Семейства векторных полей

Наряду с известными, обзор включает ряд новых результатов некоторые из них известны авторам из частных сообщений. К ним относятся полное исследование бифуркаций положений равновесия в типичных двупараметрических семействах векторных полей на плоскости с двумя пересекающимися инвариантными прямыми (так называемая редуцированная задача [c.10]

Семейства векторных полей. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений [c.13]

Область и называется фазовым пространством, В — пространством параметров (или базой семейства), V — семейством векторных полей нг и с базой В, Всюду далее, если не оговорено противное, рассматриваются только гладкие семейства v класса С ). [c.13]

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [c.15]

Локальным семейством векторных полей (и Xq, о) называется росток поля V в точке (j q, eq) прямого произведения фазового пространства и пространства параметров представителями таких ростков являются семейства векторных полей". [c.16]

Слабая эквивалентность локальных семейств векторных полей определяется так же, только росток Я- не должен быть непрерывным представитель ростка Я — семейство диффеоморфизмов Я(-, е), определенных в общей окрестности точки Xq, но не обязательно непрерывных по е. [c.17]

Теорема сведения. Рассмотрим семейство векторных полей, зависящих от конечномерного параметра. Предположим, что поле г (-, 0) имеет особую точку л =0 и что соответствующее характеристическое уравнение имеет s корней в левой полуплоскости, и в правой полуплоскости и с на мнимой оси. [c.17]

Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей v -, г). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. ЭтО" разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность. [c.18]

В типичных локальных v-параметрических семействах векторных полей встречаются только типичные ростки рассматриваемого класса. [c.19]

Теорема [43]). В типичных двупараметрических семействах векторных полей встречаются лишь такие ростки с двумя нулевыми собственными значениями в особой точке, ограничение которых на центральное многообразие в подходящих координатах имеет вид, указанный в таблице 1 (строка 5). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице главным деформациям и версальны. [c.26]

Определяемые в этом параграфе показатели описывают скорость, с которой происходит потеря устойчивости в типичных л -параметрических семействах векторных полей при v 3. [c.39]

Вместо семейств диффеоморфизмов в этом параграфе рассматриваются семейства векторных полей, сдвиги по траекториям которых за единичное время приближают исходные семейства диффеоморфизмов. [c.55]

Теорема 3. а) Рассмотрим семейство векторных полей в особой точке (ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке, периодических векторных полей на цикле). Для каждого нату- [c.70]

Теорема. Типичное [ -параметрическое семейство векторных полей на прямой в окрестности каждой вырожденной особой точки заменой переменных и параметров приводится к одному из главных семейств (20) при v+l jx или к семейству [c.74]

Пусть У (г), e6R , — -параметрическое непрерывное семейство векторных полей. [c.87]

Из примера видно, что знание функционалов, определяющих бифуркационные поверхности, позволяет конструировать транс-версальные к ним однопараметрические семейства векторных полей. [c.95]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Цель настоящего параграфа — описать (насколько возможно) бифуркации в типичных однопараметрических семействах векторных полей на замкнутых поверхностях, а также структуру бифуркационного множества в функциональном пространстве векторных полей. [c.97]

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей — это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в типичной точке . Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем общего положения в множестве всех негрубых систем. [c.100]

Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна. До недавнего времени оставалась нерешенной проблема существует ли на компактном многообразии однопараметрическое семейство векторных полей с базой [О, 1], имеющих при Е<1 предельный цикл, длина которого неограниченно возрастает при Е 1 цикл расположен на положительном и отделенном от нуля равномерно по в расстоянии от особых точек поля Ue и исчезает при е=1. Такая бифуркация цикла получила название катастрофа голубого неба [184]. [c.105]

Бифуркации на двумерной сфере. Многопараметрический случай. Хотя даже локальные бифуркации в высоких коразмерностях (начиная с трех) на диске полностью не исследованы, тем не менее, полезно затронуть вопрос о нелокальных бифуркациях в многопараметрических семействах векторных полей на двумерной сфере. При их описании возникает необходимость выделения множества траекторий, определяющих перестройки в семействе. [c.106]

Гипотеза (В. И. Арнольд, 1985). В типичном /-параметрическом семействе векторных полей на S [c.107]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности. Можно представить себе однопараметрическое семейство векторных полей, в котором значениям параметра меньше первого критического соответствуют поля с глобально устойчивой, особой точкой. При прохождении первого критического значения рождается устойчивый предельный цикл при прохождении второго критического значения этот цикл исчезает, как описано-в п. 4.5. При этом рождается странный аттрактор и наступает хаос. [c.121]

Следствие. Для любого семейства векторных полей Ое , пересекающего бифуркационное множество в точке Vq и не имею- [c.121]

В случае 2) после рождения тора почти для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется — бифуркационная поверхность может быть и достижимой. [c.123]

Требования общности положения. Чтобы для однопараметрического семейства векторных полей выполнялось утверждение предыдущей теоремы, это семейство должно удовлетворять следующим требованиям общности положения. Первые три требования налагаются на векторное поле, соответствующее критическому значению параметра. [c.128]

Главные семейства векторных полей в R с гиперболическим седлом, у которого ведущее устойчивое и неустойчивое направления одномерны (и, следовательно, вещественны) и при =0 имеется гомоклиническая траектория, получаются из опи- [c.133]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Для любого однопараметрического семейства -гладких, r l, векторных полей на Т , непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра. [c.149]

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150]

В типичных однопараметрических семействах векторных полей встречаются негиперболические особые точки двух типов одно собственное значение особой точки равно нулю или два чисто мнимых, отличных от нуля, а остальные не лежат на мни-1КрЙ оси. В этом параграфе описаны версальные деформации ТД1СИХ ростков и обсуждается явление мягкой и жесткой потери устрйчивости положения равновесия. [c.20]

Пятый параграф посвящен конечногладкой теории. В нем исследуются нормальные формы локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов, к которым семейства могут быть приведены конечногладкой заменой координат в фазовом пространстве. Эти нормальные формы полезны для теории нелокальных бифуркаций и релаксационных колебаний. [c.42]

Другими словами, мы ограничиваемся исследованием бифуркаций в факторсистеме упрощенной нормальной формы семейства уравнений в окрестности цикла. Истолкование результатов в терминах исходной системы требует дополнительной работы, так как даже топологически бифуркации в исходной системе и в упрощенной нормальной форме не всегда одинаковы (см. например, п. 3.5). Начнем с построения вспомогательных семейств векторных полей на плоскости, сдвиг вдоль которых приближает преобразование монодромни циклов в случае сильного резонанса. [c.56]

Гипотеза. В типичных двупараметрических семействах векторных полей, в которых происходит потеря устойчивости предельным циклом с прохождением через сильный резонанс, встречаются векторные поля с йетривиальными гиперболическими множествами. Соответствующие им значения параметра подходят к критическим узкими языками. [c.61]

Теорема. В типичных гладких конечнопараметрических семействах векторных полей на плоскости встречаются только такие ростки седловых резонансных векторных полей (резонанс pli+qK2=0, р и q натуральны и взаимно просты), которые гладко орбитально эквивалентны ростку [c.73]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Теорема ([8], [9]). В типичных однопараметрических семействах векторных полей на плоскости возможны лишь следующие полулокальные бифуркации [c.98]

Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы. Ясно, что для любой поверхности можно выделить класс однопараметрических семейств векторных полей функциональном пространстве, пересекающих бифуркационное множество лишь в точках множества квазиобщих векторных полей. Это сделано в [169], где приведена схема доказательства открытости такого класса в множестве всех однопараметрических семейств. Изо- [c.102]

Построим сначала вспомогательное семейство векторных полей в прямом произведении IXD отрезка 2 на (п—1)-мерный шар х 1, x6R" . Рассмотрим гладкое векторное поле в Z), равное нулю в некоторой окрестности границы D, имеющее гладкий инвариантный (п—2)-мерный тор с положительным показателем притяжения поле v на торе диффео-морфно постоянному полю, задающему условно периодическую обмотку. Отсюда следует, что показатель сближения траекторий поля на торе равен нулю и все траектории на торе — неблуждающие. [c.154]

Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве. Рассмотрим двупараметрическое семейство векторных полей на трехмерном многообразии, в котором происходит потеря устойчивости предельным циклом при прохождении пары мультипликаторов через мнимую ось в случае дополнительного вырожде- ия в нелинейных членах, описанного в п. 2.3, гл. 2. Если се- [c.155]

Ранний период исследования нелокальных бифуркаций векторных полей на плоскости и сфере подытожен в [9], [36]. Структурная устойчивость и бифуркации векторных полей на диумерных поверхностях, отличных от плоскости и сферы, исследованы сравнительно недавно [185], [199] — [201]. С гипотезой о глобальных бифуркациях в однопараметрических семействах векторных полей на сфере (п. 2.2, гл. 3) тесно связана работа [169]. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...