Собственные значения для консервативных задач

Система уравнений (4.1) — (4.4) не содержит сил сопротивления, т. е. описывает малые колебания консервативной системы. В этом случае собственные значения краевой задачи Я (частоты) есть действительные числа. После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов Ыо, 0о> АОо и АМо [c.75]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

В отличие от поведения определителей при нахождении собственных значений (частот) для консервативных задач определители [например, (4.100)], из которых находятся действительные и мнимые части комплексных собственных значений для неконсервативных задач, знака не меняют, что осложняет численное определение собственных значений. На рис. 4.12 показан качественный характер изменения поверхностей Н(а, р) при непрерывном изменении аир. Точки касания поверхностей плоскости (р, а) есть комплексные собственные значения [c.101]

Ниже рассмотрен достаточно узкий класс задач устойчивости тонких гладких упругих оболочек, находящихся под действием консервативной поверхностной и краевой нагрузки. Использование статического критерия устойчивости приводит к линейным краевым задачам на собственные значения, для решения которых эффективно применяются асимптотические методы. В результате построены приближенные асимптотические формулы для ожидаемых форм потери устойчивости и соответствующих им критических нагрузок. Рассматриваются оболочки с различной формой срединной поверхности, находящиеся в различных условиях нагружения и закрепления. [c.13]

Поскольку при = О задача о малых колебаниях (16.105) переходит в задачу о собственных значениях (16.103), из сказанного выше следует при консервативных внешних силах для отыскания критических значений внешних сил вместо динамического метода можно использовать (более простой) статический. [c.283]

Если консервативные задачи устойчивости могут быть решены статическим методом, то неконсервативные задачи решаются только динамическим методом [69]. Основным элементом динамического метода является решение задачи Коши для поперечных колебаний стержня с учетом продольной силы. В отличие от статического метода, критическая сила в динамическом методе определяется в точке, где становятся равными (сливаются) две соседние частоты собственных колебаний. С этой целью в программу расчета вводится начальное значение сжимающей силы и фиксируются частоты (минимум две) собственных колебаний. Далее значение сжимающей силы увеличивается и отслеживается изменение частот. Процесс продолжается до тех пор, пока с определенной точностью две соседние частоты станут равными. Значение сжимающей силы при этом будет критическим. [c.137]

Если амплитуда продольных автоколебаний корпуса ракеты та> кова, что механические деформации конструкции носят упругий ха-рактер, то консервативная часть математической модели упругого корпуса будет описываться линейной системой уравнений. Следует также отметить, что даже при очень больших, достигающих разрушающих значений амплитудах колебаний, отклонения от линейной модели приводят всего лишь к весьма умеренным поправкам к значениям собственной частоты колебаний корпуса. Роль подобных поправок в рассматриваемом круге задач несущественна, так как само значение собственной частоты колебаний в процессе полета меняется в сравнительно широких пределах. [c.136]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Массы rrii i = 1,п) связаны между собой и с неподвижной опорой пружинами жесткости (см. рис. к задаче 17.8). На последнюю массу действует сила вязкого трения F = — v (Р > 0). Показать, что те значения со, нри которых годограф Михайлова / (i o) характеристического полинома системы f X) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при р 0. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...