Приближенное определение собственных значений

Приближенное определение собственных значений [c.107]

Используя разложение волновой функции электрона в ряд по плоским волнам, найти вид детерминантного уравнения для определения собственных значений энергии в случае одномерного кристалла. Найти собственные значения энергии для последовательных приближений, получаемых при увеличении [c.75]

В обычных случаях распределенной деформативности конструкции указанные выше уравнения равновесия оказываются дифференциальными и задача сводится к определению собственных значений и соответствующих собственных форм, отвечающих тем или иным заданным граничным условиям. После этого критические значения нагрузки легко определяют через найденные собственные значения. Эти операции удается выполнить в замкнутом виде только в сравнительно простых случаях (стержни постоянного поперечного сечения при несложных типах нагружения продольными силами, пластинки постоянной толщины при совпадении их границ с координатными линиями и в условиях сравнительно простого нагружения силами, лежащими в срединной поверхности). В других случаях приходится пользоваться приближенными способами решения дифференциальных уравнений. [c.11]

Спектр оператора переноса и условия критичности детально обсуждались в этом разделе, так как уравнение переноса является основой анализа поведения нейтронов в реакторе, и критичность, конечно, существенна при определении размеров реактора. При решении прикладных задач следует использовать некоторые приближения уравнения переноса, а затем рассмотреть собственное значение приближенного уравнения. В некоторых случаях, особенно в многогрупповом диффузионном приближении, о собственных значениях и собственных функциях можно сказать гораздо больше (см. гл. 4). [c.36]

Для определения собственных значений крд получаем в первом приближении уравнения [c.84]

Уравнение (4.7) служит для определения собственных значений д рассматриваемой задачи. В первом приближении [c.176]

Энергетический метод определяет величину нагрузки, для которой полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть существенно положительной определенной функцией для всех малых статических допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р приближается к собственному значению Р. . Энергетический метод является мощным практическим средством приближенного вычисления критической нагрузки, получившим большое развитие в работах С. П. Тимошенко [102]. [c.257]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

Таким образом, задача определения критических нагрузок сводится к определению одной единственной функции f (л ), через которую выражено изменение полной потенциальной энергии соЗ. Задавшись (с учетом граничных условий на торцах оболочки) функцией Oi (х), из условия АЭ — О можно получить приближенные собственные значения нагрузок. Подобрав число волн в окружном направлении кр, при котором собственное значение нагрузки достигает минимума, вычислим приближенное критическое значение нагрузки. [c.294]

Формулы (5. 3) и (5. 4) являются точными, поскольку в них входят точные значения прогибов Z. и Z. соответствующие s-й форме колебаний. Метод Рэлея приближенного определения квадрата частоты собственных колебаний основан на том, что если в формулу (5. 3) вместо Z. и Z. подставить любую систему значений и прогибов вала, соответствующую [c.176]

На этом весьма простом положении построены некоторые методы определения собственной частоты поперечных колебаний стержня. Оказывается, что для определения низших частот собственных колебаний в некоторых случаях достаточно приближенно определить форму колебаний, причем кривая прогибов должна удовлетворять хотя бы наиболее важным граничным условиям. Эти условия бывают двух видов геометрические и динамические. Геометрические условия отражают способы закрепления концов стержня (шарнирное опирание, защемление и т. п.), динамические условия учитывают силы и моменты, которые действуют на концах во время колебаний. Наибольшее значение имеют геометрические условия. [c.70]

Для проведения указанных выше вычислений необходимо, однако, чтобы были известны значения всех динамических параметров исходной колебательной системы. На практике же, особенно в процессе проектирования судна, может оказаться, что часть этих параметров неизвестна, а для части из них известен лишь диапазон возможных значений. В этом случае, как правило, возможен лишь приближенный расчет собственных частот /с продольных колебаний линии валопровода и определение вместе с этим ходовых режимов, соответствующих резонансам системы с отдельными гармоническими составляющими сил возбуждения. Выбор параметров РП в таких условиях приходится проводить, ориентируясь в основном на снижение амплитуд колебаний фз , вызываемых на данных режимах резонирующими составляющими сил, и связывая такое снижение со сдвигом первоначальных значений собственных частот. Оценить величину указанного сдвига можно исходя из экспериментальных данных по добротности исследуемой системы для судов аналогичного типа ориентировочно для первой частоты необходимы изменения в пределах 0,3—0,4 /с, для второй и более высоких — 0,1—0,2 /о. [c.98]

Вычисление собственных частот и форм способом последовательных приближений. До внедрения ЭВМ в практику инженерных расчетов для определения собственных частот многомассовых систем широко использовался вариант способа последовательных приближений ( способ остатков ), не полностью потерявший свое значение до сих пор. Способ основан на использовании цепной структуры системы (11.149). [c.97]

Затем суммируем площади элементарных трапеций и находим Aiy (х). Аналогично определяется А у (х) по формуле (4). После этого берем соответствующие значения Aiy(l) и W и вычисляем коэффициенты Di и (данные внизу табл. 1) по формуле (3). Дальнейшая задача сводится к численному интегрированию методом трапеций. После определения Ку (2) вычисляем собственное значение первого приближения по формуле (10) [c.198]

Для достоверной оценки средней квадратической погрешности Z (и,) достаточно располагать приближенными значениями С Xi и АУ AJ (ui). Исходя из общих свойств собственных значений [9], можно найти %i, а для определения AJ используем дополнительный вариационный принцип, который приводит к встречному функционалу, принимающему на истинном решении задачи одинаковое с (1.115) экстремальное значение, но являющееся не минимумом, а максимумом. [c.40]

Когда спектр собственных значений неполный (п с Л ) и они вместе с соответствующими собственными функциями определены приближенно, бесконечная сумма в (4.42) заменяется конечной, со-стояш,ей из N. слагаемых, причем каждое из слагаемых может быть с некоторой погрешностью, которая зависит от точности определения и (М). С ростом п слагаемые суммы уменьшаются по абсолютной величине. Поэтому к точности определения первой пары Ui и М) предъявляются более высокие требования, чем второй пары и т. д. [c.164]

Для стержня переменного сечения J в (11.20) — момент инерции некоторого фиксированного сечения. Он зависит от условий закрепления, характеристик стержня и типа нагрузки. Его можно найти, решая соответствующие задачи на собственные значения, что не всегда возможно. Приближенный способ определения критической силы, позволяющий избежать этих трудностей, указан в 11.3. [c.379]

В данной статье приводится решение задачи на собственные значения для прямоугольной пластинки с эксцентрическим круговым вырезом для различных вариантов сочетания внешних и внутренних граничных условий. Известно, что для решения такой задачи обычно применяются приближенные методы типа метода конечных элементов, метода конечных разностей и метода коллокаций [4]. Они обладают определенными [c.69]

Таково возможное объяснение возникновения серий бифуркаций удвоения. Ни для одномерного, ни тем более для многомерного отображения описанная картина те получила полного доказательства, хотя она хорошо подтверждается численными вычислениями неподвижной точки отображения 2", возможностью приближенного определения числа а и собственного значения, большего единицы, и нескольких других, меньших единицы. Наличие и характер пересечения кривой и поверхности не выяснялся. [c.177]

Таким образом, зная систему (ГД и собственные значения оператора А, мы можем строить приближенные решения уравнения (31.17), если система Г/ хотя бы полна. Чем лучше эта система (см. серию определений в пп. 1, 2 и 5), тем практически удобнее этот спектральный метод решения уравнения (31.17). [c.310]

Интегральные соотнощения метода Галеркина приводят к линейной однородной системе для коэффициентов аи Ь1. Задача определения спектра критических чисел Рэлея сводится к нахождению собственных значений соответствующей вещественной матрицы. Для диагонализации этой матрицы использовался ортогонально-степенной метод Р ]. Расчеты были проведены на ЭВМ в приближении Л1 = = 7. В этом приближении матрица имеет 16-й порядок, и в результате ее диагонализации получаются восемь уровней спектра критических чисел К. Достаточной точностью, естественно, обладают лишь нижние из них. [c.106]

Определение собственных чисел и собственных векторов, как и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода. Использовались приближения, в которых разложения (45.8) содержали одинаковое число членов N = М = 14, Путем сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных функций, установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней спектра при значениях параметра /г0<2500. [c.319]

Как можно было убедиться, определение собственной частоты вертикальных колебаний и собственной частоты вращательных колебаний относительно вертикальной оси производится очень просто определение четырех частот горизонтальных маятниковых колебаний несколько сложнее. Для того чтобы иметь возможность быстро и без множества промежуточных расчетов получать приближенные значения шести частот собственных колебаний фундамента призматической формы с прямоугольным поперечным сечением и плоскостью основания в виде прямоугольника, следует выразить всё собственные частоты в функции от частоты вертикальных колебаний о- Для этого надо только привести характеристики упругостей основания по каждой из главных осей в зависимость от вертикального упругого смещения под действием веса установки бо = б, —. [c.116]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Резонатор — колебательная система, в которой возможно накопление энергии колебаний. Если на резонатор действует внешняя периодическая сила, то в нем возникают вынужденные колебания, амплитуда которых резко возрастает при приближении частоты внешнего воздействия к определенным (собственным) значениям частоты, зависящи.м от свойств резонатора. [c.187]

НИИ форм колебаний в электромагнитных и мягкостенных акустических воль оводах Специальное исследование, о чем будет изложено здесь далее, было предпринято для развития предыдущих работ, выполненных автором и соавторами с целью уточнения приближенных методов исследования при определении собственных значений в областях со сложной формой границы [4, 5]. [c.61]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Методы прогонки с ортогонализацией были изложены выше без учета влияния ошибок, возникающих при численной реализации алгоритма и проистекающих в конечном счете от округления. Ошибки округления возникают при использовании численных алгоритмов для решения линейных систем алгебраических уравнений, при решении задачи Коши, при решении полной проблемы собственных значений. В последнем случае не требуется высокой точности определения собственных значений и векторов. Чтобы проиллюстрировать это, найденные с ошибками собственные векторы разложим по точным собственным векторам. Если внедиаго-нальные элементы такого разложения на о дин-два порядка меньше 1, а диагональные мало отличаются от 1, то такие приближенные собственные векторы вполне годятся для использования в м.н.о. Эксперимент показывает, что максимальная ошибка в результат решения задачи вносится из-за конечной величины шага численного метода решения задачи Коши. [c.226]

В областях, где К принимает действительные значения, ag — мнимые, величина 4> изменяется циклически в зависимости от радиальной координаты (экспоненциальная функция с мнимым показателем степени). В области же, где g становится действительной величиной, а К — мнимой,ч(.> монотонно уменьшается с увеличением радиуса. Эти два решения должны быть согласованы между собой, что ограничивает допустимые значения Р определенными собственными значениями Описанный метод приближенного решения волнового уравнения многим хороию известен благодаря широкому использованию в квантовой -механике при решении волнового уравнения Шредннгера. Обычно его называют приближением ВКБ. Решения (П2.14) неприменимы для точек, находящихся на оси, хотя этот метод можно легко приспособить для получения корректных решений н при г — 0. Из условия (П2.12) очевидно, что рассматриваемое приближение неправомочно, если производная dg/dr велика и если д мало. Это означает, что с переходными областями в окрестности Гх и па рнс. 6.2, где — О, нельзя обращаться просто, и приходится прибегать к специальным способам дли точного определения условий согласования решений на границе. [c.473]

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Следовательно, метод Релея — Ритца приводит к определению верхних границ всех собственных значений. Установлено, что точность найденных таким образом приближенных собственных значений хорошая, а иногда и превосходная, если базисные функции выбраны соответствующим образом. Однако поскольку приближенный метод применяется к задачам, точное решение которых найти невозможно, то обычно нельзя заранее ожидать какой-либо информации о собственных значениях. Поэтому для оценки собственных значений необходимо получить формулы, определяющие нижние границы собственных значений. [c.71]

Для определения собственных функций Uk r) и характеристических значений Af однородного интегрального уравнения Фредгольма (7.47) с вещественным, симметричным и положительно определённым ядром (7.48) использовался метод Келлога (см. [103]). Последовательные приближения находились по формуле [c.380]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

Формулы (4.51) позволяют сделать определенные выводы о поведении решения. Прежде всего, большие значения показателя степени Ь приводят к тому, что на передней части тела распределение давления и других функций течения мало отличается от определяемого автомодельным решением, но затем изменение происходит очень быстро. Это обстоятельство объясняет, почему во многих случаях при использовании приближенных методов, основанных на применении интегральных уравнений пограничного слоя, приходится вводить понятие о докритическом и закритиче-ском поведении пограничного слоя. Эти представления впервые введены в работе Сгоссо Ь., 1955]. Теперь становится ясно, что при интегральном описании профилей распределения параметров в пограничном слое роль дозвукового пристеночного слоя учитывалась неточно, хотя в ряде случаев такой подход может привести к удовлетворительным результатам. Стоит заметить, что не всегда значения показателя степени Ь и переход от области слабого влияния к области сильного влияния будет быстрым. Например, расчеты для течений с вдувом (/ < 0) показали, что при возрастании вдува величина Ь уменьшается (6 = 1,16 при = —10). В работе [Козлова И.Г., Михайлов В.В., 1970] показано, что величина Ь быстро уменьшается для течений около пластинки, обтекаемой со скольжением, при увеличении угла скольжения. Другой пример течений с малыми собственными значениями рассмотрен ниже в 4.4. [c.149]

При составлении дпиамических моделей при первоначальном анализе следует пренебречь нелинейностью характеристики жесткости отдельных узлов и деталей пресса, для приближенного расчета можно воспользоваться значением общей характеристики жесткости, взятой для отдельнЕях элементов кривошипно-ползунного механизма или привода. Обычно к сосредоточенным маховым массам. могут быть отнесены вращающиеся детали, размер которых вдоль оси не превышает их полуторного диаметра. Величина распределенных масс (валов), как правило, пренебрежимо мала по сравнению с величиной сосредоточенных. Учет распределенных масс осуществляется путем отнесения их поровну к сосредоточенным масса.м, размещенным на концах данной распределенной массы. Ош ибка в определении собственных частот, имеющая место прн такой замене, зависит от соотношения величин, сосредоточенных н распределенных масс, причем ошибка будет больше при определении более высоких частот колебательной системы. Сосредоточенными массами в приводе пресса являются маховик, зубчатые колеса, диски муфты и тормоза, кривошип коленчатого вала. В исполнительном. механизме — это масса ползуна с нижней частью шатуна и деталями регулирования штампового пространства, а также кривошип с верхней частью шатуна. При этом поступательно перемещающиеся массы приводят к эквивалентным массам крутильной системы, аналогично приводят и коэффициенты линейной жесткости. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...