Собственные значения комплексные

Вектор (1, 1 представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения и Яг вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку О- если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О. [c.373]

В общем случае собственные значения комплексны + ir j). [c.113]

При таком введении и° и и весь аппарат предыдущего параграфа полностью сохраняется. Единственное, но Весьма существенное, отличие от задачи дифракции без потерь в стенках состоит в том, что поставленная однородная задача не является теперь самосопряженной и собственные значения комплексны, а ортогональность собственных функций имеет место только в форме (3.6). Ситуация здесь такая же, как в / -методе при наличии [c.33]

Кривая 1 на рис. 118 (m=i) представляет собой действительную, а кривая 2 — мнимую части собственного значения комплексно-сопряженной пары, соответствующей а = 3 при Ке = 0. На рис. 119 (те = 1) продемонстрированы довольно сложные метаморфозы, происходящие с показателями степени при увеличении числа Рейнольдса. Штрихпунктиром обозначено действительное собственное значение, соответствующее кривой 4 на рис. 117. Из точки а = 4 при Ке = О отходят одна действительная (кривая 1) и две комплексно-сопряженных ветви (на рисунке не показаны), аналогично из точки а = 5 при Ке = О отходят одна действительная (на рисунке не показана) и две комплексно-сопряженные ветви, действительная часть которых есть кривая 2, а мнимая — кривая 3. В точке а эта комплексно-сопряженная пара сливается и рождаются два действительных показателя степени (кривые 4 ш 5). В точке Ъ два действительных показателя степени (кривые 1 ж 5) сливаются и рождается комплексно-сопряженная пара, действительная часть которой есть кривая 6, а мнимая — кривая 7. В точке с эта комплексная пара превращается в действительную пару показателей степени (на рисунке не показана). На рис. 120 представлены зависимости а(Ке) при более высоком азимутальном числе т 2. Кривая 1 соответствует действительному показателю степени, выходящему из невырожденного собственного значения а = 2 при Ке = 0. Кривые 2 ж 3 представляют собой действительные ветви двукратного собственного значения а = 3 при Ке = 0. В точке а два действительных показателя степени сливаются (кривые 1 и 2) и рождается комплексно-сопряженная пара, действитель- [c.312]

Рассмотрим теперь случай, аналогичный предыдущему (см. разд. 8.8.1), но отличающийся тем, что собственное значение комплексно [c.290]

В разд. 8.8.1 мы рассмотрели случай, когда т. е. собственное значение с наибольшей вещественной частью, вещественно. Предположим теперь, что это собственное значение комплексно [c.293]

Под Ч понимается комплексно сопряженная функция волновой функции Т. Учитывая условие (2-45), к функции Ч должно быть предъявлено требование не- прерывности и конечности во всем пространстве. Из всех решений уравнения (2-44) с учетом выполнения условий (2-45) существуют толь 0 те, которые соответствуют определенным значениям энергии Е. Эти значения называются собственными значениями энергии. [c.53]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Определение комплексных собственных значений. Рассмотренные ранее уравнения малых свободных колебаний стержней содержали слагаемые со вторыми производными по вре- [c.97]

В отличие от поведения определителей при нахождении собственных значений (частот) для консервативных задач определители [например, (4.100)], из которых находятся действительные и мнимые части комплексных собственных значений для неконсервативных задач, знака не меняют, что осложняет численное определение собственных значений. На рис. 4.12 показан качественный характер изменения поверхностей Н(а, р) при непрерывном изменении аир. Точки касания поверхностей плоскости (р, а) есть комплексные собственные значения [c.101]

Определив комплексные собственные значения (Х,/ = а/-1-1Р/), находим собственные векторные функции Zo " [c.105]

Изложенный в данном параграфе метод позволяет весьма эффективно определять приближенные значения частот сложных задач, когда стержень имеет промежуточные опоры или сосредоточенные массы. В случае неконсервативных задач метод дает возможность определить комплексные собственные значения, что используется в дальнейшем при исследовании устойчивости малых колебаний стержней. [c.117]

Рассмотрим более подробно основные задачи, которые возникают при проектировании стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком. Одной из основных задач является задача определения комплексных собственных значений стерж- [c.233]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

Действительные и мнимые части комплексных собственных значений находятся из условия D(a, Р, Wo)—Q, где D — определитель системы. [c.268]

На рис. 9.4,а приведены графики изменения действительной a и мнимой p частей двух комплексных собственных чисел в зависимости от размерной скорости W при 6i=10. Из графика следует, что при значении скорости потока, соответствующей точке D, действительная часть второго комплексного собственного значения меняет знак, т. е. колебания трубопровода становятся неустойчивыми. Соответствующее значение критической скорости обозначено Второе значение критической скорости соответствует точке А (auo ) где мнимая часть (частота) первого комплексного числа обращается в нуль. При безразмерной жесткости опоры 6i=10 первая критическая скорость W , при которой наступает динамическая неустойчивость, меньше второй критической скорости w , при которой первая частота обращается в нуль. Следует отметить, что обращение мнимой части комплексного корня в нуль не всегда связано с потерей статической устойчивости по данной форме. [c.268]

Из (7) получаем комплексные собственные значения Xl,2 = tl iPb Хз,4=а2 ф2> т. е. задача является неконсервативной. [c.294]

Исследование устойчивости пограничного слоя представляет собой задачу о собственных значениях параметров в уравнении возмущающего движения (7.2.10). Если основное течение V (х, у) задано, то это уравнение содержит четыре параметра а, Re , с, и с,. Из них следует считать известными R j и а. Таким образом, для каждой пары значений Re и а при заданных граничных условиях из (7.2.10) можно получить собственную функцию ф (у) и комплексное собственное значение с = Поскольку [c.453]

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- [c.107]

Собственные значения унитарного оператора выражаются комплексными числами, равными по модулю единице, а его собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Для доказательства рассмотрим уравнения для различных собственных функций и Mj), принадлежащих различным собственным значениям А/ и Aj унитарного оператора А [c.138]

Докажем, что симметричные уравнения не могут иметь комплексных собственных значений. Допустим противное пусть Я[ — комплексное собственное значение, ф1(х) — соответствующая [c.43]

Следовательно, отношение (1 — о)/(1 + о) есть вещественное число и, значит, ц) само вещественно. Таким образом, установлено, что интегральные уравнения (2.8) и (2.9) не имеют комплексных собственных значений. [c.563]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

В случае общего положения ведущее направление либо одномерно (тогда ему соответствует вещественное собственное значение), либо двумерно (и тогда ему соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений). Будем говорить, что в первом случае ведущее направление вещественно, а во втором — комплексно. [c.128]

Число, комплексно сопряженное собственному значению, есть также собственное значение. [c.141]

Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если X есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряженное уравнению (4.83), мы увидим, что к есть решение того же самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу. [c.141]

Если п — четное, то имеется еще одно действительное собственное значение при j = п/2. Все остальные собственные значения комплексные. Г1ри этом минимальное затухание у первой гармоники (j п — 1). Если п очень велико, то для j < . п [c.79]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

В п. 6 3 и п. 1 4 были исследованы два случая применения е-метода к задачам дифракции. В первом случае потери происходят в диэлектрическом теле, т. е. е комплексно. Тогда однородная задача самосопряженная и Еп вещественно. Во втором случае потери происходят не в диэлектрике, и однородная задача — несамосопряженная, е комплексно. Аналогично и во всех остальных вариантах метода мы будем иметь дело всегда с одним из двух случаев либо потери определяются комплексностью только того параметра в задаче дифракции, который в однородной задаче является собственным З11ачен11ем либо существуют еще н другие потерн, В первом случае соответствующая однородная задача всегда можег быть сделана самосопряженной. Во втором случае — задача несамосопряженная, собственные значения комплексны. Физически это всегда означает, что однородная задача соответствует наличию какой-либо активной области, в которой происходит выделение энергии, компенсирующее потери, [c.35]

Если в задаче дифракции нет других потерь, кроме, быть может, потерь на поверхности тела, то однородная задача (она не зависит от истинных граничных условий) будет, как правило, самосопряженной, а собственные значения — вещественными В общем случае однородная задача несамосопряженная, собственные значения комплексны, причем знак их мнимых частей соответствует выделению с поверхности вспомогательного тела энергии, расходуемой на поддержание незатухающих колебаний, происходящих с истинной частотой, в отсутствие истинных источников. Вспомогательные граничные условия в таком случае описывают некую активную (т. е. с отрицательными потерями) пленку, излучающую пропорционально квадрату поля на ней и имеющую форму границы тела. [c.86]

Система уравнений dx/d/= x неособым линейным преобразованием Т может быть сведена к виду dujdt Ju, где ] — ТАТ —жор-данова матрица. Вектор и имеет компоненты u=(w, и, со). Собственные значения матрицы J встречаются в таких комбинациях I — собственные числа действительны и различны П — собственные числУ действительны и два совпадают П1 — собственные числа действительны и совпадают IV — два собственных значения комплексные. Матрица в зависимости от поведения собственных значений йеет следующую каноническую форму [c.169]

IV. Если два из трех собственных значений комплексны, то в этом случае решение имеет такой вид и = С1е г = Ф = 1тЯ2(/+ з)- При этом возможен случай [c.171]

Возможности программного обеспечения проектирование в режиме оп-Ипе , анализ и моделирование одномерных и многосвязных систем. Гибкие средства ввода-вывода данных, сервисные программы. Для анализа и проектирования одномерных систем используются методы Найквиста, корневого годографа, логарифмические характерист ики и диаграмма замыкания. Для анализа и проектирования многосвязных систем используется инверсный метод Найквиста (для непрерывных и дискретных систем). Для анализа систем применяются модели в пространстве состояния, описания в форме передаточных функций и эксп и-ментальные частотные характеристики. Численные методы основаны на QR-и QZ-алгоритмах, алгоритмах нахождения собственных значений комплексной матрицы, инверсном и обобщенном алгоритмах Фадеева, алгоритме минимальной реализации. Максимальная размерность систем 50 состояний или 50-й порядок характеристического уравнения. [c.313]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Ортогональ11ость собственных функций. 1ве собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, равен нулю. [c.100]

Из (4.1.5) видно, что комплексная пара собственных значений, делающая систему уравнений (4.1.1) негиперболической, ие свя.чана с акустическими возмущениями из-за сжимаемости фаз, а обусловлена исключительно эффектами переноса фаз со скоростями Vi и V2. в точках, где скорости фаз совпадают (Ш(2 = 0, vi = vz — v), характеристические направления, хотя п становятся действительными, по совпадающими между собой и равными = V, что по-прежнему сохраняет негиперболичность исследуемой системы уравнений (Б. Л. Рождественский, II. Н. Яненко, 1979). [c.303]

Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом х означает квадрат модуля первой, а у — второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х в. у, поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [c.31]

Рис. 48. а. Отображение соответствия для седла с комплексным ведущим устойчивым направлением, б, в. Преобразование монодромни гомоклини-ческой траектории седла с парой комплексных собственных значений. Заштрихованы полувитки и их прообразы, б) а+Х<0, в) О .+А,>0 [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...