Матрицы собственные значени элементы

Левая часть этого уравнения написана в форме матрицы, подобной матрице А. [Чтобы привести ее к виду (4.41), нужно обозначить Х через Y.] Таким образом, уравнение (4.80) позволяет следующим образом сформулировать задачу об отыскании собственных значений матрицы нужно найти такую матрицу, которая преобразовывает данную матрицу А в диагональную. Элементы полученной диагональной матрицы будут тогда искомыми собственными значениями. [c.138]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Полученное равенство показывает, что конгруэнтное преобразование матрицы V с помощью матрицы А превращает ее в диагональную матрицу X, элементами которой являются собственные значения Xh- [c.356]

Матрицу с выберем так, чтобы матрица С АС была диагональной матрицей Л, диагональные элементы которой равны собственным значениям Я.1, Х2,. . кт матрицы Л. Так как элементы матрицы С могут оказаться комплексными, то и могут быть комплексными даже тогда, когда X вещественны. Обозначим расстояние точки и от начала О через S = = I рч I U2 p-f.. . -f I Wm Величина S мала лишь в том случае, если мало расстояние R, я S = 0 тогда и только тогда, когда R = 0. (Как и выше, можно вместо S ввести величину S, равную Wj -f Ыг Ц-.. . - - ujn .) Уравнения (21.11.2) записываются теперь в следуюш,ей форме [c.420]

Выбор матрицы С подчиним требованию, чтобы матрица С ВС была диагональной, элементами этой матрицы М будут собственные значения Xi, )Л2, , матрицы В. Преобразование принимает теперь простую форму [c.423]

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование ж = Ва (где матрица J5 не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных. значений матрицы В будет равно В , определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы В 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных 5фг/5а, в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо,чтобы якобиан [c.428]

Обратимся к случаю, когда элементы матрицы А постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы А. Однако из 23.3 следует, что если матрица А постоянна, tq ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица А является периодической. Поэтому термином характеристический показатель можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы А постоянны. В задачах, в которых А есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями. [c.467]

Из (3) видно, что устойчивость экипажа от сползания при случайной ошибке в силах предварительного поджатия ног можно определить, исследовав сходимость степенного матричного ряда по собственным значениям матрицы все элементы которой [c.36]

Таким образом, задача определения собственного спектра /Сг), Ът), г=1,. .и, цепной модели (14.2) сводится к решению алгебраической задачи о собственных значениях и векторах симметричной динамической матрицы А с вещественными элементами. [c.228]

Остальные собственные формы расчетной модели определяются по формулам (14.44)—(14.46). Если в матрице Q модели (13.10) имеется элемент со, кратности > собственным значением кратности /4 — 1 этой модели. Соответствующие этому собственному значению ортогональные собственные формы можно построить следующим образом [28] [c.238]

Остальные собственные формы расчетной Г - модели с Мг кратности V. определяются по формулам (14.44) —(14.46). При наличии в матрице й нескольких кратных элементов собственные формы, отвечающие порождаемым этими элементами собственным значениям расчетной модели, определяются для каждого из этих значений но схеме (14.48). [c.239]

Найдем оценку для элементов матрицы при условии, что все собственные значения матрицы А — простые, причем Re < <0, m = 1, 2, п. Для получения такой оценки воспользуемся [c.198]

Из построения матрицы А следует, что det Л = О, так как элементы п + 1)-го столбца этой матрицы равны нулю. Следовательно, матрица А имеет нулевое собственное значение, наличие которого для незакрепленных крутильных систем приводов является характерным и соответствует вращению системы [7]. Заметим, что требование выполнения условия б (стр. 197) не имеет смысла, если нагружающие моменты являются моментами сил сопротивления, то есть fk (О < 0. [c.211]

Построим матрицу V , если известна матрица V, что необходимо для осуществления оценок согласно неравенствам (7.48). Формулы для определения элементов матрицы V, приводящей матрицу А к нормальной форме Жордана, приведены в п. 2.2. Будем полагать, что матрица А имеет простые собственные значения, что справедливо для большинства приводов машин. Тогда матрица V приводит матрицу А к диагональному виду. Пусть U — матрица, приводящая [c.213]

Вид решения определяется корнями Ху уравнения F (X) = 0. Минимальную частоту собственных колебаний отдельной оболочки м определим как наименьшее значение, при котором 64 = 0. Этому условию и корню X = 0 соответствуют колебания оболочки как кольца Л = 0. При частоте а> (и влияние сил инерции на деформации оболочки невелико, все корни имеют действительную часть Ке X,- 0. Уравнение (со) = 0 имеет три корня со, со", со". Если частота равна одному из этих значений, то решение имеет особенность, характерную для кратных корней линейных дифференциальных уравнений. Помимо указанных частот имеются другие, когда уравнение Т (X) имеет кратные корни. Поскольку при наличии кратных корней Ху матрица А становится вырожденной, она не может использоваться непосредственно для расчета составной конструкции и должна быть преобразована. Другая цель преобразования матрицы А — получить матрицу с действительными Элементами, так как, используя матрицы с комплексными элементами, мы теряем в точности расчета. [c.20]

На втором этапе вычисляется геометрическая матрица жесткости конструкции, соответствующая этим внутренним усилиям, и затем находятся один или несколько корней уравнения (1.8) и соответствующие им формы потери устойчивости. Задача вычисления корней уравнения (1.8) называется проблемой собственных значений, которая рассмотрена в разделе 1.4.2. Теория устойчивости деформируемых систем и применение метода конечных элементов к решению задач устойчивости конструкций подробно изложены в [10, 12, 15, 17, 20]. [c.38]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или со ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений [см. (4.135)1, а следовательно, и коэффициенты матрицы жесткости [см. (4.136)1 будут иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения (см. 3.6)- и выделить для элемента матрицу, аналогичную матрице приведенных начальных напряжений (или матрице приведенных масс). В случае необходимости стыковки отдельных элементов в глобальной системе координат преобразования матриц и векторов выполняются в соответствии с зависимостями (4.103), (4.109), которые были приведены в предыдущем параграфе. [c.159]

Здесь Ши = (El — Es)/h, где Ei и — собственные значения невозмущенного гамильтониана Но- Это и есть искомое уравнение для элементов матрицы плотности. [c.23]

Используя подход, при котором находится максимальное собственное значение, получаем вектор в качестве оценки основной шкалы отношений. Основываясь на методе наименьших квадратов, можно получить матрицу PrXV Qr пониженного ранга (в нашем случае единичного), которая является наилучшим приближением в смысле наименьших квадратов к заданной матрице суждения. Естественно, что эта матрица является лучшим приближением в смысле наименьших квадратов, чем матрица w — wi/wl), т. е. если определить F = A—Pr V QJ и G=A — W и просуммировать квадраты их элементов, то можно легко показать, что первая сумма равна tr(f/ ) = trA.5, где As — диагональная матрица собственных значений, не включенных в (в нашем случае Лг — наибольшее собственное значение матрицы ЛМ и trAs — сумма остальных собственных значений). Можно показать, что 1г[(Л — ) (Л — iv FF ), как и должно быть на самом деле. Однако задача заключается в получении вектора шкалы из аппроксимированной методом наименьших квадратов матрицы PA Qr. Если предположить, что эта матрица почти согласованна, то можно использовать любой из ее столбцов (нормализованных) как приближение к основной шкале. Но теперь возникает вопрос, насколько хорош этот вектор по сравнению с максимальным собственным вектором. В нашем примере использовалось среднеквадратичное отклонение от известных основных шкал в задачах, где желательно было провести сравнение. Как будет показано в приведенном ниже примере, максимальный собственный вектор явно превосходит вектор, полученный методом наименьших квадратов (как мы его интерпретировали), если его рассматривать как приближение к реальности. [c.254]

Условия (5.11) или (5.12) устойчивости методов интегрирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под X/ понимают собственные значения матрицы Якоби Я = <ЗУ/(ЗУ. Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби непостоянны, то непостоянны и ее собственные значения. Поэтому априорный выбор значения постоянного шага h, удовлетворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [О, Ткон], оказывается практически невозможным (случай гарантированного выполнения условий устойчивости за счет выбора /г<Стпип неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени). [c.239]

Итак, каждый эрмитов оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются вещественные собственные значения эрмитова оператора. [c.138]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

Каждая часть уравнения (4.78) имеет вид элемента матрицы, являющейся произведением двух матриц левая часть — произведением матрицы А на матрицу X с элементами Xjk, а правая — произведением матрицы X на матрицу с элементами Sjkhi. Последняя матрица является диагональной и ее элементы суть собственные значения матрицы А. Обозначив эту матрицу через I, будем иметь [c.138]

Целесообразность подобного приведения динамической матрицы А к трехдиагональному виду обусловлена тем, что проблема собственных значении трехдиагональных матриц решается исключительно эффективно при помощи численно устойчивых алгоритмов простой структуры [95]. Предположим, что динамическая матрица А исследуемой модели подобно преобразована по Хаусхолдеру в симметричную трехдиагональную матрицу С. Информационно существенное содержание (га X и)-матрицы С характеризуется ее п диагональными элементами jf,- и п — I над-диагональными элементами i+i [c.228]

Для составных моделей вида (13.10) полуопределенпых динамических систем машинных агрегатов обычно характерно наличие в матрице О пулевого двукратного элемента, соответствующего низшим собственным значениям локальных динамических подсистем. В этом случае матрицу следует формировать так, чтобы нулевые элементы занимали в ней крайние позиции па главной диагонали, т. е. [c.237]

При анализе составных моделей вида (13.13) нолуопределен-ных динамических систем машинных агрегатов обычно оперируют с матрицей Q, имеющей нулевой трехкратный элемент, соответствующий низшим собственным значениям полуоиределениых локальных моделей нодсистем. В этом случае целесообразно индексацию координат расчетной модели (13.13) выполнить таким образом, чтобы в матрице Й крайние позиции на главной диагонали были заняты нулевыми элементами (см. (14.41)). Тогда, как показывает анализ, нули полиномов (14.50) строго разделяются, и последовательность этих нолиномов обладает свойством Штурма. Следовательно, при указанной структуре матрицы Q собственные значения эквивалентной модели вида (13.13) с тремя нулевыми значениями в совокупности vj, U, яЛ можно определять по дихотомической схеме (14.10), (14.11), не прибегая к модификациям расчетной модели. Собственные формы рассматриваемой составной системы, отвечающие исходным обобщенным координатам подсистем, определяются по формулам вида (14.45) с учетом трех подсистем. [c.240]

Остановимся теперь на особенностях определения собственных значений и собственных форм составных систем, включающих подсистемы с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами (см. рис. 76). При отсутствии нулевых значений i согласно (13.23) и кратных элементов со,- матрицы Q системы (13.22), как указывалось в 13, можно обоснованно усекать бесконечномерную модель (13.22). Будем полагать, что для рассматриваемого ограниченного частотного интервала (О, % ) выполняется неравенство (13.24). Тогда проблема собственных спектров эквивалентной усеченной модели (13.22) на указанном частотном интервале решается на базе дихотомического алгоритма (14.10), (14.11) и вычислительной схемы (14.44). Возможные дополпительпые модификации расчетной модели (13.22), связанные с наличием нулевых Сг или кратных сог, рассмотрены выше. [c.240]

Каждой найденной собственной частоте можно привести в соответствие формы колебаний. Для этого, определив конкретные значения элементов матрицы ВДЖ, соответствующих данной частоте, и учитывая Qz =Л1у—0, из (5.13) получим однородную систему уравиени1г. [c.73]

Случай малой диссипации. Назовем диссипацию маюй, если элементы матрицы (А В) достаточно малы по сравнению с элементами матрицы А С, собственные значения которой равны квадратам собственных частот консервативной системы. Сравнивая матрицы по некоторой норме, представим условие малости диссипации в виде [c.94]

Смотреть страницы где упоминается термин Матрицы собственные значени элементы : [c.246] [c.472] [c.199] [c.182] [c.351] [c.153] [c.220] [c.235] [c.237] [c.267] [c.157] [c.201] [c.11] [c.108] [c.97] [c.125] [c.361] [c.370] [c.83] [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...