Собственные значения эллипса

Собственные значения эллипса [c.85]

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭЛЛИПСА [c.87]

S] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭЛЛИПСА 99 [c.99]

При Г = Гч = г эта формула переходит в формулу (5.29) главы 3 для собственных значений эллипса. Вспоминая выражение (2.13) для угла ф—аргумента собственного значения А,1 матрицы А, перепишем формулу (2.30) в виде [c.119]

Рассмотрим другие свойства этого пучка. Во-первых, если У лежит на одном из концов интервала изображений Р , то у— = р = р2, и, поскольку они являются величинами, обратными собственным значениям Т, то одна ось эллипса имеет нулевую длину. Таким образом, эллипс превращается в линейный сегмент, который называется фокальной линией. [c.65]

В этом параграфе мы рассмотрим второй пример построения собственных значений лучевым методом. Мы получим собственные значения оператора Лапласа для эллипса, на границе 5 которого выполняется одно из условий (1.2) или (1.3). Как и в 4, считаем, что с = 1, и полагаем <а = а/с = к. [c.85]

Подводя итоги, мы можем сказать, что при 1 и сравнительно небольших значениях р собственные функции эллипса Upg, соответствующие собственным значениям kpq, имеют эллиптическую каустику и сосредоточены в окрестности границы области. Чем меньше р, тем меньше, как это следует из уравнения (5.10), должна быть разность а —Оо, т. е. тем тоньше будет эллиптическое кольцо, в котором собственные функции осциллируют и за пределами которого экспоненциально затухают. Такие сосредоточенные в окрестности границы собственные функции мы будем называть собственными функциями типа шепчущей галереи. Если р>1, а q принимает сравнительно небольшие значения, то собственные функции Up, имеют гиперболическую каустику. При этом чем меньше q, тем меньше должна быть разность я/2 — 0о [см. (5.17)], т. е. тем уже будет полоса, окружающая малую ось эллипса, в которой собственные функции осциллируют и вне которой они экспоненциально затухают. В связи с этим собственные функции при р. 1 и 9 = О, 1, 2,. .. могут быть названы собственными функциями типа прыгающего мячика. [c.96]

В 4 главы 3 мы нашли собственные значения и собственные функции, сосредоточенные около границы круга и показали, что такого же типа собственные функции существуют у эллипса. Задача настоящего параграфа — найти собственные [c.102]

Изучая собственные функции эллипса, мы установили, что у эллипса существует подпоследовательность собственных функций, сосредоточенных в окрестности малой оси. Собственные значения, соответствующие этим собственным функциям, определялись в первом приближении только через длину малой оси эллипса и радиус кривизны эллипса в точке его пересечения с малой осью. [c.110]

Уравнение (5.6.6) справедливо, собственно говоря, только для значений 0, удовлетворяющих условию — я < 6 < л, поскольку Х- — оо, когда X 0. Однако иногда предполагают, что движение продолжается после столкновения, и тогда считают, что равенство (5.6.6) сохраняет силу и после столкновения. Такое предположение представляется наиболее естественным. Если бы а не равнялось нулю, а было бы малой положительной величиной, то орбита представляла бы собой очень топкий вытянутый эллипс и мы имели бы периодическое движение, при котором в каждом периоде существовало бы положение, близкое к столкновению. Это предположение означает, что характер поведения частицы сохраняется и в предельном случае прямолинейного движения. [c.78]

Коэффициенты в уравнении (4.3.10) образуют тензор поперечной непроницаемости г ,. Следовательно, собственные векторы этого тензора второго ранга направлены вдоль главных осей эллипса сечения. В соответствии с (4.3.8) значения п определяются длинами главных осей. Это доказывает эквивалентность метода эллипсоида показателей преломления и метода, описанного в предыдущем разделе. [c.89]

Поскольку в это выражение входит только безразмерная энергия г], функция Вигнера постоянна вдоль траекторий в фазовом пространстве, отвечающих постоянной энергии, то есть вдоль эллипсов. Однако зависимость т от энергии довольно интересная. Так как т-й полином Лагерра 1/ш(С) является полиномом т-й степени, он имеет т нулей как функция Следовательно, функция осциллирует между положительными и отрицательными значениями, как это показано на зис. 4.4, то есть функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния состоит из волновых горбов и впадин. Здесь важно заметить, что Ьт 0) = 1 и поэтому [c.131]

Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при (1 = О во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества периодических решений в огра- [c.794]

Второй способ — положить числитель равным 1. Это означает, что рюмка разрезается горизонтальной плоскостью, лежащей на 1 выше основания. Поперечное сечение будет эллипсом a v,v)=, или точнее, бесконечномерным эллипсоидом Его главная ось расположена в направлении первой собственной функции u, так как именно по этой оси эллипсоид наиболее вытянут. Другими словами, при фиксированном числителе, равном 1, отношение Рэлея минимально, когда знаменатель максимален. Если затем рассмотреть эллипс, перпендикулярный к этой главной оси, т. е. фиксировать i = О и получить пространство на единицу меньшей размерности, то длина главной оси этого эллипса будет равна. VlA2- (И вообще длина главной оси любого другого поперечного сечения исходного эллипсоида будет меньше длины главной оси эллипсоида = но больше л/1А2 соответствует принципу минимакса, описанному ниже в (13) наименьшее собственное значение Xi при любом дополнительном условии удовлетворяет соотношению [c.254]

В области проектирования арочных мостов инженеры проодол-жали рассматривать каменную арку как систему абсолютно жестких каменных блоков, хотя, как мы уже видели (стр. 180), еще Бресс дал полное решение для упругой арки с заделанными пятами. Понятия кривой давления и линии сопротивления были введены в исследование арок около 1830 г. Ф. Герстнеру (F. J. Gerstner) ), по-видимому, следует приписать первое исследование пиний давления. Поводом к тому послужили вопросы проектирования висячих мостов, в связи с чем он излагает свойства цепной линии и составляет таблицы для построения этой кривой. Там же он указывает, что эта кривая, повернутая вокруг горизонтальной оси, лучше всего отвечает и очертанию арки постоянного поперечного сечения. Такая арка под действием собственного веса работает на одно только сжатие. Поскольку в его время 30 всеобщем применении были круговые и эллиптические арки, Герстнер занимается вопросом, как нужно распределить по пролету арки нагрузку, чтобы эти кривые, т. е. дуги окружности или эллипса, совпали с кривыми давления. На практике, как он указывает, распределение нагрузки отклоняется от указываемого теорией для идеального случая это значит, что в действительности материал арки подвергается не только сжатию, но и изгибу. Он обращает также внимание на то, что задача эта— статически неопределенная и что возможно построить бесконечное множество кривых давления, удовлетворяющих условиям равновесия и проходящих через различные точки ключевого сечения и пят. Каждой из таких кривых соответствует некоторое значение горизонтального распора Н. Чтобы сделать задачу статически определенной, Герстнер вводит, в заключение, некоторые произвольные допущения относительно положения истинной кривой давления. [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...