Собственная функция дискретна дискретные значения

Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению Х, обозначим причем предполагается, что число /С изменяется непрерывно. [c.108]

В случае установившихся колебаний (для определенных дискретных значений параметра со) решения внутренних задач при однородных краевых условиях оказываются отличными от тривиальных. Поэтому будем исходить из того, что каждое из уравнений (4.13) и (4.14) имеет по п собственных функций, которые обозначим следующим образом. [c.593]

Дискретные числа называются собственными значениями, и они непосредственно определяют собственные частоты конструкции функции (fn x/L) называются собственными функциями или нормальными формами колебаний. Поскольку они описывают решения однородного уравнения без демпфирования, то оказывается, что любая нормальная форма колебаний, возникнув, будет существовать бесконечно долго и ей будет соответствовать собственная частота Мя. [c.25]

Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала (а, Ь). в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма — Лиувилля, при р(лг)>0, г(дг)>0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений (точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р х) (см. стр. 263). В случае 1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные значения — простые. [c.240]

Однородное стационарное уравнение (3.108), дополненное граничным условием (3.110), имеет бесчисленный спектр дискретных собственных значений v и соответствующих собственных функций oj), т. е. [c.96]

Спектр собственных значений, определяемый равенством (П. 8), включает-в себя счетное множество дискретных значений Х . В общем случае они являются действительными и комплексно-сопряженными величинами, которым со-ответствуют действительные и комплексно-сопряженные собственные функци фл(г,т) и т). [c.214]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

Для получения асимптотических распределений необходимо иметь точные или приближенные аналитические выражения для собственных частот во всем интересующем нас частотном диапазоне. Пусть собственные частоты упорядочены при помощи п параметров i, k ,. .., принимающих дискретные положительные значения. Чаще всего этими параметрами являются волновые числа, характеризующие собственные формы (например, числа, обратные длинам волн вдоль координатных осей). Назовем соответствующий вектор к = (kj, 2,, kn) волновым вектором. Зависимость (й = Q (к), а также объем ячейки Дк, приходящийся на одну частоту спектра, будем считать заданными. Асимптотическая функция распределения собственных частот (рис. 3) [c.175]

При (й = 1 дискретные собственные значения т1о становятся равными бесконечности, а обе дискретные собственные функции ф( т]о, fi) вырождаются в одну [c.381]

Этот спектр совершенно отличен от прежнего. Вместо того чтобы полу шть по меньшей мере пять дискретных собственных значений (как в гидродинамическом случае), мы имеем теперь непрерывный спектр для всех значений к. Кроме того, собственные функции представляют собой сингулярные функции Дирака. [c.101]

Лля дискретного случая обозначим через / , п = 0,1,..., собственные значения величины /, а соответствующие волновые функции системы — через (собственные функции величины /). [c.461]

Свойства оператора К и функции V (с) определяют соответствующие свойства оператора Ь. Для последнего, как для самосопряженного оператора в всегда возможно спектральное разложение, но спектр может быть частично дискретным, частично непрерывным. Точкам дискретного спектра (собственным значениям) соответствуют собственные функции, принадлежащие точкам же непрерывного спектра (обобщенным собственным значениям) не соответствуют никакие интегрируемые с квадратом собственные функции, хотя можно найти обобщенные собственные функции, не принадлежащие (вообще говоря, это не обычные функции). [c.88]

В (3.13) II к II означает норму в гильбертовом пространстве .) Действительно, если существуют дискретные собственные значения между значением Я = О (которому соответствуют собственные функции и vo, то положим [х равным наименьшему из этих собственных значений, р, = в противном случае примем х = vo. [c.89]

Чтобы показать, что это справедливо также и для дискретного спектра, рассмотрим уравнение, которому удовлетворяют собственные функции оператора А, соответствующие произвольному собственному значению [c.155]

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда С ф — инвариант столкновений. Следовательно, уравнение (7.20) допускает множество собственных функций фх с >.2 > О или 2 = О, причем нулевому значению соответствуют четыре собственные функции Фа = (а = 0,2,3,4), в общем же случае спектр может быть частично непрерывным и частично дискретным. Множество функций ф , согласно общей теории [14], является полным в Ж х, так что для любой ф е Mt имеем [c.217]

Уравнение (5.18) имеет решением дискретный ряд комплексных чисел VI, Г2,. ... Эти числа можно рассматривать как собственные значения задачи, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения (5.6), условия излучения и условия / (а) = 0, т. е. как те значения входящего в эту задачу параметра Ут, При которых существуют отличные от нуля решения. Эти решения — функции Яу (йг)— являются собственными функциями этой задачи, поэтому они образуют полную систему и удовлетворяют условию ортогональности [c.48]

Изложение метода, основанного на разложении дифрагированного поля по дискретной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых собственным значением выбран не частота, а какой-либо другой электродинамический параметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность использования таких разложений. [c.269]

Излагаемый ниже дискретный аппарат отличается от применяемого в теории рассеяния метода Штурма характером вспомогательной задачи (собственные функции удовлетворяют правильным условиям на бесконечности, собственное значение не является постоянной связи) и тем, что в ряд разлагается не все решение. Именно это и позволяет при рассеянии на квазистационарном уровне получить явные выражения для полей и диаграмм рассеяния и указать эффективный вычислительный аппарат при любой форме барьера. [c.67]

В теории оптических резонаторов большую роль играет уравнение типа (П.Б.2), которое мы и рассматриваем в дальнейшем. Уравнение имеет непрерывные, ненулевые решения для дискретных значений у, которые называются собственными значениями однородного интегрального уравнения или ядра /С(х, у). Соответствующие решения называются собственными функциями интегрального уравнения [c.193]

Ни одно значение дискретного спектра не является вырожденным, т. е. каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция, как видно из следующего. Пусть две собственные функции соответствуют собственному значению X. Тогда имеем [c.69]

Теорема П16.2. Пусть (М, //, (fit) — классическая эргодическая система, Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен Ьх- [c.145]

Первая попытка обстоятельного рассмотрения оператора переноса связана с односкоростной задачей при изотропном рассеянии для бесконечной пластины без отражателя [21]. Первоначально предполагалось, по аналогии с другими проблемами математической физики, что существует бесконечный набор дискретных собственных значений уравнения (1.47) и что соответствующие собственные функции образуют полную систему. Точное решение уравнения (1.45) дало, однако, конечный (ненулевой) набор действительных собственных значений, для которых > —ov и, кроме того, непрерывный спектр для всех а,. < —ov (как в третьей ситуации из рассмотренных в предыдущем разделе). Вклад непрерывного спектра спадает, однако не медленнее, чем ехр (—ovt). Так как всегда существует одно или несколько дискретных собственных значений, асимптотическое решение при больших временах будет [c.35]

Итак, суш,ествуют два дискретных собственных значения и —Уд, которые удовлетворяют уравнению (2.16), когда V ф х. Соответствуюш.ая собственная функция определяется уравнением (2.19) [c.56]

Итак, помимо двух дискретных собственных значений, которые удовлетворяют уравнению (2.20), существует континуум собственных значений (и соответствующие им собственные функции) для всех V, лежащих между —1 и 1. Решение уравнения (2.12) для —1 х 1 может быть теперь представлено в виде [c.58]

Поскольку (Л/ + 1) О отмеченных выше значений а найдены как корни полиномов, то все они являются дискретными. Естественно задаться вопросом, что стало с непрерывным спектром собственных значений, для которых ас— [иа ( )]мин. связанных с сингулярными собственными функциями. На практике они появляются как легко различимые дискретные собственные значения, так как соответствующие собственные функции имеют резкую и нерегулярную зависимость от энергии [100]. В многогрупповой задаче эти дискретные собственные значения имеют величину а, меньшую, чем минимальное значение vo, при выбранной групповой структуре. [c.297]

Такие частотные функции приводят во взаимное соответствие Nm = Nv собственных частот исходной группы с определенными Nr частотами каждой из других групп. Эти функции приобретают конкретный физический смысл собственных частот системы лишь дискретно при значениях та, соответствующих целым т из последовательности —Sj2[c.12]

В частных случаях задачи, когда тело имеет простую в геометрическом смысле форму, было н йдено, что уравнение, выражающее граничные условия (1.30) или (1.31), имеет бесчисленное множество корней и дает ряд возрастающих значений для чисел т , представляющих дискретную совокупность чисел построенная же при помощи формулы (1.29) функция > является общим интегралом уравнения Фурье. Уравнение (1.28) называют л арал гйрмс 7м<гесл ил, а функции Uj, являющиеся частными решениями уравнения (1.23),— характеристическими или собственными функциями задачи. Они соответствуют совершенно определенным дискретным значениям параметра т. [c.24]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Изложенная выше теория собственных функций относилась к максвелловским молекулам. Для немаксвелловских молекул с конечным радиусом взаимодействия, как уже отмечалось в начале параграфа, полный оператор /,(ф) имеет непрерывный спектр собственных значений. Однако можно преобразовать этот оператор так, что спектр нового оператора оказывается дискретным. [c.209]

Так как вектор к фиксирован (к = 0), то произвольно задавать СО нельзя действительно, со должно быть таким, чтобы точка со принадлежала спектру оператора Ь. Известно (гл. 3), что Ь, вообш е говоря, имеет и дискретный, и непрерывный спектры замечательным исключением являются максвелловские молекулы. Если собственные функции оператора Ь обозначить через gi, обобш енные собственные функции — через а соответствующие собственные значения — через —и —X (Х , X > 0), то общее решение можно записать в виде [c.166]

Нри наличии дифракционных потерь дискретный спектр оператора Ь должен быть дополнен системой собственных функций, собственные значения которых образуют непрерывный спектр. В литературе уделено большое впимапие проблемам, связанным с разложением по такой расширенной системе собственных функций. В частности, можно порекомендовать книгу [37]. Однако в нашем случае эти обстоятельства не имеют особого значения. Известно [38], что путем сколь угодно малого изменения вида оператора Ь можно добиться того, что новый оператор уже будет обладать полным набором собственных функций. Так как любой физический процесс мы всегда описываем приближенно (например, используем параксиальное приближение и проч.), то [c.128]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

Таким образом, — собственные функции оператора II с соответствующими собственными значениями в . Множество z р Е , называемое дискретным спектром оператора 11 образует полную ортонорми-рованную систему в 7 2(М, л). Тем самым мы приходим к следующему определению. [c.32]

Существование собственного значения к предполагалось выше иа основе физических соображений. Точнотакже предполагается существование соответствующей ему неотрицательной собственной функции. Для некоторых простых задач был детально исследован спектр собственных значений к. Например, было доказано [30], что в односкоростном приближении (см. гл. 2) с изотропным рассеянием для среды или пластины существует бесконечное число дискретных действительных собственных значений к и что, в частности, наидгеньшее из них является эффективным коэффициентом размножения. В многогрупповом приближении также может быть получена обширная информация о собственных значениях к и собственных функциях (см. гл. 4). [c.38]

Дискретные собственные значения V уравнения (2.92) можно найти, если результат его интегрирования по .I приравнять единице. Это было пределано для некоторых особых случаев. В работе [52] доказана полнота системы дискретных и непрерывных собственных функций. [c.84]

Еш,е одно замечание касается того, что суш,ествуют некоторые пределы, превзойти которые собственные значения не могут. Собственные значения, превосход71ш,ие эти предельные величины, принадлежат непрерывному спектру п связаны с сингулярными собственными функциями, такими, как рассмотренные в разд. 2.2.3. Для полного решения задачи с импульсным источником нейтронов или нейтронными волнами (синусоидальный источник) эти сингулярные собственные функции следовало бы принимать во внимание, но для асимптотических решений (по времени и пространству) достаточно дискретных собственных значений при условии, что они существуют. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...