Бифуркация собственное значение

Теперь рассмотрим структурно устойчивые бифуркации, когда производная обладает собственным значением —1. В этом случае неподвижная точка трансверсальна и, следовательно, сохраняется при возмущении. Естественно ожидать, что для структурно устойчивой бифуркации собственное значение меняется с меньшего чем -1 на большее чем -1 или наоборот, в то время как неподвижная точка остается изолированной. Это связано с возникновением орбиты периода два с одной стороны от бифуркационного значения. Поэтому такой тип бифуркаций называется бифуркацией удвоения периода. [c.308]

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Две чисто мнимых пары. Рассмотрим векторное поле с двумя парами чисто мнимых собственных значений в особой точке О пространства R . Редукции п. 3.4 приводят к следующей задаче изучить бифуркации фазовых портретов в типичных двупараметрических семействах в четверти плоскости 1/ 0 (поле касается осей координат) [c.31]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Случаи 8° и 10° в определенном смысле сводятся к исследованию бифуркаций положений равновесия с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений и с двумя мнимыми парами соответственно. Специальные исследования бифуркаций неподвижных точек диффеоморфизмов в случаях 8°—10°, насколько нам известно, не проводились. [c.53]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

Это уравнение степени N дает N собственных значений которые приближенно соответствуют N первым точкам бифуркации исходной задачи устойчивости стержня. Наименьшее из найденных собственных значений приближенно равно критической нагрузке, т. е. Кр (Рп) mln- [c.66]

Линеаризованные уравнения, использованные выше при решении задач устойчивости стержней, дают возможность находить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки. Наименьшее собственное значение равно критическому значению нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня в окрестностях первой точки бифуркации. Но однородное линеаризованное уравнение не может дать никакой информации о характере критической точки бифуркации и о поведении стержня при конечных прогибах после потери устойчивости. [c.118]

Здесь индексом Ь снабжены линейные, Л Р-нелинейные части относительно перемещений Wi °1 в соответствующих матрицах Д(1 — собственный вектор квадратичной проблемы собственных значений (41), представляющий в точке бифуркации надлежащим образом нормированные дополнительные обобщенные узловые перемещения конечного элемента оболочки. Очевидно также, что если минимальное собственное значение проблемы (41) для оболочки равно единице, то перемещения и, следовательно, внешняя нагрузка на кри- [c.288]

Таким образом, чтобы на кривой нагрузка—перемещение найти точку бифуркации, необходимо, совместно с определением равновесных состояний конструкции, из уравнения (43) найти минимальное собственное значение X. Поскольку решение проблемы (43) на каждом шаге нагружения конструкции (в чисто вычислительном аспекте) также представляется весьма трудоемкой задачей, то наряду с модификациями описанного алгоритма поиска точек бифуркации используются и другие методы [13]. [c.289]

Это означает, что если в результате решения проблемы (44) при некотором уровне нагружения конструкции Po ° получена какая-то численная величина минимального собственного значения л, то, чтобы получить величину нагрузки бифуркации, необходимо это значение Я подставить в соотношение (45) и произвести умножение на Po ° [c.289]

Из сказанного вытекает, что неоднозначность возмущения равновесной конфигурации может появиться лишь на пределе устойчивости. При этом отвечающая (6,95) однородная краевая задача имеет нетривиальные собственные решения лишь при определенных (собственных) значениях входящих в нее параметров внешних нагрузок — при критических нагрузках. Собственные решения задачи (6.95) уместно называть собственными возмуш е-ниями конфигурации тела. Появление собственных возмущений означает пересечение в рассматриваемой точке (конфигурации) различных решений, т. е. бифуркацию решений. [c.281]

Таково возможное объяснение возникновения серий бифуркаций удвоения. Ни для одномерного, ни тем более для многомерного отображения описанная картина те получила полного доказательства, хотя она хорошо подтверждается численными вычислениями неподвижной точки отображения 2", возможностью приближенного определения числа а и собственного значения, большего единицы, и нескольких других, меньших единицы. Наличие и характер пересечения кривой и поверхности не выяснялся. [c.177]

В уравнении (14) содержатся три параметра Fo, Uq и со. Один из них (Fo) считается фиксированным, второй выполняет роль числа Рейнольдса, а третий — собственного значения. Коэффициенты при нечетных степенях А в разложении для Uq и со, согласно общей теории бифуркации автоколебаний, равны нулю. Подставляя разложения в уравнение (14) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях амплитуды, получим (2 /q + 4) = (l + Oq) Og = [c.78]

О бифуркации течения Куэтта между цилиндрами в случае двукратного собственного значения. Докл. АН СССР, 266, № 1, 73—78. [c.619]

Структурно устойчивые бифуркации в одномерных ситуациях могут быть описаны без больших затруднений. В этом случае единственное собственное значение дифференциала в неподвижной точке вещественно и, следовательно, единственно возможные собственные значения на единичной окружности равны 1. Таким образом, локальный диффеоморфизм должен иметь собственное значение 1 или —1. [c.306]

Рассуждая, как в доказательстве предложения 7.3.3, можно показать, что это структурно устойчивая бифуркация и она является единственной такой структурно устойчивой бифуркацией, что —1 есть собственное значение отображения при бифуркационном значении параметра (см. упражнение 7.3.3) [ ]. [c.309]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Покажите, что бифуркация удвоения периода — единственная структурно устойчивая бифуркация, возникающая при собственном значении — 1. [c.311]

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5,, 2 = + 7 переходит из левой части плоскости (7 < О, устойчивая спираль) в правую часть (7 > О, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа. [c.30]

Бергер М. . Теория бифуркаций в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем Ц Теория ветвлений и нелинейные задачи па собственные значения.— [28].— С. 71—112. [c.370]

Наиболее известным примером бифуркации является бифуркация Хопфа. В этом случае два комплексно-сопряженных собственных значения [c.65]

Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось. Бифуркация Хопфа [c.271]

В качестве примера рассмотрим бифуркацию из фокуса, при которой у двух комплексных собственных значений вещественные части становятся положительными. В этом случае мы имеем два уравнения для двух комплексных параметров порядка 1 и и -Для демонстрации основных идей эти уравнения удобно привести к виду [c.280]

В малой окрестности точки бифуркации решение определяется собственной функцией оператора Л(до), соответствующей нулевому собственному значению. Для систем вида (4.1), называемым еще системами реакция-диффузия , собственная функция состоит из двух частей пространственной, описывающей неоднородность по пространству и амплитудной, определяющей (правда, не полностью) растяжение пространственной неоднородности. Наибольший интерес представляет пространственная составляющая, полностью определяемая спектральной задачей для оператора Лапласа при соответствующих граничных условиях. Так, в случае одномерного ареала возникающие после бифуркации неоднородные по пространству стационарные решения описываются синусоидой, при круговом ареале — колпачком в центре круга и т.д. Это и есть обычные формы мягких диссипативных структур. [c.178]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

Согласно главам 3 и 4 определение частот собственных колебаний и критических сил упругой системы выполняется после формрфования матрицы А. В отличии от других методов (см. [47, 262]) здесь предполагается, что граничные статические и кинематические параметры пластршы будут отличны от нуля (при бифуркации или при стоячих волнах), если отличны от нуля обобщенные статические и кинематические параметры одномерной модели. Тогда трансцендентное уравнение собственных значений пластинчатой системы примет вид [c.435]

Очевидно, что для определения точек бифуркации приращение энергии АЭ следует подсчитьшать с точностью до квадратов бифуркационных перемещений W, переводящих пластину из начального состояния в новое смежное изгибное состояние равновесия. Энергетический критерий дает возможность найти все точки бифуркации начального состояния равновесия и соответствующие им собственные значения параметра нагрузки Р наименьшее из них будет критическим, т.е. [c.209]

В зависимости от назначения проектируемой конструкции в качестве предельной нагрузки Р может рассматриваться верхняя Р в или нижняя Р н критическая нагрузка потери устойчивости, а также нагрузка первичной бифуркации Р . Нагрузки и Р н могут быть определены численно, в результате построения диаграммы нагрузка—прогиб на основе рещений уравнений равновесия в приращениях (в частном случае осесимметричного деформирования конструкции — методом последовательных нагружений). Нагрузка Р б определяется также численно, из рещения задачи на собственные значения для линеаризованных уравнений бифуркационной теории потери устойчивости. В общем виде соответствующие уравнения с необходи.мыми пояснениями к их выводу приведены в приложении, поэтому на обсуждении этих вопросов останавливаться не будем. [c.245]

Заключение. Подводя итог данному далекому от полноты обзору можно сказать, что имеется довольно обгиирный класс периодических движений с невырожденными ударами, для исследования которых можно применять стандартные метода анализа, используемые в гладких системах. Наиболее известным из них является метод линеаризации, позволяющий сделать вывод об устойчивости и возможных бифуркациях на основе вычисления собственной значений определяющей матрицы. [c.252]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Сначала рассмотрим случай, когда единица является собственным значением. Самая простая бифуркация появляется, когда график отображения имеет невырожденное касание с диагональю в точке бифуркации, локально не пересекая ее для любого большего близлежащего значения параметра, в то время как для меньших значений график пересекает диагональ трансверсально в двух близлежащих точках. Динамически это значит, что сжимающая и растягивающая неподвижные точки, существующие при каждом меньшем значении параметра, сливаются в точке бифуркации, образуя полуустойчивую точку (т. е. точку, притягивающую с одной стороны и отталкивающую с другой). Для больших значений параметра вблизи вовсе нет неподвижных точек. Конкретным примером этой ситуации служит семейство [c.306]

Чтобы убедиться, что это единственно возможная структурно устойчивая бифуркация с собственным значением единица, допустим без потери общности, что бифуркация происходит в точке нуль и что бифуркационное значение параметра равно нулю. Сначала покажем, что касание в точке бифуркации невырождено, т. е. наличествует нетривиальный квадратный член. Если касание имеет более высокий порядок, то /о(ж) = а 4- о(ж ). Тогда мы можем рассмотреть возмущение = Л 4- ех . Но для любого е > О и достаточно малых т, и Тг отображения и не сопряжены посредством близкого к тождественному гомеоморфизма. [c.307]

При исследовании топологически сложных случаев, когда линейная часть уравнения в особой точке имеет собственные значения на миимой оси, очень полезен метод Пуанкаре. Он применяется для приведения к нормальной форме конечной струи, то есть конечного числа членов ряда Тейлора векторного поля в особой точке. После этого старшие члены отбрасываются, исследуется укороченное уравнение, а затем доказывается, что старшие члены не меняют качественной картины. С помощью этого метода не только доказываются, но и формулируются результаты 5. Особенно полезен этот метод в теории бифуркаций (см. [8]). [c.60]

Таким образом, для любой пары (v, Я), удовлетворяющей этому условию при некотором /и, мы имеем однопараметрическое семейство решений, так как вся задача, очевидно, инвариантна относительно поворота вокруг оси ез. Эта система решений, как показано, демонстрирует классическое явление бифуркации. [Wolfe, 1983], причем X играет роль бифуркационного параметра. Путем рассмотрения собственных значений задачи, полученной линеаризацией уравнения равновесия около тривиального-решения, показано, что происходит бифуркация, сопровождающаяся переходом к нетривиальным решениям эта ситуация полностью аналогична классической задаче об изгибе балки. Рассмотренная здесь задача является примером задачи об устойчивости токонесущих структур, очень простой и не учитывающей индуцированные поля. [c.328]

Явление универсальности. При изучении некоторых однопараметрических семейств дифференциальных уравнений (система Лоренца, нелинейные колебания в электрическом контуре, галеркинские аппроксимации уравнений Навье—Стокса и др.) наблюдаются последовательные бифуркации удвоения периода устойчивых периодических траекторий, о происходит в том случае, когда для некоторой периодической траектории у. непрерывно зависящей от параметра ц., собственное значение Я((х) линейной части оператора монодромии вдоль у принимает значение Я( хо)=—1. В случае общего положения при прохождении параметра через цо от у ответвляется новое периодическое решение у, которое при ц = совпадает с дважды пройденным у. Для у ((х) соответствующее собственное значение Я (цо) = (Я(цо) ) = 1. При дальнейшем изменении ц собственное значение Я (ц) меняется, и при некотором [Х1 оказывается Я (ц.1) =—1, после чего от у ответвляется траектория с периодом вдвое большим, чем период уЧй ), и так далее. Моменты последовательных бифуркаций (х,- имеют предел [х = = Ит[Х ,-. При м-г- -Цоо бифурцирующие траектории становятся [c.216]

Так как X т, то в качестве параметра бифуркации выберем естественную смертность хищника т. Его бифуркационное значение т = Хт = кРхт- Очевидно, что всю предыдущую интерпретацию можно сохранить, считая, что при хорошей адаптации хищника к среде его естественная смертность мала, а при плохой — велика. Собственные значения матрицы линеаризованной системы запишутся в виде [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...