Сравнение собственных значении

СРАВНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И а [c.39]

Это означает, что справедливо условие С4, и мы можем применить теоремы 1.9, 1.12 для сравнения собственных значений и собственных функций задач (5.40), (5.1) при /п=2. [c.278]

В действительности эти три вращения не могут происходить одновременно, а лишь последовательно. Тем не менее ото нисколько не мешает тому, чтобы в анализе рассматривать их как происходящие одновременно дело в том, что каждое из них, изменяя бесконечно малое положение тела, лишь бесконечно мало влияет на смещения, вызываемые другими вращениями, и видоизменяет движения, обязанные своим происхождением другим вращениям, лишь на величину, бесконечно малую по" сравнению со своим собственным значением. Прим. Бертрана.) [c.77]

Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. Задачу на собственные значения называют самосопряженной, если для любых двух функций сравнения U и о выполняются условия [c.300]

Задачу на собственные значения называют полностью определенной, если для любой функции сравнения выполняются неравенства j иМ и] dx >0 juL[u]dx> 0. а а [c.300]

Отсюда видно, что выражения относительной ширины доверительного интервала для расчетных значений собственных частот и жесткостей отличаются коэффициентом у причем доверительный интервал тем уже, чем равномернее распределена потенциальная энергия по системе. Квадраты собственных частот изменяются пропорционально изменению жесткости только в случае, когда вся потенциальная энергия системы сосредоточена в этой жесткости. Очевидно, что квадраты приращения собственных частот изменяются пропорционально одинаковому изменению всех жесткостей, но такое изменение маловероятно при случайных значениях Сравнение расчетных значений собственных частот с действительными имеет смысл только в случае, когда разность между соседними собственными частотами значительно больше, чем доверительный интервал их расчетных значений. Например, если относительная разность между собственными частотами (плотность собственных частот) —ioJ/ш = z 1, то относительное отклонение заданных значений жесткостей от действительных J—должно быть меньше чтобы относительное отклонение собственной частоты не превышало а/2. [c.15]

Путем сравнения первых трех собственных значений устанавливается, что если 2 — произвольная выпуклая фигура с наибольшим диаметром ( тах, наименьшим dn m, ТО в случае [c.35]

Если рассмотреть совокупность прямоугольников, вписанных в О, то оказывается, что все прямоугольники этой совокупности пересекаются между собой. В этом случае сравнение величин собственных значений для наибольшего и любого другого вписанного прямоугольника невозможно, так как это сравнение обосновывалось теоремой (В), которая в этом случае теряет силу. [c.36]

Определение спектра собственных значений упругих систем сводится к поиску корней трансцендентного уравнения Л со,Р) =0, где А -матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений МГЭ. Корни трансцендентного уравнения (3.2) наиболее просто определяются методом последовательного перебора в сочетании с прямым ходом метода исключения Гаусса. Алгоритм МГЭ объединяет в себе преимущества МКЭ, метода перемещений (отсутствие точек разрыва 2-го рода в трансцендентном уравнении для собственных значений, возможность определения точного спектра, простота логики формирования уравнения (3.2) и т.д.) и отбрасывает их недостатки. Достигается это ценой более высокого порядка частотного уравнения по сравнению с существующими методами. [c.388]

Сравнивая задачу (7.33) с задачей (7.29), видим, что их отличие заключается в том, что при матрице Кг в уравнении (7.29) стоит множитель а в (7.33) — множитель /i. Из сопоставления выражений (7.28) для элементов матриц Ki и Кг видно, что для достаточно малого шага во времени элементы матрицы Кг пренебрежимо малы по сравнению с элементами матрицы Ki в силу того, что Ui j С и О < /г < 1. Отсюда следует, что при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к обобщенной задаче на собственные значения [c.225]

В результате возникает линейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными, к интегрированию которой сводится определение спектра свободных колебаний слоистой тонкостенной оболочки. Эта система включает в себя следующие группы зависимостей (считаем оболочку достаточно тонкой и пренебрегаем во всех уравнениях величинами порядка h/R по сравнению с 1) [c.244]

Большой интерес представляют задачи, относящиеся к механике неоднородных структур. Одна из таких работ выполнена В, М. Барановым и Е. М, Кудрявцевым [37]. В ней с использованием аппарата теории возмущений и теории групп рассмотрено влияние неоднородностей в виде трещин, сколов, раковин и анизотропии упругости на характер изменения спектра собственных частот колебаний круговых пластинок. Показано, что вследствие понижения степени симметрии, обусловленной неоднородностями, происходит расщепление резонансных пиков для собственных частот колебаний, соответствующих выраженным собственным значениям. Это обстоятельство приводит к появлению дополнительных по сравнению с однородными пластинками резонансных частот колебаний. В работе получены расчетные соотношения, связывающие параметры изменения спектра собственных частот колебаний с параметрами, определяющими неодно-,-родности. [c.294]

Т. е. ф,г/т — собственные функции оператора Ь, соответствующие собственным значениям Предпочтение, отдаваемое максвелловским молекулам в сравнении с другими, более реальными молекулярными моделями, объясняется именно этим основным результатом. [c.97]

Если регулятор состояния проектируется не для конечного времени установления (апериодического характера процессов), то приходится выбирать достаточно большое число их свободных параметров по сравнению с другими структурно оптимизируемыми регуляторами. При синтезе регуляторов без оптимизации квадратичного критерия качества приходится задавать либо коэффициенты характеристического уравнения (разд. 8.3), либо собственные значения замкнутой системы (разд. 8.4). Квадратично оптимальные регуляторы состояния требуют выбора весовых матриц матрицы Ц для переменных состояния и матрицы К для управляющих переменных. Для синтеза наблюдателей также необходимо выбрать свободные параметры, которые опять же являются либо коэффициентами характеристического уравнения, либо весовыми матрицами Оь и Нь квадратичного критерия качества (разд. 8.6). К тому же на процесс синтеза наблюдателей влияют параметры принятых моделей внешних воздействий (разд. 8.2), а также величина такта квантования (что относится и к регуляторам). Возможность выбора такого относительно большого числа свободных параметров при синтезе регуляторов состояния, с одной стороны, позволяет достаточно полно учесть характеристики объекта и требования к качеству управления, а с другой стороны, допускает определенный произвол при задании столь большого числа параметров. Поэтому расчет регуляторов состояния редко выполняется за один прием, а чаще проводится итеративно с использованием оценок качества процессов регулирования (изложенных в гл. 4), [c.177]

Отметим, что уравнение для собственных частот кп в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту к на собственную частоту кп, а е на е. Уравнение для кп сложнее, чем уравнение (9.16) для 8 , в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для кп по сравнению с уравнением для е связано с тем, что в волновое уравнение для вне тела собственное значение метода собственных колебаний кп входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого. [c.97]

Так как искомое собственное значение входит в граничное условие, то подчинить этому условию функции сравнения нельзя, и могут быть использованы только функционалы, для которых оно естественно. [c.146]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

Здесь а — некоторая функция на 5, которую мы определим позже. Обобщение постановки однородной задачи по сравнению с 10 состоит во введении этой функции. Помимо этого каждая собственная функция должна удовлетворять условию излучения и условию на ребрах. Роль собственных значений сформулированной однородной задачи играют числа р . [c.250]

Определенный интерес представляет график на рис. 2.39 [47], дающий сравнение собственных масс различных типов приводов тормозных устройств в функции работы А, совершаемой приводом. На графике кривые для привода от серводвигателей приведены при значениях ПВ 15, 25, 40 и 100% (соответственно За, 36, Зв и Зг), а для электромагнитного привода — при ПВ 15, 25 и 40% (соответственно 4а, 46 и - б) и при постоянном включении (5а) и работе с 300 и 100 включениями в час (соответственно 56 и 5в). Из графика видно, что наименьшую массу имеют электрогидравлические толкатели. И только при малых значениях совершаемой работы центробежные толкатели оказываются легче электрогидравлических. Электромагниты и серводвигатели в преобладающем диапазоне изменения работы привода оказываются тяжелее толкателей обоих типов. [c.114]

Из сравнения формул (4.37) и (4.38) следует, что уравнение на собственные значения оператора Мг имеет вид [c.90]

Для определения величины m , которая, в сущности, является собственным значением нелинейной краевой г ада-чи (6.12.47), (6.12.48), Зельдовичем и Франк-Каменецким предложен простой метод, основанный на физических соображениях. Обозначим Q интенсивность химических источников теплоты в уравнении (6.12.47). Если температура Т достаточно мала, то в силу экспоненциальной зависимости Q от температуры этот член мал по сравнению с другими членами уравнения, характеризующими кондуктивный и конвективный перенос теплоты, и уравнение существенно упрощается [c.354]

Рассмотрим решение задачи методом Рэлея—Ритца, но вместо ряда (2.68), в котором каждая функция была допустимой функцией задачи на собственные значения, воспользуемся рядом (2.86), построенным из функций сравнения. Подставив этот ряд в выражение (2.66) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим [c.75]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

В четвертом столбце приведены относительные интенсивности для тех же линий по стобалльной шкале или буквенные обозначения (в порядке убывания интенсивности о. о. с., о. с., с., ср.). Фазовый анализ проводится путем сравнения собственных экспериментальных значений межплоскостных расстояний и интенсивностей линий с табличными. При проведении анализа следует иметь в виду, что небольшие отклонения в составе могут привести к некоторому изменению межплоскостных расстояний, а съемка рентгенограмм на различных излучениях может несколько изменить относительные интенсивности линий. [c.39]

Сравнение собственной температуры термонасадка, помещенного на оси сопла, с температурой насыщения показывает, что при конфузорном течении влажного пара даже со значительной степенью влажности имеет место переохлаждение. На основании кривой температуры зонда и известного значения коэффициента восстановления термонасадка, определенного для перегретого пара [c.142]

Вычисляя методом Гаусса определитель матрицы (7.124) (//=0,3), фиксируем значения Np, со, при которых выполняется условие (7.123). Критические силы потери устойчивости и частоты собственных колебаний представлены в таблице 7.13. Следуя выводам п. 7.5 отметим, что частоты и критические силы по МГЭ завышены Np и со входят в коэффициент s дифференциального уравнения (7.118)) по отношению к точным значениям. Для сравнения приведем значение частоты свободной пластины, расчетная схема которой близка к схеме с жестко заш,емленной точкой в центре и свободными краями, из работы [31] со = 5, 16 Dl yh. [c.476]

Случай малой диссипации. Назовем диссипацию маюй, если элементы матрицы (А В) достаточно малы по сравнению с элементами матрицы А С, собственные значения которой равны квадратам собственных частот консервативной системы. Сравнивая матрицы по некоторой норме, представим условие малости диссипации в виде [c.94]

Нерандомизироваиная стратегия наблюдателя состоит в том, что при измерении динамической переменной X и получении собственного значения Хт гипотеза Н], или Яо выбирается однозначно (а не с какой-либо вероятностью) при сравнении этого значения с порогом ха (например, Hi — при Хт Ха, Яо—при Хт Хо). [c.246]

Высокая чувствительность пшрокоапертурных плоских резонаторов к светорассеянию может быть истолкована примерно в том же ключе, что и чувствительность к малым крупномасштабным аберрациям. Мы уже упоминали о том, что такие резонаторы имеют совсем малые, по сравнению с устойчивыми, разности собственных значений, а с ними и частот. В результате наличие даже слабой связи (за счет светорассеяния) одновременно между множеством мод с близкими частотами приводит к их объединению в комплексы с единой частотой. Такие комплексы, порой действительно состоящие из огромного числа мод идеального резонатора со случайно распределенными амплитудами и фазами, и представляют собой моды резонатора со светорассеянием (экспериментально их существование было показано автором и Седовым в [64]). [c.165]

Очевидно, Юнг имел неясные представления о сути физических измерений, полагая, что поспешность, с которой он проводил свой эксперимент, могла быть разумным объяснением расхождения почти в три раза при сравнении его собственного значения модуля упругости, определенного с использованием измерения скорости звука во льду, с большим значением модуля, полученным Бева-ном ). [c.254]

Свая под действием горизонтальной циклической нагрузки 362, 363 Сен-Венана принцип 38 Собственные значения 294, 299 Сравнение МКЭ и МГЭ 16—19 Стокса —Гельмгольца теорема 288 Стокса теорема 473 Схемы численного йнтегрирования для ячеек тетраэдральных 483 -----треугольных 482 [c.488]

Очевидно, что собственные значения Хп и собственные фунющи (v) теперь зависят от к. При к = О задача (13.3.5) сводится к однородной задаче (13.1.13). Предположим, что однородные собственные функции и собственные значения заданы (даже если их явный вид и неизвестен). Тем не менее мы знаем, что существует пятикратно вырожденное собственное значение = О, а = 1,.. .., 5. Кроме того, нам известны соответствующие собственные функции фа (v). Оказывается, что эти пять собственных функций в действительности играют ведущзгю роль по сравнению со всеми остальными. Поэтому будем использовать для них специальное-обозначение [c.95]

Это типичная плазменная мода, в точности соответствующая макроскопической моде (12.7.8). Заслуживает внимания тот факт, что несмотря на сингулярный характер самосогласованного члена, найденные собственные значения конечны при k- -Q. Тем не мете наличие кулоновской сингулярности приводит к коренному изменению природы собственных значений по сравнению со слу-чаем обычных газов. В частности, новые собстжнны значения не стремятся к нулю при к - -0. [c.116]

Для изучения основных собственных значений исследуемой механической системы используются (независимо друг от друга) три различных приближенных метода метод Ритца, алгоритм, основанный на методе конечных элементов, и метод коллокаций с использованием метода Фурье. Большой интерес представляет сравнение результатов, полученных различными методами, особенно с точки зрения оценки возможностей приближенного метода Ритца, в котором используются полиномиальные функции от двух переменных. Результаты исследования могут быть также интересны специалистам в области акустики и микроволновой техники, поскольку такие конструкции применяются в мягкостенных акустических волноводах и ТМ-формах электромагнитных волноводов. [c.60]

В табл. 3 дано сравнение результатов для собственных значений, вычисленны соответственно по используемым в [c.67]

Таблица 3. Сравнение основных собственных значений Аооб для случая

Резонансный член опять содержится в последней сумме. Он будет отличаться от резонансного члена в последней сумме в (8.40). А именно, в (8.41) слагаемые второй суммы описываюг собственные колебания тела (тело сравнения) с истинным ей с ц = ц , содержащим собственное значение. В (8.40) тело сравнения имеет истинное ц, а собственное значение входит в е . [c.83]

Аппарат, развитый в первых двух гла.вах книги, иллюстрируется в первой половине параграфа (пп. 1—6) на примере элементарной одномерной задачи. Задача эта имеет явное решение, и применение к ней различных вариантов обобщенного метода собственных колебаний позволяет получить разложения этого решения в беско-вечные ряды по различным функциям. Сравнение этих решений позволит, в частности, проиллюстрировать соотношения между резонансными кривыми, описывающими для одной и той же задачи амплитуду резонансного слагаемого в различных разложениях. В пп. 7—9 стационарные функционалы главы III используются для нахождения собственных значений двух — тоже одномерных— однородных задач. Так как эти собственные значения легко находятся непосредственно, то на этих примерах удается установить практическую скорость сходимости метода Ритца в применении к комплекснозначным функционалам. [c.202]

Легко проверить, что из-за наличия интегралов по 51 и 5г функционал (21.3) не будет положительно определенным. Сходимость метода Ритца следует контролировать численным способом. Сравнение результатов, полученных при разном количестве базисных функций, показывает, что наименьшее по модулю собственное значение б1 вычисляется с погрешностью примерно 1% при общем числе базисных функций (в У+ и ]/ ), равном 6—7. Существенного улучшения точности с увеличением числа базисных функций достичь не удается без специальных мер, повышающих устойчивость вычислительного процесса. Тем не менее увеличение числа функций существенно повышает (примерно до того же уровня 1—5%) точность вычисления высших собственных значений. [c.229]

Для решения задачи на собственные значения в работах [58, 59] применялся метод Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Как и в случае ньютоновской жидкости, в зависимости от значения числа Прандтля обнаруживаются две моды неустойчивости — стационарная и волновая. Границы устойчивости относительно стационарной моды слабо зависят от Рг. На рис. 97 представлены минимальные критические числа Грасгофа Gr (o). В случае п < 1 устойчивость основного течения понижается по сравнению с ньютоновской жидкостью, что объясняется увеличением интенсивности основного течения за счет псевдопластичности (см. рис. 96). При дилатантиом поведении п > 1), напротив, скорость течения уменьшается и имеет место стабилизация. Критическое волновое число кт слабо зависит от реологических параметров. [c.155]

При этом неограниченность рассматриваемого течения позволяет даже слегка упростить расчеты по сравнению со случаем течения между твердыми стенками, так как здесь достаточно рассматривать только решения, затухающие на бесконечности (но зато появляется еще и непрерывный спектр собственных значений, который для данного течения исследовался Грошем и Саль-веном (1978)). [c.119]

Современные железобетонные подножники весом 3—8 даН-10 (тс) рассчитаны на вырывающие нагрузки 15—60 даН-10 . Из сравнения этих значений видно, что собственный вес подножника уравновешивает лишь незначительную долю вырывающей нагрузки, а основное сопротивление оказывает насыпанный над плитой грунт. [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...