Граничные задачи

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

При постоянном значении ш формулы (3.5), (3.6) позволяют получать реше 1ия, з вая гармоническую функцию ф(г, р). Рассмотрим граничную задачу определения Ф с условиями прилипания и = и = 0 на аналитической кривой у = х). [c.194]

Наибольшее распространение получил метод Колосова — Мусхелишвили сведения краевых задач для бигармонического уравнения к граничным задачам теории аналитических функций. Методом Колосова—Мусхелишвили заниматься не будем рекомендуя читателю книгу [27 , [c.63]

Если границей движения (по оси у) является твердая стенка, то на ней ф = 0 (как следствие условия Vy = 0), если же ширина потока не ограничена (с одной или с обоих сторон), то такое же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток однороден. Будем рассматривать k как заданную вещественную величину частота же ю определяется тогда по собственным значениям граничной задачи для уравнения (41,2). [c.241]

Основные граничные задачи статики упругого тела. [c.84]

Первая основная граничная задача состоит в нахождении в области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2), а на поверхности его еще следующим условиям [c.84]

Вторая основная граничная задача состоит в нахождении такого решения уравнений (5.1) и (5.2), которое на поверхности тела удовлетворяет граничным условиям [c.84]

Доказательство существования рещения указанных задач представляет трудную проблему математического анализа. Однако в. настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упругости установлена при весьма общих условиях. Принимая существование решений упомянутых граничных задач, перейдем к доказательству их единственности. [c.85]

Допустим, что одна из указанных основных граничных задач имеет два решения Uh, Orh и Uk", Gtk. Очевидно, разность этих решений [c.85]

В случае первой основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, на поверхности тела Г г = 0, так как оба решения должны удовлетворять условиям (5.38) при одних и тех же силах, заданных на поверхности этого тела. [c.85]

В случае второй основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, аналогично предыдущему случаю, на поверхности тела будем иметь Ur=0. [c.85]

Таким образом, во всех трех основных граничных задачах подынтегральная функция на поверхности тела равна нулю, т. е. [c.85]

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Цг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения щ различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [c.86]

В этом параграфе мы доказали, что система (5.1), (5.2) при заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным, так и многосвязным. [c.86]

Эффективное решение указанных в 34 граничных задач упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности. Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время мы располагаем решениями многочисленных задач теории упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные условия заданная система сил, приложенная к небольшой части упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела. [c.89]

Поскольку, согласно определению, условия па боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты Хз, граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела ( 35) при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи. [c.101]

Для первой основной граничной задачи контурные условия, согласно (2.22), записываются в виде [c.101]

Основные граничные задачи и приведение их к задачам теории функций комплексного переменного [c.129]

Под основными граничными задачами плоской теории упругости, аналогично тому, как для трехмерного тела ( 34), мы будем понимать следующие задачи [c.129]

Изложенные здесь результаты легко распространяются на случай, когда линия L представляет собой неограниченную прямую. В дальнейшем на основе этих результатов будут решены основные граничные задачи для полуплоскости. [c.144]

Решение граничных задач для полуплоскости [c.152]

В настоящей главе мы остановимся на некоторых принципах теории упругости, имеющих важное значение для получения группы методов Весьма эффективного численного решения граничных задач теории упругости. С одной из общих теорем теории упругости — теоремой Клапейрона мы познакомились в четвертой главе. [c.210]

Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи д.ля дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.97]

Заметим, что удовлетворять заранее статическим граничным уело-виям, вообще говоря, нет надобности, так как функции Uj, реализующие минимум функционала П, будут удовлетворять, как уже известно, уравнениям равновесия Ламе (5.47) и статическим граничным условиям (5.48), т. е. будут решением граничной задачи, эквивалентной принципу минимума потенциальной энергии. [c.108]

Задаваясь различными гармоническими функциями фь, входящими в представление (4.40), можно получать различные частные решения граничных задач. Имея частные решения, с помощью суперпозиций получаем новые решения. [c.337]

Первую граничную задачу решим путем введения функции напряжений Фх, принимая [c.377]

Вторую граничную задачу решим также с помощью функции напряжений i, вводимую равенствами [c.378]

В третьей главе обсуждается постановка граничных и начально-граничных задач теории упругости, доказывается их единственность. Рассмотрению двумерных задач предшествует формулировка принципа Сен-Венана и его доказательство в случае нагружения цилиндрического стержня. Далее вводятся общие представления смещений через гармонические и через волновые функции, позволяющие свести некоторые важные задачи теории упругости к одной или нескольким последовательно решаемым классическим краевым задачам. Обстоятельно рассмотрены качественные вопросы, связанные с понятием сосредоточенной силы, нерегулярных решений задач теории упругости, возникающих при наличии на границе угловых линий, конических точек и т. п. Указанные решения легли в основу постановок задач механики хрупкого разрушения. [c.7]

К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243]

Привален алгоритм реше1шя обратной граничной задачи теплопроводности для тйл простой Фюрмы на основе решения нехарактеристической задачи Коши, Граничная обратная задача теплопроводности, представляемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривается в . классе задач оптимального управления. Для построения алгоритма р= иения граничной ОЗТ иыл применен метод синхронного детектирования. [c.148]

Рис. 46.4. Граничная задача, рассмотренная Нильсоном в работе 4]

На практике наиболее широкое распространение имеют следующие случаи загруженкя и закрепления тел 1) заданы силы, при-" ложенные на поверхности тела 2) заданы перемещения точек его поверхности 3) на одной части поверхности заданы перемещения, а на другой — внешние силы. В связи с этим различают три типа основных граничных задач статики упругого тела. [c.84]

В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае ди- амической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения Uk° и проекции вектора скорости Vk° точки тела в некоторый момент времени to, с которого начинается изучение задачи, т. е. [c.86]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Таким образом, определение функций о,л сводится к решению двух граничных задач. Первая задача состоит в определении функций Офх1 и 04,ф1, которые должны подчиняться уравнениям (11.43) и условиям (11.45), а вторая — в нахождении функций 0 1, [c.377]

Таким образом, задача определения функций atjo сводится к двум независимым граничным задачам. Первая из них, т. е. уравнения (11.60) вместе с условиями (11.62) и (11.63), представляет собой задачу кручения прямого бруса прямоугольного поперечного сечения (см. гл. VII, 8). задача, как уже известно, решается путем введения функции напряжений, которая определяется формулой [c.382]

Таким образом, определение функций сводится также к двум независимым граничным задачам. Первая из них состоит в определении функций Оф,1, Офу1 из уравнений (11.69) и условий (1. 71) и [c.383]

Введем понятие регулярного решения. Классическая постановка началы-ю-граничной задачи для дифференциальных уравнений требует, чтобы решение обладало определенными производными внутри области вплоть до границы. В применении к уравнениям теории упругости это требование (определяющее так называемое регулярное рещение) означает, что смещения должны иметь в области непрерывные вторые производные, а сами функции и их первые производные должны быть непре- [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...