Дисперсионное соотношение собственных значений

Получим теперь дисперсионное соотношение, с помощью которого можно определить дискретные собственные значения tio-Интегрируя (10.8) по ц пределах от —1 до 1 и используя ус-> ловие нормировки (10.6), получаем [c.381]

Дискретные собственные значения, дисперсионное соотношение 381 [c.606]

Использование обобщенных аналитических функций, кратко описанное в разд. 10, приводит к интересному явному представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой информации о результатах, которые следует ждать из эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7 при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собственные значения могут быть получены посредством аналитического продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр (так называемого дисперсионного соотношения ). Для модели, рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается формулой (10.9), или формулой [c.367]

Дисперсионное соотношение нулевого порядка является п-й степенью относительно со/й. Пусть Хо—невырожденное собственное значение матрицы Ад, /о — левый собственный вектор, а Го — правый собственный вектор матрицы А для X — = Хо- Тогда в этом приближении имеем [c.60]

Согласно дисперсионному уравнению (39) для каждого значения волнового вектора к можно найти два значения частоты со = sk и со = — sk. Соответственно, допускается существование двух волн одна распространяется вдоль к, а другая — в противоположном направлении. Для одной из волн дисперсионное уравнение (если корень не кратный) записывается в виде со = ok, где ю — соответствующее собственное значение для частоты. А для суперпозиции таких волн, принадлежащих одной и той же ветви колебаний, мы имеем соотношение [c.41]

Формула (1.2.15) позволяет утверждать, что дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей. Этот принципиальный вывод не связан с заменой точного дисперсионного соотношения приближенным, для него существенно лишь, что функция А1( имеет колебательный характер при отрицательных значениях аргумента. Любой интервал значений ограниченный точками с положительным и следующим за ним отрицательным экстремумами этой функции, порождает свою ветвь дисперсионной кривой, если производная внутри него отрицательна. Из всех ветвей дисперсионной кривой только одна начинается в полуплоскости со > О, она была определена в [38]. Все остальные ветви целиком расположены в полуплоскости (0<0. Хотя спектр собственных значений дискретный, он имеет точку сгущения (О = к = 0. Ветви с (0< О соответствуют возмущениям, которые сносятся вниз по потоку, поскольку для них о 0. [c.27]

Комплексная величина является собственным значением волнового числа в задаче о свободных колебаниях в пограничном слое вблизи верхней ветви кривой нейтральной устойчивости (С = 0), а выражения (3.4.24) в этом случае представляют собой две части дисперсионного соотношения. Условие Kf = О определяет частоту 2 = нейтральных собственных колебаний. Из (3.4.24) имеем [c.75]

Асимптотические разложения специального вида, позволяющие построить собственные функции и вычислить собственные значения в задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях, заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое. [c.112]

На каждой частоте со уравнение (1.10), граничные условия (1.9) и нулевые условия на бесконечности могут удовлетворяться лишь при дискретных значениях р, которые называются собственными значениями задачи, а сама задача (1.9)— (1.10) называется задачей на собственные значения. Если известно аналитическое решение уравнения (1.9), то удовлетворяя граничным условиям (1.9), можно в явном виде получить соотношение для определения Р, которое называется дисперсионным уравнением. В общем случае уравнение имеет q корней, каждому из которых соответствует определенное решение уравнения (1.8). Оно называется собственным решением задачи, а в электродинамике — собственным типом волны или модой. В круглом диэлектрическом волноводе моды при -V О имеют [c.24]

Фактически, однако, это выражение, взятое само по себе, не имеет смысла, если собственные значения знаменателя могут обращаться в нуль. Формула (10.26) становится определенной, если задать правило обхода полюсов. Последнее, однако, сводится к предписанию определенной связи между вещественной и мнимой частями D. т. е. к дисперсионным соотношениям. [c.91]

Прежде всего отметим, что система, рассматриваемая в это задаче, представляет собой распределенный резонатор, у которого существует бесконечный набор собственных частот. Причина их появления поясняется на рис. 2.32. Па нем показана дисперсионная характеристика некоторой среды, заключенной между двумя зеркалами, расстояние между которыми Ь. Предположим, что зеркала идеально отражающие, тогда по длине системы должно укладываться целое число полуволн, иначе говоря, в системе возбуждаются только волновые числа, удовлетворяющие соотношению ki = тгг/Ь, где i — целое. Пм соответствуют частоты Это и есть собственные частоты резонатора. Пх значения определяются дисперсионной характеристикой среды и длиной системы. Отметим, что при увеличении Ь точки на графике ш к) все более плотно заполняют дисперсионную кривую, так что в пределе Ь оо собственные частоты существуют практически при любом заданном значении частоты из некоторых интервалов. Папример для дисперсии, показанной на рис. 2.32, собственные частоты бесконечно длинной системы плотно заполняют интервал (О, о о)- Если зеркала пе идеально отражающие и их коэффициенты отражения зависят от частоты, то набор возможных волновых чисел уже не будет эквидистантным, но все равно, нри увеличении длины системы они будут более плотно заполнять всю ось к, следовательно точки, отвечающие собственным частотам, будут также плотно заполнять дисперсионную кривую. [c.126]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Для быстрых волн обнаружено бесконечное количество мод, которые характеризуются числом М, принимающим целочисленные значения М = О, 1, 2, 3.... Первые пять мод показаны на рис. 4.41. Особенность быстрых мод заключается в том, что их собственные функции очень быстро затухают с удалением от оси вихря. Можно полагать, что они отличны от нуля в области радиальных расстояний, много меньщих размера ядра вихря. Учитывая это условие, Leibovi h et al. [1986J вывели асимптотическую формулу для дисперсионного соотношения в случае длинных волн к 1), причем с произвольным значением те [c.239]

Заметим, что соотношения (49) могут быть распространены на любые волны малой амплитуды, поскольку выражение Р = (k/ ojt) является универсальным. Соответственно, значение собственной частоты ok в выражении (49) не обязательно должно быть равно sk, как для звуковой волны, а может определяться соответствующими дисперсионными соотношениями для любой однородной среды. [c.41]

Бегущие волны в однородной диспергирующей среде. Каждая гармоническая составляющая суперпозиции (122) определяет свою собственную гарлюническую бегущую волну с волновым числом к, значение которого следует из дисперсионного соотношения [c.281]

Прежде чем приступить к нахождению пакетов возмущений от локализованного источника было исследовано дисперсионное соотношение для симметричных и антисимметричных мод. Полученные результаты в виде зависимостей действительной и мнимой частей собственного значения от поперечного волнового числа Р показаны на фиг. 2. Дисперсионное соотношение периодическое по р, поэтому показан один период от О до ро. Зависимости о(Р) для волн Толмина - Шлихтинга (при а = 0) и слабонеоднородного течения при а = 0.05 показывают, как непериодическое дисперсионное соотношение для однородного пограничного слоя непрерывно переходит в периодическое. Оказывается, что при наличии сколь угодно малой неоднородности дисперсионное соотношение расщепляется на две ветви. Одна из них (обозначенная цифрой /) близка к дисперсионному соотношению для однородного течения на первой половине периода О < р < Ро/2, а вторая (2) - на второй Ро/2 < Р < Ро- На оставшихся половинах периода эти ветви близки к дисперсионному соотношению для волн Толмина - Шлихтинга, сдвинутому на период (построено жирной штриховой линией). При р = О и Ро/2 модам первой ветви соответствуют возмущения с симметричным распределением скорости и(у), а модам второй ветви - антисимметричные возмущения. Поэтому, как упоминалось ранее, моды первой ветви называются симметричными, а второй - антисимметричными. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...