таких симметричных тензоров в линейной алгебре доказывается, что в каждой точке существуют такие прямоугольные оси координат, называемые главными осями, для которых тензор принимает диагональную форму [c.215]

Применяя известные формулы линейной алгебры, найдем [c.267]

В курсе высшей алгебры доказывается, что корни характеристического уравнения не изменяются при любом линейном однородном преобразо вании переменных q и q . [c.562]

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 141 для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Д , Да,. . ., / матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е. [c.32]

В заключение приведем две теоремы линейной алгебры, которые нам понадобятся в дальнейшем (см., например, 19, 141), [c.140]

Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — ХЕ и В — ХЕ имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А — [c.143]

Краткие сведения из векторного анализа и линейной алгебры [c.290]

Некоторые сведения из линейной алгебры. Приведем вначале некоторые сведения из линейной алгебры, которые потребуются в дальнейшем. Рассмотрим прямоугольную матрицу [c.22]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

Как известно из линейной алгебры, чтобы система однородных линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. [c.514]

Использование методов линейной алгебры в химической кинетике позволяет найти инварианты химических реакций, т. е. линейные комбинации концентраций компонентов, которые не меняются в ходе той или иной совокупности химических реакций. К инвариантам химических реакций можно, в частности, отнести концентрацию атомов. Использование того факта, что концентрации элементов не меняются при химических превращениях, позволяет упростить некоторую часть уравнений диффузии, используя систему уравнений сохранения для отдельных элементов (5.1.19). [c.207]

Равенства (3.6) и (3.7) могут быть записаны в краткой форме при переходе к более однотипным обозначениям, применяемым в тензорном исчислении и линейной алгебре [c.41]

Эта теорема является простым следствием известной теоремы Крамера алгебры линейных уравнений. Система уравнений (1.7) имеет при условии а(х, у)/Щ, > ) О одно определенное решение относительно неизвестных с1г] при заданных с1х, с1у. Это значит, что определенному перемещению на плоскости ху в окрестности точки хцуо соответствует одно определенное перемещение на плоскости в окрестности точки о> о - В частности, при с1х = О, с/у = О система (1.7) имеет единственное решение = 0, (1у]= 0. [c.588]

Точно так же, как полная алгебра полей, сохраняющих 2(1 ), описывается сворачиванием инвариантов группы Кокстера, конечномерная алгебра линейных векторных полей выражается через операцию линеаризованного сворачивания инвариантов Фо Т хТ - Т [c.134]

Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М, 1976. [c.172]

Как известно из линейной алгебры, можно в силу положительной определенности скалярного произведения в R подобрать такую матрицу перехода Aj, к некоторому новому базису, в котором матрица скалярных произведе- [c.309]

При изложении основ тензорной алгебры ( 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хи у = а 2, 2 = хз, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым ( 33) индексам г и s, а знак принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = q, а минус— к случаю рф q] будем иметь [c.283]

В гл. 5 дается абстрактная аксиоматическая формулировка основных положений квантовой механики, выходящая за пределы курса и (эолее подробно обсуждаемая в квантовой механике. Этот материал является факультативным и может быть пропущен при чтении (5ез ущерба для понимания остальных разделов книги. Однако для более полного понимания сути квантовой механики и ее принципиального отличия от классической теории эту главу желательно изучить факультативно. Для этого достаточно математической подготовки в объеме стандартного курса линейной алгебры и отчетливого понимания материала, изложенного в первых четырех главах книги. [c.10]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

По изиестной теореме линейной алгебры детерминант системы (32) [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...