Определение собственных значений и собственных векторов

В 4.1—4.3 были изложены методы определения собственных значений и собственных векторов для системы однородных уравнений (5.3) — (5.6). Систему (5.3) — (5.6) можно представить в виде одного уравнения (4.127) [c.120]

Определение собственных значений и собственных векторов [c.351]

Применяя стандартную программу по определению собственных значений и собственных векторов к матрице со, можно вычислить значения г и а,- (г = 3, 4, 5, 6) при любом п (см. пример 1). Если указанная выше программа отсутствует, то значения 2 и аг удобно находить следующим образом. Параметр г является корнем уравнения [c.124]

Используя стандартную программу по определению собственных значений и собственных векторов па машине серии ЕС, получим для матрицы м в (8.16) нашей оболочки (I — мнимая единица) собственные значения [c.127]

Составьте блок-схему программы определения собственных значений и собственных векторов для уравнения [c.87]

Учитывая, что уравнение для определения собственных значений и собственных векторов матрицы имеет вид [c.116]

Уравнения, которые используются для определения собственных значений и собственных функций при колебаниях кругового стержня в плоскости чертежа, приведены в решении задачи 5.1. Определив собственные функции (векторы), ищем решение уравнения (1) в виде [c.283]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Задача определения комплексных амплитуд компонент различных мод сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы (П.153) и (11.154). [c.215]

Определение собственных чисел и собственных векторов, как и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода. Использовались приближения, в которых разложения (45.8) содержали одинаковое число членов N = М = 14, Путем сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных функций, установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней спектра при значениях параметра /г0<2500. [c.319]

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, но зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. [c.49]

Следует заметить, что и [г) ] соответственно суть собственное значение и собственный вектор тензора В силу свойств тензора кТ ы можно утверждать, что тензор Лд симметричен и положительно определен. [c.52]

Хотя итерационный метод позволяет находить только несколько собственных значений и собственных векторов системы, это не мешает использовать метод нормальных форм колебаний при определении динамических перемещений в системе. Если найдены форм колебаний, где < п, матрица форм (или Х ) содержит вместо п только 1 столбцов. Такая прямоугольная матрица не имеет обратной матрицы, поэтому вместо выражений, содержащих обратные матрицы, следует использовать выражения (4.44а) и (4.446), в которых имеются транспонированные матрицы Хм и Хн при этом удается определить только первых нормальных форм колебаний, тогда как влиянием остальных форм колебаний на суммарное динамическое [c.298]

Если рассматриваются все такие собственные значения и собственные векторы, то размеры диагональных матриц Вф Сф удваиваются при каждом шаге рекуррентной процедуры. Мы ожидаем, что данные матрицы стремятся к бесконечномерным пределам. Смысл такого предельного перехода определен в разд. 13.4 если диагональные элементы матриц расположены в убывающем порядке, то каждый данный элемент (например, шестой) будет стремиться к пределу. [c.393]

В этом разделе мы докажем основные теоремы о поведении собственных значений и собственных векторов последовательности операторов, заданных в различных гильбертовых пространствах, при определенных ограничениях на эту последовательность (условия С1—С4). Этим условиям при подходящем выборе гильбертовых пространств удовлетворяют многие операторы, возникающие в задачах усреднения и других сингулярно возмущенных задачах, что позволяет исследовать их спектральные свойства [c.215]

В соответствии с алгоритмом вначале вычисляют собственные значения и собственные векторы гамильтониана. Собственные значения записывают в виде диагональных элементов матрицы d, а из собственных векторов образуют матрицу v. После этого исключают из рассмотрения столбцы матрицы v, соответствующие определенным собственным значениям, и в итоге вычисляют коэф-144 [c.144]

Если к достаточно хорошо отделено от остальных собственных значений, то собственный вектор V" базовой модели мало чувствителен к малым вариациям параметров этой модели. Это позволяет при определении вектора УД ) по формуле (16.29) ограничиваться суммированием только по индексам i — 1 и t + 1. Обш ий анализ выражений (16.29) и соответствующая практика вычислений показывают, что нри двухсторонних вариациях упруго-инерционных параметров базовой модели в весьма широких пределах [c.270]

Алгоритм численного определения собственных значений X/ и собственных функций Zo < > (компонент собственных векторов Z )) изложен в гл. 4 (см. 4.2 и 4.3). [c.291]

Свойства собственных частот и собственных форм колебаний. Как следует из урав нения (22), квадраты собственных частот со равны собственным значениям матрицы A , а собственные формы v равны собственным векторам этой матрицы. Поскольку матрица А" С — симметризуемая и положительно определенная, то из известных теорем линейной алгебры следует. [c.60]

Из симметрии и положительной определенности оператора вытекают важные свойства для собственных значений и соответствующих им векторов. [c.217]

Определение 8.7. Главными деформациями и направлениями главными осями) матрицы деформаций называются ее собственные значения и векторы, т. е. решения следующей задачи на собственные значения [c.316]

Предварительно рассмотрим задачу об определении собственных значений Pj и собственных векторов для системы однородных уравнений малых колебаний без учета сил сопротивления. Уравнение свободных колебаний (при bij - 0) имеет вид (частный случай уравнения (6.29)) [c.265]

Решения удовлетворяющие условиям конечности непрерывности и однозначности получаются только при определенном дискретном ряде значений энергии (входящей в уравнение в качестве параметра). Такие значения энергии называются собственными значениями. Все решение определяется квантовыми числами п, /, т, где /г —принимает целые значения и эквивалентно главному квантовому числу Бора. Оно характеризует энергию состояния. Число / при данном п может равняться О, 1,. .., п—1) и называется орбитальным квантовым числом оно определяет величину момента количества движения электрона на орбите. Число гп1 совпадает с магнитным квантовым числом, определяющим величину проекции этого вектора на выбранное направление. [c.18]

При преобразовании компонент тензора напряжений вследствие поворота системы координат возникают два важных вопроса при каком векторе нормали п вектор напряжений о" в точке будет параллелен п и при каком п нормальные компоненты вектора напряжений будут иметь экстремальные значения Оба вопроса связаны с определением собственных значений тензора напряжений. Математически это сводится к преобразованию главных осей, и решение задачи достигается так называемой диагонализацией тензора напряжений. [c.25]

Итерационный метод вычисления частот и форм колебаний для линейных систем со многими степенями свободы был описан в п. 4.7. Рекуррентными формулами для определения главного собственного значения и соответствующего собственного вектора являются выражения (4.100)—(4.102), соответствующие формулы для задачи на собственные значения, колеблющейся системы, суть (4.103)—(4.105). Кроме того, введение ограничений на формы колебаний и использование выметающих матриц для нахождения первой и второй форм колебаний приводит к алгоритму, использующему выражения (4.106)—(4.109). Все эти выражения включены в программу [c.456]

В одном приближении [И] рассматривается применение уравнений (4.41)-и (4.44) для собственных значений и а соответственно к некоторой ограниченной области в пространстве. Для граничных условий предполагается линейное соотношение, подобное тому, которое представлено уравнением (3.12), устанавливающее связь между групповым потоком нейтронов на границе и его нормальной производной в виде,(/) g + бгП-V ф g — О, где п — нормальный единичный вектор, направленный наружу области, а — любая неотрицательная кусочно-непрерывная функция, определенная на границе. Это условие является достаточно общим,чтобы включать любое из граничных условий диффузионного приближения, упомянутых в разд. 3.1.5. Кроме того, предполагается, что поток и ток нейтронов непрерывны на поверхностях, а также, что поток нейтронов ограничен, а вторые производные непрерывны. Некоторые очень слабые условия накладываются также на групповые константы, однако они удовлетворяются в любой потенциально критической системе. [c.147]

Уравнения (4.5.1) и (4.5.4) выражают типичную задачу об определении собственных значений. Так как тензор симметричен и положительно определен, то, как легко видеть, соответствующие собственные значения вещественны, а собственные векторы ортогональны друг другу. Уравнение (4.5.4) кубическое относительно Его решения имеют следующую типичную форму [c.235]

Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи на собственные значения, для больших систем вычисления будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто выгоднее аппроксимировать решение уравнения (6.23) небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие компоненты обычно очень слабо изменяются относительно изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю собственным значениям. Конкретные собственные значения вместе с соответствующими собственными векторами могут быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965, стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным решением задачи на собственные значения, и поэтому такой подход обладает определенным преимуществом при условии, что аппроксимация немногими преобладающими компонентами адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является особенно подходящей, если (I) Л О и необходимо сглаживать осцилляции или (II) А = О и требуется знать стационарное состояние, а не процесс его установления. [c.170]

Доказательство. Коль скоро тензор симметричный и неотрицательно определенный, он имеет три ортонормированных собственных вектора ех, ег, ез с неотрицательными собственными значениями Ах, Л2, Аз. Произвольно зададим три массы [c.59]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

Один из способов 5ешения задачи состоит в определении собственных значений и собственных векторов матрицы [c.123]

EIGIT3 для определения методом итераций первых трех собственных значений и собственных векторов системы со многими степенями свободы. Распечатка этой программы содержит исходные данные для трехмассовой системы, показанной на рис. 4.1, а, которая использовалась в качестве числового примера в п. 4.7 (см. табл. 4.1 и 4.2). EIGIT3 удобно использовать для исследования систем со многими степенями свободы с положительно определенной матрицей коэффициентов (см. задачи из п. 4.7). Эту программу можно усовершенствовать, чтобы иметь возможность исследовать более трех форм колебаний, и тогда ее можно использовать в качестве блока для описываемой ниже программы DYNA ON3. [c.457]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Таким образом, исходная задача (7.3) с TL-формулировкой уравнений при сделанных выше предположениях сводится к обобщенной квадратичной задаче по определению собственных значений и соответствующих им собственньсх векторов [c.222]

Но по определению собственных значений матрицы А это выражение должно равняться нулю. Следовательно, собственное з 1ачение К, матрицы А равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы А. Таки.м образом, матрица А имеет собственные значения О, X,, Хз,.. ., Х и соответствующие собственные векторы Хх, Хг,.. . [c.57]

Задача состоит в определении собственных значений эрмитова оператора а+а и установлении соотношений между его собственными векторами. Заметим, что обозначает оператор, эрмитово сопряженный к а, и [А, В] представляет собой, как обычно, коммутатор АВ — ВА. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...