Оператор вполне непрерывный

Свойства собственных частот и собственных форм. В дальнейшем будем считать, что операторы А и С — самосопряженные и положительно определенные, а оператор — вполне непрерывный. [c.170]

V = vo состоит из одной точки Я- = vo с бесконечной кратностью вырождения. Далее, от прибавления к самосопряженному оператору вполне непрерывного оператора непрерывная часть спектра не меняется (точнее, не меняется существенный спектр, но это [c.88]

Теорема 4.2 Линейная комбинация вполне непрерывных операторов вполне непрерывна. [c.153]

Часто для определения того, является ли данный оператор вполне непрерывным, оказывается полезной следующая простая лемма. Она кажется правдоподобной уже из интуитивных соображений, основанных на том, что коммутирующие операторы можно одновременно привести к диагональному виду (если только их вообще можно привести к диагональному виду). [c.195]

Оператор называется вполне непрерывным, если он преобразует любое ограниченное множество в компактное. [c.128]

Весьма общие результаты были получены в [34, 159], где исходят из представления оператора А в виде суммы двух операторов, один из которых Ао положительно определенный в некотором пространстве Я, а другой К определен в пространстве, включающем в себя пространство Я. При этом полагается, что оператор Ло" К является вполне непрерывным оператором в Яд,. [c.154]

Поскольку уравнения (5.10) отличаются от уравнений второй основной задачи лишь вполне непрерывным оператором, то для корректной разрешимости достаточно доказать их единственность. [c.599]

Значит, оператор В из в является вполне непрерывным. Элемент (1) ge М назовем квазирешением [205, 457[ уравнения (1.22) на М, если [c.131]

Линейный оператор L называется компактным или вполне непрерывным в Ни если он преобразует всякое ограниченное по норме множество в компактное множество. [c.211]

Примером вполне непрерывного оператора может служить, в частности, интегральный оператор вида (П. 2). [c.211]

Дискретный (точечный) спектр. Если С" — вполне непрерывный, а А — положительно определенный оператор, то спектр частот — точечный. Это характерно для большинства прикладных задач теории упругих колебаний. [c.172]

Теория установившихся вынужденных колебаний упругих систем с вполне непрерывными операторами аналогична теории вынужденных колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы. Если С А не является вполне непрерывным оператором (это имеет место, например, для неограниченных упругих систем), то указанная аналогия может частично или полностью утрачиваться. [c.235]

Теорема 7. Явная запись вполне непрерывного оператора имеет рид [c.14]

В самом деле, если решение несвязанной задачи существует, т.е. существует вектор-функция й как вполне непрерывный оператор от Т, то оператор, стоящий в правой части уравнения [c.153]

Интегральный оператор в (7.47) является самосопряжённым, вполне непрерывным и положительным, в силу чего его характеристические числа А вещественны и положительны, а собственные функции образуют полную ортонормированную систему. [c.378]

Важную роль при исследовании применимости проекционных методов к граничным интегральным уравнениям играют следующие два предложения о возмущении операторов из класса n Ph, Qh вполне непрерывными или малыми по норме операторами. [c.194]

С Х—>-У — линейный вполне непрерывный оператор. Если оператор А = В- -С обратим и — предельно плотная в X последовательность конечномерных подпространств, то, начиная с некоторого h = ho, система (1.19) имеет единственное решение aj . u последовательность Uh , порождаемая с помош ью (1.17) этими решениями, сильно сходится к решению и уравнения (1.1), причем [c.197]

L2 — вполне непрерывный оператор. [c.228]

Заметим, что, используя определенным образом построенную совокупность разбиений единицы на Г и учитывая неравенства типа (2.24), представления типа (2.25) и свойство (2.26), можно показать, что существует такой оператор Л., в Ни, для которого 1 Л г 2+Е2, где 82 0 при ei O, причем разность Л—Л,, есть вполне непрерывный оператор. Отсюда следуют утверждения леммы, если учесть, что Л — самосопряженный оператор. [c.229]

Преимущество углового обрезания, введенного в 3, состоит Б том, что оно приводит к довольно простой математической теории оператора столкновений, не изменяя зависимости дифференциального поперечного сечения (которое пропорционально В (0, V)) от относительной скорости. Однако нужно рассматривать угловое обрезание как математический прием, который приобретает смысл, только если можно перейти к пределу 0о я/2. С другой стороны, из анализа 7 гл. 1 следует, что учет лишь парных взаимодействий физически оправдан только для потенциалов с конечным радиусом взаимодействия в этом случае для получения разбиения (2.12) не нужно вводить угловое обрезание. Недостатком обрезанного потенциала по сравнению с потенциалом бесконечного радиуса с угловым обрезанием является то, что оператор К тогда слишком сложен в обращении. В частности, трудно доказать или опровергнуть утверждение о том, что оператор К вполне непрерывен в (см. [5]). Можно, однако, доказать, что интегральный оператор с ядром К ( , 1) [V ( ) V (11)]вполне непрерывен при соответствующих значениях а (легко показать, что это верно при всех а 2). Но трудно, если вообще возможно, показать, что значения а могут быть уменьшены до нуля по мнению автора, хотя при а = О полной непрерывности может и не быть, но очень возможно, что при а = 1/2 оператор вполне непрерывен. Этот результат, как будет видно в следующей главе, позволит построить последовательную и стройную теорию. [c.91]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Таким образом, непрерывный спектр оператора + /к- , где к — вещественный вектор и Ь = К — V с вполне непрерывным/С (как в случае твердых сфер), состоит из точек [c.228]

К — вполне непрерывный и, следовательно, ограниченный оператор (значит, существует такое М2, что КЩ <М2 /г ). [c.229]

Оператор L допускает представление L = К — v/, где К — вполне непрерывный симметричный оператор из 3 в 3 , v — функция от g, удовлетворяющая следующим условиям [c.472]

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений (Лг ), i])) на пересечении единичной сферы с областью его определения Da и 2) непрерывные спектры операторов А h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). [c.316]

Теорема 1. Оператор Р2А — вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный из Н2 в Н2- [c.557]

Теорема. Оператор, стоящий в правой части (7.18), действует из пространства квадратично суммируемых последовательностей /а в 2 вполне непрерывно при всех >1 (0, оо) и является оператором сжатия при Х>Хо. Постоянная Хо находится из уравнения [c.60]

Из (7.21) следует, что оператор, стоящий в правой части (7.18), действует из 1г в 1г и является там вполне непрерывным при X е (О, оо). Отсюда на основании теоремы Гильберта [17] бесконечная система (7.18) однозначно разрешима почти при всех значениях параметра X. Из (7.21) видно, что при выполнении равенства (7.20) указанный выше оператор будет оператором сжатия в и. Следовательно, при Х>Хо решение бесконечной системы [c.60]

Теорема 3. Если /(х)е1/2(—1, 1), то оператор, стоящий в правой части (3.14), действует в пространстве 1г и является в нем вполне непрерывным при всех значениях с, е (О, °°). Система (3.14) однозначно разрешима в 4. [c.356]

Из этого неравенства вытекает, что оператор, стоящий в левой части (1.17), действует из полного пространства квадратично-сумыируемых последовательностей в и является там вполне непрерывным. Таким образом, если основной определитель А системы (1.17) отличен от нуля, то к пей применима теорема Гильберта [229] о ее разрешимости. Кроме того, из (1.5), (1.15) следует. [c.130]

Для ограниченных упругих систем обратный оператор является вполне непрерывным (исключения могут составить системы с сильно заостренными элементами, однако эти системы следует рассматривать как искусственно сконструированные примеры). Определение вполне непрерывного оператора требует использования понятия сходимости и компактности в гильбертовых пространствах. Вполне непрерывный оператор улучшает сходимость последовательностей в соответствующем пространстве, преобразуя ограниченную последовательность в компактное множество, слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, и т. п. [c.170]

Интегральный оператор Л можно иредстайить как сумму сингулярного В й вполне непрерывного Т операторов [c.9]

Понадобится следующее обобщение теоремы Вейля [2] прибавление к замкнутому линейному оператору В вполне непрерывного оператора Т не измейяет непрерывной части спектра, т. е. [c.10]

Известно, что произвольный вполне непрерывный оператор может нметь одну точку непрерыв1нЬго спектра Х=0. Из [c.12]

Другое доказ.ательство теоремы 6,. не использующее информацию о спектре, связано с явным. представлением оператора С как линейной кол бинации вполне непрерывных операторов. [c.14]

Здесь ф = ( гф) OYt, Ло — оператор (2.23) при T=R , Go — оператор с малой нормой (меньшей 2Ei , где С2>0— константа), Gi — вполне непрерывный оператор. [c.229]

В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси при этом можно лишь сказать, что если деление опнс7з1вается вполне непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...