Спектр непрерывный собственных значений

Свойства оператора К и функции V (с) определяют соответствующие свойства оператора Ь. Для последнего, как для самосопряженного оператора в всегда возможно спектральное разложение, но спектр может быть частично дискретным, частично непрерывным. Точкам дискретного спектра (собственным значениям) соответствуют собственные функции, принадлежащие точкам же непрерывного спектра (обобщенным собственным значениям) не соответствуют никакие интегрируемые с квадратом собственные функции, хотя можно найти обобщенные собственные функции, не принадлежащие (вообще говоря, это не обычные функции). [c.88]

Теорема П16.2. Пусть (М, //, (fit) — классическая эргодическая система, Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен Ьх- [c.145]

При обсуждении принципа цикличности в начале 228 было выяснено, что изменение того или иного параметра волны на протяжении цикла означает периодическую модуляцию излучения, выходящего из резонатора. Пользуясь представлением о типах колебаний, этот факт можно интерпретировать следующим образом в резонаторе возбуждается не один тип колебаний, а несколько (два, три и т. д.) с различными собственными частотами, и модуляция поля в целом происходит с периодами, определяемыми разностями собственных частот возбужденных типов колебаний. Периодичность модуляции полного поля означает, что его спектр содержит дискретный набор частот. Поэтому собственные частоты резонаторов не могут принимать непрерывный ряд значений и должны быть дискретны, в чем мы убедились на примерах резонаторов с плоскими и сферическими зеркалами. Интересный и практически важный случай одновременного возбуждения многих типов колебаний будет рассмотрен в 230. [c.810]

Чем отличаются условия нормировки для дискретного и непрерывного спектров собственных значений [c.107]

Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению Х, обозначим причем предполагается, что число /С изменяется непрерывно. [c.108]

Условие ортогональности (17.13) собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра [c.108]

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора А величина (А ) в постулате 3 дает не вероятность, а плотность вероятности, поскольку собственные векторы I > в этом случае нормированы не на 1, а на 8-функцию. Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение А равна, конечно, единице [c.152]

Для непрерывного спектра собственных значений Е сумма в (24.39) заменяется интегралом. Состояние, описываемое зависящими от времени векторами [c.157]

Воспользовавшись формулой (25.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если L имеет макроскопические размеры, то дискретные уровни Е находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно упрощаем вычисления и интерпретацию полученных результатов. Не следует забывать, что все же эти результаты приближенные и спектр свободного движения в неограниченной области является непрерывным. [c.163]

Таким образом, микрочастица, заключенная в потенциальную яму, обладает дискретным рядом собственных значений энергии Еп целое число п, определяющее эти значения Е, называется квантовым числом. На рис. 3.4, в показана схема расположения энергетических уровней спектра микрочастицы. Как следует из (3.45), дискретный характер спектра микрочастицы будет проявляться тем сильнее, чем меньше область пространства L, в которой локализована эта частица. При L, значительно превосходящей атомные размеры, расстояние между энергетическими уровнями оказывается настолько незначительным, что во многих случаях можно считать спектр энергий непрерывным. [c.105]

Если коэфициенты диференциального уравнения имеют особую точку на границе интервала (а, 6) или в случае, когда краевая задача формулируется для бесконечного интервала, может существовать непрерывное распределение собственных значений (линейный спектр), когда любое значение параметра X, в некотором непрерывном интервале его изменения, является собственным значением рассматриваемой краевой задачи. [c.240]

Параметр а является собственным значением и функция / (г) — собственной функцией оператора М. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор М может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а (г) (см. П. 2.2). [c.25]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

Для расчета энергетических спектров электронов обычно используется одноэлектронное приближение, т. е. предполагается, что каждый электрон движется в силовом поле ионов и всех электронов (кроме рассматриваемого), а индивидуальные парные взаимодействия не учитываются даже между ближайшими соседями. Эти взаимодействия включены в среднее поле. В таком случае решением уравнения Шредингера в кристалле с периодическим потенциалом кристаллической решетки являются функции Блоха, а собственные значения энергии электронов образуют энергетические полосы (рис. 1.4). Число уровней в каждой полосе определяется числом атомов в решетке, вследствие чего образуются практически непрерывные энергетические зоны. Согласно принципу Паули на каждом уровне зоны находится только два электрона (с противоположным значением спина), при этом при температуре 7=0 К электроны в зонах занимают состояния с минимальной энергией. [c.13]

Этот спектр совершенно отличен от прежнего. Вместо того чтобы полу шть по меньшей мере пять дискретных собственных значений (как в гидродинамическом случае), мы имеем теперь непрерывный спектр для всех значений к. Кроме того, собственные функции представляют собой сингулярные функции Дирака. [c.101]

ПЗ.1.3. Операторы и некоторые их свойства. Пусть физическая величина / характеризует некоторое состояние квантовой системы. Принимаемые / значения (непрерывные или дискретные) называются собственными значениями, которые образуют спектр собственных значений. [c.461]

Легко показать, что оператор умножения на V ( ) является самосопряженным с чисто непрерывным спектром, состоящим как раз из тех значений, которые принимает функция V с) (в этом случае обобщенным собственным значениям X соответствуют обобщенные собственные функции б (X — V с))). Для степенных потенциалов при /г > 5 спектр простирается от vo до бесконечности, а при /г < 5 заполняет отрезок от vo до нуля при п = Ъ спектр [c.88]

Если I = К — V и К вполне непрерывен, то, как доказал Николаенко [28], непрерывный спектр для обобщенной задачи на собственные значения (8.10) дается значениями определяе- [c.230]

Использование обобщенных аналитических функций, кратко описанное в разд. 10, приводит к интересному явному представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой информации о результатах, которые следует ждать из эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7 при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собственные значения могут быть получены посредством аналитического продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр (так называемого дисперсионного соотношения ). Для модели, рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается формулой (10.9), или формулой [c.367]

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Действительно, пусть 1т ц 0. Тогда ц не является собственным значением оператора 4о- Так кака = а (см. 33), то из 5° вытекает, что существует оператор ( о — l/) имеющий порядок —1 и, значит, вполне непрерывный в каждом Я,( ) (см. конец 32). Отсюда и следует, что л/о — оператор с дискретным спектром [c.327]

Уравнение Гельмгольца — уравнение на собственные значения. Для свободного пространства собственные значения имеют непрерывный спектр. Для направляющих структур, например волноводов, спектр собственных значений дискретный. Подстав,ляя (3.262) в (3.261), получаем выражения для бегущих волн [c.194]

Если уширение резонансов, обусловленное потерями резонатора, становится много больше межмодового интервала, то спектр собственных значений мод такого резонатора превращается в почти непрерывный. Такого же эффекта можно добиться, если одно из зеркал резонатора заменить рассеивающей поверхностью. Аналогично, если в активную среду поместить достаточное количество рассеивающих частиц, то возникает обратная связь и система может действовать как лазер. Вообще говоря, резонаторы, имеющие большое число вырожденных мод, могут использоваться для создания нерезонансной обратной связи [12]. Важное преимущество этих резонаторов перед резонаторами типа Фабри — Перо заключается в том, что их частота генерации не зависит от геометрических размеров лазера. Это позволяет использовать лазеры с такими резонаторами в качестве стандартов частоты, которые, однако, не имеют преимуществ, связанных с временной и пространственной когерентностью обычных лазеров. [c.487]

Следующий вопрос заключается в том, существуют ли в действительности наряду с непрерывным спектром дискретные собственные значения (кроме ь = 0). Для случая твердых сфер положительный ответ на этот вопрос дали Кущер и Уильямс [23], которые пришли к такому выводу при помощи метода Ле-нера — Винга [24], использованного ранее в теории переноса нейтронов. Метод основан на введении искусственного пара- [c.210]

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор А является линейным дифференциальным оператором, то, как доказывается в теории линейных дифференциальных уравнений, его спектр может быть как дискретным, т. е. состоящим из ряда чисел, так и непрерывным, т.е. состоящим из непрерывного множества чисел, заключенных в некогором интервале значений. Может случиться, что часть спектра будет дискретной, часть-непрерывной. [c.106]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Заметим, что найденные здесь собственные значения получаются при сделанном нами предположении о ведущей, роли столкновений. Рассуждения, проведенные в конце разд. 13.3, в равной мере применимы и здесь. Если бы решали задачу на собственные значения для уравнения Власова в отсутствие столкновений, то у нас получился бы совершенно другой спектр. Из-за недостатка места здесь не можем вникать в эту задачу. Ее решение хорошо известно полное рассмотрение этой задачи читатель может найти в классических работах Ван-Кампена и Кейса. Укажем лишь на то, что в этом случае собственные значения, так же как и в (13.3.36), обладают непрерывным спектром, а собственные функции также являются обобщенными функциями (хотя и имеют более сложный вид). Тем не менее между бесстолкновительной плазмой, описываемой уравнением Власова, и системой свободных частиц существует важное различие — в первой из них могут поддерживаться коллективные плазменные колебания. Причиной столь высокой когерентности системы является кулоновское взаимодействие. [c.119]

Изложенная выше теория собственных функций относилась к максвелловским молекулам. Для немаксвелловских молекул с конечным радиусом взаимодействия, как уже отмечалось в начале параграфа, полный оператор /,(ф) имеет непрерывный спектр собственных значений. Однако можно преобразовать этот оператор так, что спектр нового оператора оказывается дискретным. [c.209]

Так как вектор к фиксирован (к = 0), то произвольно задавать СО нельзя действительно, со должно быть таким, чтобы точка со принадлежала спектру оператора Ь. Известно (гл. 3), что Ь, вообш е говоря, имеет и дискретный, и непрерывный спектры замечательным исключением являются максвелловские молекулы. Если собственные функции оператора Ь обозначить через gi, обобш енные собственные функции — через а соответствующие собственные значения — через —и —X (Х , X > 0), то общее решение можно записать в виде [c.166]

В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси при этом можно лишь сказать, что если деление опнс7з1вается вполне непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество. [c.226]

Нри наличии дифракционных потерь дискретный спектр оператора Ь должен быть дополнен системой собственных функций, собственные значения которых образуют непрерывный спектр. В литературе уделено большое впимапие проблемам, связанным с разложением по такой расширенной системе собственных функций. В частности, можно порекомендовать книгу [37]. Однако в нашем случае эти обстоятельства не имеют особого значения. Известно [38], что путем сколь угодно малого изменения вида оператора Ь можно добиться того, что новый оператор уже будет обладать полным набором собственных функций. Так как любой физический процесс мы всегда описываем приближенно (например, используем параксиальное приближение и проч.), то [c.128]

До сих пор мы говорили лишь о нейтральных и неустойчивых возмущениях в пограничном слое. Естественно думать, что все эти возмущения относятся к низшей моде собственных функций соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда, имеющего, кроме того, еще последовательность быстро затухающих высших мод, подобных изученными Гроне (1954) и другими авторами (ср. Грош и Салвен (1978)) для плоских течений Куэтта и Пуазейля. Для пограничного слоя эти высшие моды рассматривались, в частности, Корнером, Хьюстоном и Россом (1976), но в случае течения в пограничном слое (и других плоскопараллельных течений в неограниченном слое жидкости) и они не исчерпывают всего спектра собственных функций. Дело в том, что в таких течениях обычно имеется еще и непрерывный спектр собственных значений, которому также отвечают только затухающие возмущения (см. по этому поводу работы Гроша и Салвена (1978) и Салвена и Гроша [c.116]

При этом неограниченность рассматриваемого течения позволяет даже слегка упростить расчеты по сравнению со случаем течения между твердыми стенками, так как здесь достаточно рассматривать только решения, затухающие на бесконечности (но зато появляется еще и непрерывный спектр собственных значений, который для данного течения исследовался Грошем и Саль-веном (1978)). [c.119]

Так как операторы координаты и импульса обладают непрерывным спектром, то повёрнутый квадратурный оператор также имеет непрерывный спектр. Кроме того, поскольку х и р эрмитовы, оператор Х также эрмитов. Это гарантирует, что собственные значения Х действительны, и повёрнутый квадратурный оператор является наблюдаемой. В гл.13 будет показано, что в случае осциллятора электромагнитного поля гомодинный детектор как раз измеряет эту величину. Для каждого угла существует непрерывное семейство собственных состояний Х ) с собственными значениями Х . Вдобавок, эти состоя- [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...