Квадратичные операторы Казимира

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Квадратичные операторы Казимира. В дальнейшем при изучении задачи квантования нелинейных динамических систем нам потребуются явные выражения для операторов Казимира 2-го порядка естественных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли О. Вычислим их здесь для различных параметризаций группового элемента. [c.85]

Далее, рассмотрим квадратичный оператор Казимира K Gf) функциональной группы, задаваемый формулой (II. 2.54) как гамильтониан соответствующей классической системы. Тогда из стандартных уравнений Q= Ю, Q для Q, совпадающего с Z-a или Za, пользуясь (5.1), аналогично (1.47) получаем [c.175]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Здесь Со — постоянная, пропорциональная значению квадратичного оператора Казимира группы С в присоединенном представлении. Ее точное значение определяется сравнением нормировок в (1,6) и (1,5) (см. [8]). [c.110]

В соответствии с результатами П. 6 гамильтониан (П1.2.14) системы (V. 3.1) совпадает с квадратичным оператором Казимира основной непрерывной серии соответствующей нещественной формы в базисе обобщенных векторов Уиттекера (II. 6.7). Поэтому ее однокомпонентные волновые функции ijrip. г,( выражаются следующим интегральным представлением [c.231]

Здесь суммирование производится по всем неэквивалентным (унитарным) неприводимым представлениям Ux группы G, y g) = tr Urig), ax = %x i) и t — собственное значение квадратичного оператора Казимира представления т, т. е. если Хи Х —ортонормированный базис алгебры Ли g по отношению к форме КиЛЛИНГа k X, У) = tr i/adj( )i adj(i"), то [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...