Уравнения на собственные значения матрицы

УРАВНЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ V(v) [c.225]

В одномерном же случае все достаточно просто. Уравнение на собственные значения матрицы Р (мы обозначили 1=11д, 1=/1/9) имеет вид [c.773]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

В обозначениях (9.40), (9.42) уравнение на собственные значения для трансфер-матрицы (9.39) записывается в виде [c.204]

Уравнение на собственные значения г матрицы Z имеет вид [c.275]

Здесь функция С х, х ) представляет собой так называемую функцию Грина для уравнения на собственные значения и" (х) == = — Ки с граничными условиями ц (0) = ц (Ь) = О ). Так как Ф является интегральной формой, квадратичной по (х), то вычисление (х) (х ) эквивалентно обращению этого интегрального ядра. (См. замечание к решению задачи 2. Хотя там рассмотрены лишь матрицы конечного порядка, однако по аналогии нетрудно провести обобщение на бесконечномерный случай.) Это в сущности те же функции Грина типа (8). Относительно функций Грина см., например, [7] ). [c.421]

Эта подстановка проведена с целью получить уравнение на собственные значения с действительной симметричной (т. е. эрмитовой) матрицей. Чтобы решить это уравнение, исследуем экстремум отношения J/D, где [c.154]

Задачи на собственные значения для матриц состоят в следующем. Пусть задана система линейных однородных уравнений [c.301]

Кроме частных задач на собственные значения для матриц встречаются и общие задачи на собственные значения. В этом случае задается матричное однородное уравнение [c.302]

Очевидно, что периодические решения системы уравнений (16.21) устойчивы, если устойчивы решения (f) линеаризованной системы (18.7) при достаточно большом к. В свою очередь, решения системы уравнений (18.7) на к-и шаге устойчивы, как это следует из уравнений (26.12) (26.15), если собственные значения матрицы и [к] имеют [c.156]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

Сравнивая задачу (7.33) с задачей (7.29), видим, что их отличие заключается в том, что при матрице Кг в уравнении (7.29) стоит множитель а в (7.33) — множитель /i. Из сопоставления выражений (7.28) для элементов матриц Ki и Кг видно, что для достаточно малого шага во времени элементы матрицы Кг пренебрежимо малы по сравнению с элементами матрицы Ki в силу того, что Ui j С и О < /г < 1. Отсюда следует, что при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к обобщенной задаче на собственные значения [c.225]

Коэффициенты матрицы однородной системы дифференциальных уравнений (1.157) в общем случае будут зависеть от координаты одномерной системы s, а также от параметра нагружения Л (для задач устойчивости) или частоты колебаний (для задач динамики). Система уравнений (1.157), дополненная однородными граничными условиями, определяет задачу на собственные значения требуется найти такие значения параметра Л или (О, при которых имеются нетривиальные рещения. Для задачи устойчивости практический интерес представляет только наименьшее по модулю собственное значение Акр = Л1 min, которому соответствует значение критической нагрузки. [c.43]

Разрешающая система однородных линейных алгебраических уравнений будет иметь вид (4.72). Матрицы К и S , формирующие обобщенную задачу на собственные значения, определяются согласно (4.73) при [c.207]

Итак, сформулирована линейная однородная краевая задача (4.5.5), (4.5.6) на собственные значения, минимальные из которых — критическая интенсивность давления. Упростим эту задачу, опустив в системе уравнений (4.5.5) подчеркнутые члены, которыми учитывается влияние докритических деформаций. В гл. 7 будет показано, что неучет влияния этих членов приводит к несущественной относительной погрешности в определении критических интенсивностей давления для длинной круговой жестко защемленной панели и ими допустимо пренебречь. Опустив в (4.5.5) подчеркнутые слагаемые, приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Относительно простое строение матрицы ее коэффициентов позволяет в явном виде указать четыре собственных значения этой матрицы [c.125]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Переходя теперь к резонатору, следует отметить, что наличие анизотропии приводит к появлению еще одного требования, накладываемого на моды резонатора состояние поляризации на любой выбранной отсчетной плоскости после полного прохода резонатора должно воспроизводиться (в качестве такой отсчетной плоскости обычно выбирают выходное зеркало). Подобно тому как требование воспроизведения распределения амплитуды и фазы поля [т. е. существование мод резонатора (см. п. 2.1)] приводило к решению задачи на нахождение собственных значений некоторого интегрального уравнения, воспроизведение поляризационного состояния излучения математически может описываться задачей нахождения собственных значений матрицы Джонса / резонатора для полного прохода. Последняя определяется как произведение соответствующих матриц элементов резонатора, записанное справа налево в порядке прохождения излучением (рис, 2.26). [c.90]

Замечание. Решение задачи равносильно отысканию собственных значений матрицы А С, где А ж С матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Действительно, представим (1) в виде Ах + Сх = О, где X = х ,х2 - Умножим это уравнение на обратную матрицу А . Получаем, что х + А Сх = 0. Решение ищем в форме гармонических колебаний, записываем систему однородных линейных уравнений для амплитуд колебаний, определитель которой [c.341]

В работе [15] получены некоторые дальнейшие результаты в задаче о наличии дополнительного интеграла уравнений (4.1) в предположении, что всЬ собственные значения матрицы А различны. Как в п. 1, авторы работы [15] вводят малый параметр е, заменяя р на ер, и ставят задачу о наличии дополнительного интеграла в виде степенного ряда [c.283]

Рассмотрим вектор-функцию щ Ь) = у го ь)). Она голоморфна на римановой поверхности X и удовлетворяет уравнению в вариациях (5.3). Следовательно, Тщ Ь) = щ Ь), где Т — любая матрица из группы монодромии Таким образом, если v o) ф О, то хотя бы одно собственное значение матрицы Т равно единице. [c.360]

Оператор K mk) можно найти, произведя в формуле (7.92) замену д/дх- imk. Имея уравнение (7.110), мы можем не решать задачу на собственные значения для каждого волнового вектора. Достаточно лишь найти обратную матрицу третьего порядка, которая стоит в формуле (7.110). Собственные векторы и собственные значения должны вычисляться только при m == 1, а сумму (7.108) нужно вычислять по устойчивым модам. Введем, наконец, обозначения [c.192]

Анализ чувствительности рассмотренными методами сводится к интегрированию систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. При использовании вариационного метода анализа чувствительности необходимо при интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.10) хранить в памяти текущие значения вектора переменных состояния. В этом случае естественным является выбор численного метода интегрирования, который позволил бы при заданной точности за наименьшее количество шагов находить решение. Такому условию удовлетворяют неявные методы интегрирования, описанные в главе 4. Однако если разброс собственных значений матрицы Якоби дР/д невелик, то эти методы, как указывалось ранее, становятся неэкономичными, так как на каждом шаге интегрирования необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае явные методы позволяют находить решение при значительно меньших вычислительных затратах на каждом шаге. [c.143]

Большое значение с точки зрения эффективности поиска максимума функции имеет наличие гребней на ее гиперповерхности (или оврагов при поиске минимума). Гребень на поверхности функции (6.4) совпадает с направлением Ь—Ь, его отличительные признаки — в окрестностях гребня имеются направления, вдоль которых производная функции резко изменяется с переменой знака в точке гребня (направление с—с ), и направления, вдоль которых производная меняется слабо (направление Ь—Ь ). Наличие гребней или оврагов связано с плохой обусловленностью матрицы Гессе чем больше отношение максимального по модулю собственного значения матрицы Ю к модулю минимального собственного значения, тем резче выражены гребни (овраги), тем существеннее трудности в организации эффективного поиска экстремума. Характер трудностей аналогичен трудностям, возникающим при численном интегрировании дифференциальных уравнений с плохо обусловленной матрицей Якоби. [c.155]

Это матричное уравнение задачи на собственные значения. Для получения ненулевого решения р определитель матрицы Я,и 8 нужно приравнять нулю [c.233]

Подчеркнем, что поскольку здесь речь идет о малых возмущениях на фоне периодического движения, то они описываются линейным уравнением с периодическими коэффициентами. Для фундаментальной матрицы решений и 1) этого уравнения справедлива теорема Флоке (см. гл. 11) и 1) = Ф( )ехр(Л ), где Ф(i) — периодическая с периодом Т матрица. Собственные значения матрицы Л называются ха- [c.318]

Таким образом, уравнение (4.11) имеет стандартную форму задачи на собственные значения с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов. Очевидно, что это преобразованное уравнение имеет те же собственные значения Я , что и исходное уравнение (4.9). Однако собственные векторы Хщ и Хм не являются тождественными. Найдя выражения собственных векторов Хцг в обобщенных координатах, можно затем преобразовать их, выразив через исходные координаты с помощью соотношения (4.126). [c.253]

При численной реализации процедур заполнения матрицы фундаментальных решений в ряде случаев (например, для моментных оболочечных элементов или балочных на упругом основании) участки выбирают достаточно короткими, если не применяют приемы ортогон а лизацни [7, 15, 21]. Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных уравнений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке интегрирования, если не применяются специальные приемы, векторы решений в ш при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или будут вычисляться недостаточно точно. По этой причине метод начальных параметров, который часто используется при расчете стержней, для моментных оболочек применяется редко. Длину участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные значения матрицы разрешающей системы А. [c.33]

Матричные элементы СУ ККРЗ зависят от энергии. Поэтому для определения Ei мы не можем использовать аппарат решения задач на собственные значения матриц (матрица в данном случае зависит от искомых собственных значений). Уравнение (5.3) решается следующим образом. [c.192]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Каждая часть уравнения (4.78) имеет вид элемента матрицы, являющейся произведением двух матриц левая часть — произведением матрицы А на матрицу X с элементами Xjk, а правая — произведением матрицы X на матрицу с элементами Sjkhi. Последняя матрица является диагональной и ее элементы суть собственные значения матрицы А. Обозначив эту матрицу через I, будем иметь [c.138]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Таким образом, решения задач (7.32) и (7.29) должны давать близкие результаты. С точки зрения практических расчетов формулировка задачи (7.32) прош е, так как не требуется вычислять новые матрицы Ki и Кг, а используются только касательные матрицы жесткости К и К, которые определяются при пошаговой процедуре решения задачи до решения задачи (7.32) на собственные значения. Кроме того, формулировать задачу (7.32) можно как с TL-, так и с UL-, ULJ-формулировками уравнений. [c.225]

V выражены через восьмичленные полиномы с линейными членами относительно х и кубическими членами относительно у, а нормальное перемещение представляет собой двенадцатичленный полином с кубическими относительно х и у членами. Суммарно это дает модель с 28 степенями свободы и семью координатами в каждом узле 6w/8x, bw/by, w, dv/Ьу, V, Ьи/Ьу, и (список обозначений дан в приложении). Таким образом, получается элемент с матрицами жесткости и масс порядка 28X28. Соединяя соответствующим образом разные элементы оболочки, получаем стандартную задачу на собственные значения, которая выражается следующим уравнением, описывающим динамическое поведение оболочки . [c.259]

В линейной алгебре система (17.16) связана с задачей на собственные значения. Корни А называют собственными значениями матрицы к набор чисел И пМ, удовлетворяюшдй уравнению [c.144]

В пределах шага интегрирования /г любую нелинейную систему ОДУ можно считать квазилинейной, следовательно, результаты, полученные для (2.25), можно распространить на системы ОДУ общего вида. Задача упрощается, если воспользоваться преобразованием подобия А=Т (1 а (Яг)Т , где —некоторая преобразующая матрица diag(Я,i) —диагональная матрица с элементами на диагонали Я, — собственные значения матрицы А 1 = 1, 2,. .., п. Произведя замену переменных 11 = ТУ, систему (2.25) можно преобразовать в систему несвязных линейных уравнений вида [c.42]

Чтобы обнаружить в общем случае сжимаемой среды те свойства волн, которые наблюдались в несжимаемом материале, будем считать, что и в сжимаемой среде при = О в рассматриваемой области в некоторых состояниях возможно совпадение двух собственных значений, одно из которых соответствует вращательной волне а = а°, другое - той из плоскополяризованных волн, которая при малых ир (/3=1,2) переходит в поперечную волну а = а°. Для определенности будем считать, что третье собственное значение аз больще, чем оба других. В силу того, что собственные значения матрицы Fj , соответствующие вращательной и плоскополяризованным волнам, определяются из независимых уравнений, требование их совпадения приводит, в отличие от предыдущего случая, к одному уравнению, представляющему кривую на плоскости щи или поверхность вращения в пространстве щ. Ее уравнение имеет вид [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...