Собственные значения периодической системы

Рассмотрим более детально собственные значения периодической системы. Собственные значения 0, матрицы а = ф(7) являются либо действительными, либо комплексными сопряженными величинами. Тогда корни Я,,, получаемые из X = = l/T) nQ, [c.347]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Пусть некоторое собственное значение А,- положительно. Тогда система при соответствующих начальных условиях может совершать периодическое колебание вида [c.576]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений ip,g, это свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра р они существуют для достаточно малых значений р и при р О стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период а (р) при р О стремится к значению 2я/цо- [c.603]

Можно сформулировать также условия, при которых система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата имеет периодические решения с периодами 2Т, ЗТ,. . . Это явление деления частот , характерное для нелинейных систем, тесно связано с проблемой собственных значений матрицы Я соответствующей линеаризованной системы, см. подробнее п. 26 [52]. [c.131]

Полученное выражение (20.16) позволяет установить важное положение если система дифференциальных уравнений (16.21) имеет предельное решение, то это решение будет периодическим, и оно является предельным циклом, так как в этом случае 1 не является собственным значением матрицы Н, а следовательно, det (Н I) ф 0. [c.133]

Очевидно, что периодические решения системы уравнений (16.21) устойчивы, если устойчивы решения (f) линеаризованной системы (18.7) при достаточно большом к. В свою очередь, решения системы уравнений (18.7) на к-и шаге устойчивы, как это следует из уравнений (26.12) (26.15), если собственные значения матрицы и [к] имеют [c.156]

Приведенное заключение позволяет утверждать, что о существовании периодического решения у системы (17) можно судить по собственным значениям матриц H[k], используемых в п. 2 6 алгоритма 1 —4. Исследование собственных значений матрицы [c.78]

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

Фундаментальную матрицу для периодической системы по аналогии со стационарной можно записать в нормальной форме. При использовании собственных значений р имеем [c.345]

Следовательно, периодическую матрицу PS можно рассматривать как модальную (т. е. состоящую из собственных векторов) для периодической системы, а собственные значения Л определяют основные частоты и демпфирование составляющих решения. При переходе к нормальным координатам q имеем х = = PSq. Переходный процесс х (/) = ф ( , о) х ( о) в нормальных координатах имеет вид q ( = (/о), как и для стационар- [c.346]

Для случая полета вперед (ц > 0) в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты вследствие вращения лопасти относительно вектора скорости вертолета эта периодичность радикально влияет на корневой годограф и требует совершенно иных методов анализа. Корневой годограф стационарной системы может начинаться в комплексных сопряженных точках, пересекаться с действительной осью и далее иметь две ветви на действительной оси, расходящиеся в противоположных направлениях. При наличии периодических коэффициентов такое поведение обобщается в том смысле, что расхождение корней может произойти не обязательно на действительной оси, а при любой частоте, кратной (1/2)Q. Такое свойство решений объясняется тем, что собственные векторы системы не постоянные, как для стационарного случая, а периодические. В гл. 8 рассматривались собственные значения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и был приведен способ их вычисления. [c.558]

Ввиду большей простоты и широты анализа дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами желательно иметь стационарную модель динамики несущего винта при полете вперед. Такая модель, естественно, будет приближенной, поскольку периодические системы имеют существенные особенности, однако для некоторых приложений аппроксимация может быть удовлетворительной. Если используются средние значения коэффициентов во вращающейся системе координат, то единственным учитываемым изменением моментов в плоскости взмаха является изменение коэффициента. Me, имеющее порядок Прп отсутствии компенсатора взмаха полет вперед вообще не влияет на собственные значения. Такая аппроксимация неудовлетворительна, кроме случаев очень малых [c.561]

Другим методом оценки динамической устойчивости несущего винта может быть непосредственное численное интегрирование уравнений движения. Такой подход необходим также при учете нелинейных эффектов, например срыва или сжимаемости. Оценка устойчивости периодических систем по переходным процессам не является тем не менее элементарной задачей. Может быть использован и метод замороженных коэффициентов , в котором находят собственные значения для стационарной системы, построенной с использованием коэффициентов, найденных на данном азимуте. При этом проверяются несколько критических значений азимута, таких, как г з = 90 и 270°. Этот метод основан на предположении о том, что изменение аэродинамических коэффициентов при полете вперед (происходящее почти с частотой вращения винта, по крайней мере для малых р.) происходит намного медленнее, чем колебания лопасти при флаттере (имеющие частоту несколько ниже (Од). Метод замороженных коэффициентов следует применять с осторожностью, так как указанное предположение часто не оправдано. [c.594]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Конкретный анализ возможности растекания или затекания припоя в зазор затрудняется из-за недостатка, а часто и недостоверности опытных данных о различных межфазных поверхностных натяжениях (энергиях). Наиболее достоверные данные получены о межфазных поверхностных натяжениях в контакте жидкой фазы с ее собственным паром около температур плавления. Одним из критериев истинности полученных значений поверхностных натяжений является периодичность их изменения, соответствующая положению элементов в периодической системе (табл. 1) [35, 36]. Немногочисленные данные о поверхностных натяжениях твердых металлов в контакте с газом Отг представлены Б табл. 2, а с жидкостью Отж — в табл. 3. [c.13]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

Собственные значения Л линеаризованной системы имеют ненулевые вещественные части (Re Л > 0). Решение z t) = го можно считать периодическим с периодом 2тг. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых система (1.9) имеет 2тг-периодическое решение г = p(i,e), p t,0) = zq. Аналитически по t С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы (1.9), асимптотические к траектории p t,e) при t —+ —00, на максимально возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность AjT, которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью гиперболического периодического решения p t,e). [c.333]

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5,, 2 = + 7 переходит из левой части плоскости (7 < О, устойчивая спираль) в правую часть (7 > О, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа. [c.30]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

В отсутствие магнитного поля. Будем считать систему в целом нейтральной благодаря наличию (не обязательно равномерно размазанного) классического компенсирующего заряда. Именно такая ситуация типична как для металла (свободные электроны и ионы решетки), так и для полупроводника (свободные электроны или дырки и заряженные примесные центры). Рассматривая электростатическое взаимодействие частиц как взаимодействие через поле, можно непосредственно воспользоваться уравнениями (10.1). (10.2) и (9.5а), (9.13) следует лишь специализировать фигурирующие в них величины оР и оТ в соответствии с конкретной природой данной физической системы. Ограничимся неферромагнитными веществами. Будем считать также, что валентные электроны достаточно отделены (энергетически) от всех остальных, чтобы можно было рассматривать атомные остовы просто как источники поля ). В качестве невозмущенной задачи, решение которой считается известным, естественно выбрать одноэлектронную задачу в данной идеальной кристаллической решетке. Под словом одноэлектронная понимается задача об одном электроне в периодическом поле атомных остовов, нейтрализованных равномерно распределенным зарядом всех остальных электронов. Предположим, что соответствующие собственные значения энергии не зависят от спина 2), и обозначим их через (X), а принадлежащие им собственные функции — через ср (л ) (X — совокупность всех квантовых чисел кроме спинового). Тогда в соответствии с (5.14) невозмущенная фермиевская функция Грина принимает вид [c.161]

Нам удобно в этой главе явно выделить химический потенциал л при этом W (Х) суть, очевидно, собственные значе-йия не обобщенного, а обычного гамильтониана. Для собственных значений обобщенного гамильтониана мы сохраним символ Е. Подчеркнем, что речь идет сейчас о гамильтониане, по определению не содержащем взаимодействия между частицами. Поэтому спектр (X), вообще говоря, не совпадает с экспериментально определяемым. В частности, эффективные массы, которые будут введены в дальнейшем, суть затравочные массы (в смысле квантовой теории поля). В металлах они никогда не совпадают с определяемыми, например, из гальваномагнитных явлений с другой стороны, в полупроводниках можно реализовать условия, когда взаимодействие между электронами практически исчезает, и тогда параметры, характеризующие функцию W (к), непосредственно определяются из опыта. Явные вычисления с выражением (18.1) весьма затруднительны, так как фактически функции ср, (х) можно эффективно определить лишь в весьма грубом приближении. По этой причине, как уже говорилось в предыдущем параграфе, целесообразно воспользоваться каким-либо из вариантов метода эффективной массы, рассматривая ср, (д ) как эффективные волновые функции и учитывая периодическое поле просто путем введения некоторых параметров в невозмущенный гамильтониан. При этом рассматриваемая система делается пространственно однородной (соответственно, компенсирующий заряд надлежит считать равномерно размазанным по пространству). Как известно, при этом следует различать два случая [c.162]

Периодические граничные условия для системы тождественных частиц с точечным взаимодействием сводятся к следующей задаче на собственные значения [c.226]

В предположениях (2,3) на р , ро доказана сходимость собственных значений задачи (2.37) к соответствующим собственным значениям задачи (2 38). Если — перфорированная область и коэффициенты системы являются е-периодическими, оказывается возможным получить более точные результаты по сравнению с 2Л. При этом существенную роль играет близость операторов З", и 2, которая выражается оценкой (1.15) гл. II для решений соответствующих краевых задач. Как и в случае задачи Неймана, [c.231]

К затухающим колебаниям, строго говоря, неприменим и термин период , так как эти колебания вообще не являются периодическим процессом. Периодическим яв- ляется такой процесс, при котором через одинаковые промежутки времени повторяется любое состояние системы. Этот промежуток времени и называется периодом процесса. Но в случае затухающих колебаний состояние колеблющегося тела вообще не повторяется точно если, например (рис. 384), отклонения тела в моменты ti и 2 одинаковы (равны нулю), то скорости в эти моменты неодинаковы, так как амплитуды скорости убывают и скорость в момент /а меньше, чем в момент Однако если трение мало и колебания слабо затухают, то такие колебания представляют собой процесс приблизительно периодический. Поэтому условно говорят о периоде затухающих колебаний. Периодом затухающих колебаний принято называть время Tj, за которое система дважды проходит через среднее положение л = О в одном и том же направлении, или (что то же самое) время, за которое отклонения в одну и ту же сторону дважды достигают максимальных значений и Xi (рис. 384). Силы трения немного замедляют движение системы. Поэтому период затухающих колебаний всегда несколько больше, чем период тех собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы трение отсутствовало. Но если трение мало, то оно очень мало влияет на период затухающих колебаний. [c.597]

Колебания называются периодическими, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных координат и их производных, повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, называется периодом колебаний. Число периодов в единицу времени называется частотой единица частоты — герц (1 Гц—1/с). При свободных колебаниях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от сил) и потому называется собственной частотой. [c.104]

РЕАКЦИЯ [термоядерная — реакция слияния легких атомных ядер в более тяжелые, происходящие при высоких температурах 10 К фотоядерная- -расщепление атомных ядер гамма-квантами цепная — реакция деления атомных ядер тяжелых элементов под действием нейтронов, в каждом акте которой число нейтронов возрастает, так что может возникнуть самоподдерживающийся процесс деления ядерная — превращение атомных ядер, вызванное их взаимодействием с элементарными частицами, в том числе с гамма-квантами, или друг с другом] РЕВЕРБЕРАЦИЯ — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после окончания действия его источника РЕЗОНАНС (есть явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении частоты вынужденной силы к собственной частоте колебаний системы акустический — избирательное поглощение энергии фононоБ определенной частоты в парамагнитных кристаллах, помещенных в постоянное магнитное поле антиферромагнитный — избирательное поглощение энергии электромагнитных волн, проходящих через антиферромагнетик, при определенных значениях частоты и напряженности приложенного к нему магнитного поля гигантский — широкий максимум, которым обладает зависимость сечения ядерных реакций, вызванных налетающей на атомное ядро частицей или гамма-квантом, от энергии возбуждения ядра магнитный — избирательное поглощение энергии проходящих через магнетик электромагнитных волн на определенных частотах, связанное с переориентировкой магнитных моментов частиц вещества параметрический — раскачка колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательных систем, в которых сосредоточивается энергия колебаний) [c.271]

Резонатор — колебательная система, в которой возможно накопление энергии колебаний. Если на резонатор действует внешняя периодическая сила, то в нем возникают вынужденные колебания, амплитуда которых резко возрастает при приближении частоты внешнего воздействия к определенным (собственным) значениям частоты, зависящи.м от свойств резонатора. [c.187]

Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Я = Но г) + Н1 г,Ь) + о ), периодическим по времени. Здесь 2 = (х,у) — набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия с различными вещественными собственными значениями, а также, что точки соединены двоякоасимптотическим решением t — Zo(t), I е Е. [c.264]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Заключение. Подводя итог данному далекому от полноты обзору можно сказать, что имеется довольно обгиирный класс периодических движений с невырожденными ударами, для исследования которых можно применять стандартные метода анализа, используемые в гладких системах. Наиболее известным из них является метод линеаризации, позволяющий сделать вывод об устойчивости и возможных бифуркациях на основе вычисления собственной значений определяющей матрицы. [c.252]

До СИХ пор мы рассматривали локальный подход, основанный на предположении, что линеаризованная система служит моделью локального поведения нелинейной системы, таким образом подразумевая, что нелинейные члены создают неприятное возмущение, которое должно находиться под нашим контролем. Естественный следующий шаг в локальном анализе — попытаться рассмотреть члены более высокого порядка (по сравнению с линейными) более систематическим и специфическим способом и попробовать более точно определить, до какой степени их влияние должно приниматься во внимание и нельзя ли его просто игнорировать. Мы рассматриваем эту проблеи в 6.6. И вновь гиперболическая периодическая орбита наиболее удо на для такого анализа. Определяющими явлениями здесь служат некоторые резонансы между собственными значениями линеаризованного отображения. Их присутствие или отсутствие определяет, какие члены более высокого порядка должны приниматься во внимание. В негиперболическом случае этот анализ преимущественно формален, т. е. он может быть проведен только с точностью до членов (произвольно) высокого порядка, в то время как в гиперболическом случае такой анализ дает гладкое сопряжение. [c.245]

Стохастический режим. В точке пересечения критических кривых Rl и Ra (рис. 44) мнимую ось пересекают две пары собственных значений (х,, х,) и щ, Xj), принадлежащих соответственно спектрам собственных значений матриц odi и aS . Поэтому в области П1 на диаграмме устойчивости обе х- и у-подсистемы становятся неустойчивыми. Поскольку собственные частоты колебаний =. = Imxi и 2 = ImXj, вообще говоря, несоизмеримы, в окрестности положений равновесия при надкритических значениях R можно ожидать рождения двумерных инвариантных торов, т.е. д (т) и у(х) будут задаваться двоякопериодическими векторными функциями вида г1)( ,т, ат), где г з( , и) — 2я-периодическая функция по каждому из аргументов. На рис. 49 и 50 представлены результаты численного интегрирования системы (6), (7) в точке а = 2,6, R = 40, принадлежащей области III. Интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге — Кутта без контроля точности интегрирования с шагом Дт = 0,002, что по порядку величины составляет 10 T i (Г, = = 2я/тах ( j, а))> и с заданной точностью интегрирования, равной 0,1%. Основной результат оставался неизменным. [c.153]

Явление универсальности. При изучении некоторых однопараметрических семейств дифференциальных уравнений (система Лоренца, нелинейные колебания в электрическом контуре, галеркинские аппроксимации уравнений Навье—Стокса и др.) наблюдаются последовательные бифуркации удвоения периода устойчивых периодических траекторий, о происходит в том случае, когда для некоторой периодической траектории у. непрерывно зависящей от параметра ц., собственное значение Я((х) линейной части оператора монодромии вдоль у принимает значение Я( хо)=—1. В случае общего положения при прохождении параметра через цо от у ответвляется новое периодическое решение у, которое при ц = совпадает с дважды пройденным у. Для у ((х) соответствующее собственное значение Я (цо) = (Я(цо) ) = 1. При дальнейшем изменении ц собственное значение Я (ц) меняется, и при некотором [Х1 оказывается Я (ц.1) =—1, после чего от у ответвляется траектория с периодом вдвое большим, чем период уЧй ), и так далее. Моменты последовательных бифуркаций (х,- имеют предел [х = = Ит[Х ,-. При м-г- -Цоо бифурцирующие траектории становятся [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...