Собственные значения (частоты)

Уравнения (57,2—4) с граничными условиями (57,5) определяют спектр собственных частот со. При 52 <С Якр их мнимые части 7 = Im(o < О и возмущения затухают. Значение йкр определяется моментом, когда (ио мере увеличения 5) впервые появляется собственное значение частоты с y > 0 при 5 = й,ср значение v проходит через нуль. [c.312]

В отличие от поведения определителей при нахождении собственных значений (частот) для консервативных задач определители [например, (4.100)], из которых находятся действительные и мнимые части комплексных собственных значений для неконсервативных задач, знака не меняют, что осложняет численное определение собственных значений. На рис. 4.12 показан качественный характер изменения поверхностей Н(а, р) при непрерывном изменении аир. Точки касания поверхностей плоскости (р, а) есть комплексные собственные значения [c.101]

Точками I, 2, 3, 4 обозначены величины /гк1, соответствующие первым четырем собственным значениям частоты. Стрелками показаны изменения собственных частот, обусловленные влиянием массы. [c.332]

Вместе с тем пара комплексно-сопряженных корней знаменателя в (3) может быть выражена через параметры собственных значений частоты и демпфирования [c.134]

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений (7) дает оценку вектора собственных значений частоты и демпфирования с. [c.134]

Уравнения для определения собственных значений, собственные значения, частоты и соответствующие им формы свободных колебаний для прямых однородных стержней приведены в табл. 6.2.4. [c.335]

Ассоциативно-флуктуационный механизм. Расширение полосы валентного колебания Га может быть обусловлено наложением элементарных, однородно уширенных спектров различных типов ассоциатов, каждый из которых характеризуется собственными значениями частоты и коэффициента поглощения. Это уширение носит неоднородный характер. Ширина и форма полосы определяются не только параметрами элементарных спектров, но и набором комплексов, а также их функцией распределения. Многие жидкие системы (спирты, фенолы) действительно представляют смесь различных комплексов (циклические и открытые димеры, длинные цепи различной кратности и др.) ). Комплексы карбоновых кислот, напротив, имеют однотипную димерную структуру, поэтому ассоциативный механизм расширения полос в них не проявляется. [c.158]

Стационарные колебания упругой среды описываются эллиптической системой дифференциальных уравнений. Они могут быть приведены к интегральным уравнениям (В. Д. Купрадзе, 1953), в известной степени родственным интегральным уравнениям теории потенциала, но более сложным (из-за наличия собственных значений — частот собственных колебаний ограниченных объемов). В случае внешних задач должны быть поставлены условия излучения в бесконечности, которые обеспечивают единственность решения (А. Г. Свешников, 1953). [c.294]

Асимптотика интегралов типа (30.8) определяется особенностями подынтегрального выражения. Если бы однородное уравнение, соответствующее (30.1), имело собственные функции, то одно и то же решение удовлетворяло бы граничным условиям как при х так и при х- В результате при собственных значениях частоты функциональный определитель И 4 обращался бы в нуль, а функция Грина имела бы полюс. Но однородное уравнение, соответствующее (30.1), не имеет собственных функций с 1т со О (теорема Релея). Поскольку, помимо того, полное уравнение четвертого порядка регулярно и, следовательно, его решения (а не их асимптотические представления ) также, регулярны, функций Грина не должна иметь особенностей. Отсюда следует, что все возмущения нри должны затухать, т. е. среду следует считать асимптотически устойчивой. Однако это не означает, что амплитуда начальных возмущений будет монотонно стремиться к нулю. Как мы увидим в следующем параграфе, начальные возмущения могут в течение некоторого-времени нарастать, и, вообще говоря, не исключено, что за это время их амплитуда достигнет значительной величины. [c.95]

Это уравнение имеет следующих три корня, соответствующих трем значениям собственных круговых частот колебаний рассматриваемой упругой системы [c.563]

Функция ф (j ), устанавливающая закон распределения максимальных амплитудных отклонений точек оси стержня, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное множество, и каждой из них соответствует определенное значение частоты (И, которая называется собственной частотой. Эти частоты и соответствующие им собственные формы определяют с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи. [c.573]

На рис XI.13 показан график значений динамического коэффициента (по абсолютному значению). Из этого графика видно, что при значениях частоты вынужденных колебаний П, приближающихся к частоте собственных колебаний со, динамический коэффициент неограниченно возрастает. Например, для случая, когда И отличается от ы на 30 %, /( 2. [c.303]

Если атомный номер металла X растет, то увеличиваются энергия связи и соответственно к, но вместе с тем увеличивается и масса, что приводит к снижению значений частот собственных колебаний. [c.84]

Таким образом, наличие гироскопических сил приводит к удвоению числа собственных частот. С увеличением угловой скорости шпинделя значения частот и все больше и больше отличаются от величины р( [c.613]

Следствие 3.10.1. При действии сил вязкого трения совпадение частоты н возмущающей силы с частотой и/ собственных колебаний осциллятора не приводит к неограниченному увеличению амплитуды, и не существует значения частоты и возмущающей силы, при котором такой эффект мог бы возникнуть. [c.236]

Теорема 8.8.2. (Сильвестр). Все корни уравнения частот вещественны и совпадают с собственными значениями оператора С. [c.574]

В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае это — алгебраическое уравнение степени п. Как видно из рассмотренных примеров, при малых п, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть [c.582]

Отбрасывая отрицательные значения частот, как не дающие новых решений и не имеющих физического значения, получаем две частоты. Меньшую из частот обозначают 1, большую — п. Частоты 1 и а являются частотами собственных колебаний системы. Они не зависят от начальных условий и полностью определяются значениями коэффициентов инерции и жесткости. [c.436]

Кинетическая энергия консервативной механической системы Т = 60 , где q — обобщенная координата, рад. При каком значении коэффициента угловой жесткости спиральной пружины собственная угловая частота колебаний системы будет равна 10 рад/с (1,2 X X 10 ) [c.341]

Если границей движения (по оси у) является твердая стенка, то на ней ф = 0 (как следствие условия Vy = 0), если же ширина потока не ограничена (с одной или с обоих сторон), то такое же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток однороден. Будем рассматривать k как заданную вещественную величину частота же ю определяется тогда по собственным значениям граничной задачи для уравнения (41,2). [c.241]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Система уравнений (4.1) — (4.4) не содержит сил сопротивления, т. е. описывает малые колебания консервативной системы. В этом случае собственные значения краевой задачи Я (частоты) есть действительные числа. После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов Ыо, 0о> АОо и АМо [c.75]

Изложенный в данном параграфе метод позволяет весьма эффективно определять приближенные значения частот сложных задач, когда стержень имеет промежуточные опоры или сосредоточенные массы. В случае неконсервативных задач метод дает возможность определить комплексные собственные значения, что используется в дальнейшем при исследовании устойчивости малых колебаний стержней. [c.117]

На рис. 9.4,а приведены графики изменения действительной a и мнимой p частей двух комплексных собственных чисел в зависимости от размерной скорости W при 6i=10. Из графика следует, что при значении скорости потока, соответствующей точке D, действительная часть второго комплексного собственного значения меняет знак, т. е. колебания трубопровода становятся неустойчивыми. Соответствующее значение критической скорости обозначено Второе значение критической скорости соответствует точке А (auo ) где мнимая часть (частота) первого комплексного числа обращается в нуль. При безразмерной жесткости опоры 6i=10 первая критическая скорость W , при которой наступает динамическая неустойчивость, меньше второй критической скорости w , при которой первая частота обращается в нуль. Следует отметить, что обращение мнимой части комплексного корня в нуль не всегда связано с потерей статической устойчивости по данной форме. [c.268]

Оператор импульса. Для нахождения оператора импульса вспомним, что, согласно гипотезе де Бройля, свободная частица, имеющая импульс р , представляется плоской волной с волновым числом к . = pjh и частотой 03 = //). Поэтому следует потребовать, чтобы уравнение на собственные значения для импульса [c.111]

Можно показать [26], что ядро интегрируемо с квадратом и поэтому, применяя теорию симметричных интегральных уравнений Фредгольма, приходим к доказательству существования (когда область конечна) дискретного спектра собственных значений (иначе говоря, частот собственных колебаний), которые являются вещественными и, более того, положительными числами ). [c.571]

Теперь для исследования краевых задач строятся сингулярные интегральные уравнения на основе потенциалов простого и двойного слоев (исходя из матрицы (1.33)). Распространение альтернатив Фредгольма на эти уравнения происходит автоматически, поскольку сами уравнения отличаются от уравнений статики наличием регулярных слагаемых. Сложность возникает из-за того, что при определенных значениях частоты собственных колебаний решения однородных задач окажутся не единственными. [c.571]

Точками /, 2, 2, 4 обозначены оелнчнны соответствующие первым четырем собственным значениям частоты. Спрел-квми показаны изменении собственных частот, обусловленные влиянием пружины. [c.331]

Формально допуская возможность непрерывного изменеиия на полуоткрытом интервал —п<та л параметра та, входящего в оператор уравнения (1.10), можно проследить за изменещ-1ем уиожества его решений и, в частности, за изменением собственных значений (частот) оператора. Это открывает возможность установить Nr зависимостей [c.11]

Реальная часть этих значений близка к решениям (2.30), определяющим точки полной прозрачности решетки из металлических брусьев с узкими щ,елями и значением относительной диэлектрической проницаемости заполнения волноводных каналов е = 1. Мнимая часть (2.45) — отрицательная и по абсолютной величине совпадает с половиной ширины полосы пропускания по частоте в окрестности точек полного прохождения. Квази-собственные волны, отвечающие собственным значениям частот, экспоненциально убывают во времени тем медленнее, чем меньше 1тхл . Добротность колебаний, если определить ее так же, как и добротность колебаний в открытом резонаторе, будет [c.112]

Резонатор — колебательная система, в которой возможно накопление энергии колебаний. Если на резонатор действует внешняя периодическая сила, то в нем возникают вынужденные колебания, амплитуда которых резко возрастает при приближении частоты внешнего воздействия к определенным (собственным) значениям частоты, зависящи.м от свойств резонатора. [c.187]

Рассмотрим простейший открытый резонатор, образованный двумя плоскими прямоугольными зеркалами с размером — й2= а и базой L > а. Воспользуемся известными результатами существования стоячей электромаг-нитной волны в полом резонаторе с указанными параметрами открытого резонатора. Согласно решению уравнений Максвелла, собственные значения частот резонатора равны [c.42]

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил Г. Рекомендуется начальное значение Г выбирать из интервала (1/100 - 1/1000)Гть, где Гщь - минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 - 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о прохождении критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках ГоЛгап и Разса1 примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций [c.122]

Схема опирания стержня на упругом основании Уравнение для определения собственных значений Частоты собственных колебаний о) mlЕ1, х=0 Критические силы потери устойчивости /Е1, со = 0 [c.150]

В литератз ре по теории колебаний и математической физике принято называть значения собственными значениями частоты. [Прим. ред.) [c.104]

Ура1внения (135.55) (вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга. Эти уравнения совпадают с уравнением (133.71) вынужденного колебания точки. Если частота возмущающей силы р совпадает с частотой одного из собственных колебаний системы k или /гг, то в решение множителем войдет время /. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при возрастании t может быть сколь угодно большой (резонанс). Значения частот р возмущающей силы, ра(вной одной из частот собственных колебаний системы ( i,. 2), называют критическими частотами возмущающей силы. [c.218]

При 8 = 0 уравиепие описывает колебания с собствеппой частотой со. Со1 ласпо предыдущему пункту, при е О в плоскости параметров 0, 6 могут возникать области неустойчивости, причем для малых значений е области неустойчивости исходят из тех точек оси 6 = 0, которые отвечают целым или полуцелым значениям частоты собственных колебаний [c.406]

Общая погрешность при градуировке спектрометра Ат складывается из собственной погрешности прибора Атпр, неточности значений частот эталонных полос Атпол и погрешности, вносимой в процессе построения градуировочных кривых или таблиц Атгр [c.151]

Ei)/fi, где El и Ej> - собственные значения энергии квантовых состояний атома. Если выполнение этого условия оказывается дослаточным для того, чтобы можно было пренебречь взаимодействием излучения с другими квантовыми состояниями атома, то атом рассматривается как двухуровнев1 1Й. Для упрощения расчетов пренебрегают также конечностью времени когерент1юсти, считая излучение монохроматичным с частотой (О, поскольку учет конечности ширины линии излучения при выполнении условий, обеспечивающих возможность рассматривать атом как двухуровневый, тривиален. По тем же соображениям волну можно считать линейно поляризованной. [c.257]

Исследование неравенства (11.1.36) проведем графически. Для этого построим правую часть выражения (11.1.36) как функцию частоты /(ы) (рис. 11.3). На том же рисунке проведем прямую, соответствующую величине 5. На оси абсцисс отмечены те дискретные значения частоты со ( =1, 2,. ..), которые соответствуют собственным частотам системы, удовлетворяющим уравнению (11.1.23). Как мы видим, с ростом номера собственной частоты превышение инкремента над декрементом уменьшается. Начиная с некоторой частоты (сод), система не самовозбуждается. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...