Оценка собственных значений и собственных функций

Оценка собственных значений и собственных функций [c.260]

В случае периодических быстро осциллирующих коэффициентов возможно получить оценки отклонения собственных значений и собственных функций задач (2.1), (2.2). Такие оценки в более общем случае перфорированных областей будут получены в разд. 2.3. [c.225]

Таким образом, мы установили выполнение условий С1—С4 1 и можем применить теоремы 1.9, 1.12 для оценки близости соб--ственных значений и собственных функций задач (4.1), (4.2) точно так же, как это было сделано в 2 для краевых задач теории упругости. [c.261]

В этот краткий обзор теории необходимо включить также задачи на собственные значения и задачи с начальными условиями. Метод конечных элементов успешно применяется непосредственно к обеим задачам. Для самосопряженных задач на собственные значения классический прием — вычисление оценок сверху при минимизации отношения Рэлея на подпространстве он приводит к дискретной задаче на собственные значения КО = ХМЯ, где К и М — уже встречавшиеся матрицы жесткости и массы, В гл. 6 излагается эта дискретная формулировка и оцениваются ошибки в собственных векторах и функциях, зависящие от теории приближений они возникают из-за замены [c.138]

Если = ф , то уравнение (13.2.1) выполняется при и = и формула (13.3.1) либо (13.3.2) даст точное значение квадрата собственной частоты с номером к. Но если щ — произвольные функции, то уравнение (13.2.1) не вьшолняется, формула (13.3.2) определяет некоторое число которое, вообще говоря, не представляет собою квадрат частоты каких-либо свободных колебаний системы. Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части (13.3.1) или (13.3.2), позволяет получить оценку по крайней мере для наименьшей из собственных частот. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что [c.437]

Распределение (М), минимизирующее функционал J (z), является для данной задачи собственной функцией, соответствующей собственному значению fii. Любое другое непрерывное распределение, не совпадающее с (М), в том числе и неизвестное распределение Z (М) = Т (М) — Т (М), но удовлетворяющее условию z (N) = О при N 5i, приводит к неравенству J (z) 2= M-i- Отсюда следует формула для оценки средней квадратической погрешности приближенного решения Т М) [c.29]

При использовании точных собственных функций получается точное значение X, но эти выражения могут быть использованы и для нахождения оценок X, если собственные решения известны лишь приближенно. [c.353]

Перейдем к оценке структуры диссипативной и нелинейной поправок /1, /2. Как уже отмечалось, согласно второму неравенству в (45.2), флуктуации среды х) являются мелкомасштабными по сравнению с <у>. Поэтому в разложении (45.8) должны присутствовать в основном собственные функции Ч ( " х) с такими значениями Е, при которых они быстро осциллируют, т. е. [c.162]

Поскольку предполагается, что след 5р КЮ конечен, то выражение в правой части (9.11) также конечно. Его можно аналитически продолжить в комплексную -плоскость, до положительных значений Е на верхнем берегу разреза функции с. Таким образом, (9.11) остается справедливым и в области положительных энергий. Данное правило сумм иногда оказывается полезным для оценки величины некоторых собственных значений а ( ). [c.229]

Большая часть формул книги получена на основе эвристических соображений, другими словами, выведена из дополнительных по отношению к математической постановке задачи предположений. Эти предположения обычно просты и наглядны. К ним, например, относится высказанный В. А. Фоком принцип локальности в теории высокочастотной дифракции, требование существования у-решения фазы уходящей волны и ряд других. Все математические построения, ведущие от этих исходных предположений к конечным результатам, мы старались при этом выполнить так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям математической строгости. Ряд результатов, полученных на основе эвристических соображений, может быть строго обоснован, но из-за громоздких оценок эти доказательства в книге не приводятся. Исключением является теорема, устанавливающая асимптотический характер разложений для собственных значений в задаче о собственных функциях, сосредоточенных в окрестности границы области. Доказательство этой короткой и изящной теоремы дано в главе 6., [c.19]

Наивно полагать, что упомянутое выше движение системы будет описываться как движение частиц и т.п., как это делается в механике. Микроскопическое состояние статистической системы мы определили в т. 2, гл. 1, 2 как смешанное состояние, в структуру которого входят все возможные возбужденные состояния системы (т.е. состояния, описываемые всем набором собственных функций оператора Гамильтона, Й фп = Еп фп), каждое из которых входит в структуру смешанного состояния с весом, для равновесных систем определяемым соответствующим распределением Гиббса. Оставаясь в рамках равновесной теории, мы уже не можем претендовать на описание динамики флуктуационных процессов располагая структурой гиббсовского смешанного состояния, мы можем оценить лишь амплитудный разброс параметров системы около их средних значений. Так как для проведения этих оценок нам придется пользоваться аппаратом теории вероятностей, напомним элементарные формулы и обозначения из этой области математики. [c.20]

Для построения пробной функции h, которая в состоянии дать оценку величины i/, (над Uo - 0), надо начинать с тех степеней т, которые соответствуют ненулевому решению для i>, т. е. m = 2, 3,... (m = О и m = 1 соответствуют функции h = А + Bij , собственное значение которой I/O = 0). Итак, полагая в низшем приближении (только m = 2) [c.425]

Для любой собственной функции и задачи (5.37), такой, что 111/Х6/ а.(0) = 1, отвечающей собственному значению Ло кратности г (Ло=Ло" =. .. =Ло ), существует последовательность функций йЦх), являющихся линейными комбинациями собственных функций задачи (5.1), отвечающих собственным значениям такая, что для У ( )=ы (е ) имеет место оценка (5.39). [c.272]

Так как эта оценка не зависит от Л, то кусочно линейные функции-крышки линейно независимы равномерно по Л- -О. Нулевая нижняя граница для Vin(/ ) возникла из-за наличия у Кс нулевого собственного значения постоянная функция удовлетворяет уравнению — и" = 0 на всей прямой и соответствует дискретному собственному вектору (...111...), которого нет у конечной матрицы К только из-за главного краевого условия. Поэтому в конечном счете для достижения строгих оценок для х(К) приходится привлекать матрицы массы. [c.245]

Здесь м/у являются собственными функциями задачи (7.1), соответствующими собственным числам X/ =. .. = Х . Верхний индекс х означает, что на каждой из сеток они не только отличаются от иу, но и могут быть различными. Покажем, что для приемлемых значений к и р можно добиться выполнения зтих оценок на сетке 12 . [c.176]

Так как оператор L приводится к диагональному виду, мы находим U/, деля различные собственные функции оператора L, принадлежащие остаточному подпространству 5 , на ненулевые собственные значения. Имея в виду (6.2.6) и используя неравенство (П. 1.3), мы получаем для U/ оценку [c.365]

Во-первых, подтвердились оценки пределов применимости двумерной теории по частоте. Этот предел оказался равным низшей собственной частоте слоя ро = тгЬ/Л, причем при этой частоте слой деформируется как несжимаемый, т. е. е = 0. Во-вторых, значения функции е и динамических жесткостей, даваемые двумерной теорией, хорошо согласуются с точными значениями вплоть до предельной частоты ро. В-третьих, доказано, что замена динамических жесткостей слоя статическими, как это нередко делается, может привести к качественно неверным результатам. [c.240]

Более простым способом определения коэффициента ускорения является метод, при котором сравниваются параметры системы в условиях воздействия ускоряющего фактора с параметрами модели, имитирующей эксплуатационные условия. Так как не все параметры объекта являются наблюдаемые, часть из них диагностируется. На основании сравнения параметров модели системы и действительных значений параметров объекта производится оценка Ку. Рассмотрим методы анализа результатов ускоренных испытаний. Медленный процесс изменения параметров и быстрые флуктуации, характеризующие техническое состояние, будут зависеть от ускоряющего воздействия, определяемого вектором с. Ускоряющий фактор может быть как детерминированным, так и стохастическим, может быть функцией быстрого (t) и медленного (т) времени. При с = с t) ускорение оказывает влияние только на медленные процессы за счет увеличения интенсивности их изменения. Например, увеличение температуры вызывает медленные изменения интенсивности изнашивания и несущей способности смазочного слоя. Увеличение скоростей движения трущихся элементов приводит к аналогичным изменениям, но оказывает существенное влияние и на увеличение вибрации, т. е. определяет как медленные, так и быстрые процессы. Увеличение статических нагрузок влияет на интенсивность изнашивания трущихся элементов, приводит к аналогичным изменениям, но оказывает существенное влияние и на увеличение вибрации, т. е. определяет как медленные, так и быстрые процессы, а также снижает воздействие собственной вибрации как фактора, определяющего динамические нагрузки. [c.743]

Второй раздел посвящен синтезу цифровых систем управления при детерминированных воздействиях. Описываются основные типы непрерывных регуляторов и способы их реализации на управляющих ЭВМ с помощью схем непосредственного, последовательного и параллельного программирования. При этом осуществляется оптимизация параметров полученных цифровых регуляторов. Особый интерес для проектировщиков представляет методика построения цифровых регуляторов, обеспечивающих сокращение нулей и полюсов в неизменяемой части системы. Это упрощает процесс проектирования систем высоких порядков, описываемых сложными передаточными функциями. Определенный интерес также представляют методы расчета регуляторов, в которых для получения заданных показателей качества используется информация по всем переменным состояния или лишь по части состояний, когда остальные воспроизводятся с помощью наблюдателей различных типов. Достаточно подробно в разделе освещены вопросы синтеза регуляторов, обеспечивающих конечное время установления переходных процессов в системе управления. Большое значение имеют описываемые автором способы оценки чувствительности системы к изменению собственных параметров объекта управления, которые необходимы при выборе рабочих алгоритмов управляющей ЭВМ. [c.5]

Среднее значение полезного сигнала таким фильтром не искажается. Назовем его несмещенным фильтром. Все остальные фильтры — смещенные. Естественно, что дополнительные ограничения на весовую функцию или весовые коэффициенты ведут при прочих равных условиях к ухудшению собственно фильтрации, поэтому выбор между смещенным и несмещенным фильтром следует делать, имея в виду две составляющие конечной ошибки оценки полезного сигнала — одну за счет ошибки в определении математического ожидания полезного сигнала и другую за счет ухудшения фильтра путем введения ограничения на его весовую функцию или весовые коэффициенты. [c.76]

В точках ti (г = 1, 2,, 7V) вычислялись компоненты вектора измерений по формулам (5.28). На рис. 5.1 показано изменение во времени измеряемых функций (5.15) и среднего значения интеграла энергии (5.24), причём функции R и G при выбранных параметрах тела оставались постоянными, равными, соответственно, 2,0 и 1,0. Производилось оценивание производной коэффициента восстанавливающего момента по углу атаки на мерном интервале s = 20 с. Период собственных колебаний тела приблизительно равнялся 1 с. Нахождение оценок (5.27) по интегральному методу осуществлялось методом Хука-Джи-вса [40]. В качестве начального приближения выбрано значение (т )о = —0.045. При изменении шага интегрирования от 0.1 с до 5.0 с абсолютная погрешность оценивания изменялась от 0.001 до 0.004. [c.155]

Третья глава относится к теории собственных колебаний упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-освещены в монографической литературе. В начале третьей главы даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих в различных пространствах, также зависящих от параметра. На основе этих общих теорем исследуется поведение собственных значений и собственных функций краевых задач, асимптотический анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в 1 гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие применения, так же как и теоремы, изложенные в 8 этой главы о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также для исследования спектральных задач в областях с осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также для изучения свободных колебаний тел с концентрированными массами. [c.7]

Подчеркнем, что этот способ отыскания границ ошибок очень прост. С такой же легкостью он приводит к ошибкам порядка O(Ai ) в схеме Кранка — Николсона. Может показаться, что его простота требует, чтобы для возможности применения оценок ошибок в собственных значениях и собственных функциях из предыдущей главы пространственная часть задачи была самосопряженной, но на самом деле это предположение несущественно. Действительно, существует простая- формула, полностью обходящая теорию собственных значений, — она относит развивающуюся ошибку к основным оценкам стационарных задач. При одно и той же начальной функции в обоих уравнениях различие в их решениях в момент t описывается формулой [c.287]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Следовательно, метод Релея — Ритца приводит к определению верхних границ всех собственных значений. Установлено, что точность найденных таким образом приближенных собственных значений хорошая, а иногда и превосходная, если базисные функции выбраны соответствующим образом. Однако поскольку приближенный метод применяется к задачам, точное решение которых найти невозможно, то обычно нельзя заранее ожидать какой-либо информации о собственных значениях. Поэтому для оценки собственных значений необходимо получить формулы, определяющие нижние границы собственных значений. [c.71]

Для изучения основных собственных значений исследуемой механической системы используются (независимо друг от друга) три различных приближенных метода метод Ритца, алгоритм, основанный на методе конечных элементов, и метод коллокаций с использованием метода Фурье. Большой интерес представляет сравнение результатов, полученных различными методами, особенно с точки зрения оценки возможностей приближенного метода Ритца, в котором используются полиномиальные функции от двух переменных. Результаты исследования могут быть также интересны специалистам в области акустики и микроволновой техники, поскольку такие конструкции применяются в мягкостенных акустических волноводах и ТМ-формах электромагнитных волноводов. [c.60]

Вопрос о возможности образования связанных димеров при столкновении двух атомов или молекул газа представляет значительный интерес для расчетов термодинамических функций, а также для интерпретации индуцированных спектров сжатых газов. Устойчивость таких димеров определяется суш ествованием дискретных энергетических уровней внутри ямы потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемых частиц. Для обычно применяемых межмолекулярных потенциалов, в частности для потенциала Леннард-Джонса, задача о собственных значениях энергии рассматривалась рядом авторов [ . Оценки числа связанных состояний и концентрации димеров были произведены Бернардесом и Примаковым [ ], а также Стогрином и Хиршфельдером [ ]. [c.207]

Математическое обоснование аппарата, развитого в главах I и И, связано с привлечением некоторых разделов современного функционального анализа. В Дополнении, написанном М. С. Аграновичем, кратко изложены необходимые сведения из этих разделов и на этой основе проведено исследование свойств операторов, связанных с важнейшими из рассмотренных в книге задач. Эти операторы — несамосопряженные (что связано с сущностью исследуемых задач), и особенностью применяемого в книге аппарата является использование рядов по собственным функциям этих несамосопряженных операторов. Однако эти операторы, как показано в Дополнении, очень близки к самосопряженным. Это позволило доказать, что дифрагированное поле допускает разложение в нужные ряды, причем при правильном способе их суммирования они быстро сходятся и их можно почленно дифференцировать. В Дополнении указана также асимптотика собственных значений и выведены априорные оценки для решений рассматриваемых задач. Подробнее содержание Дополнения объяснено в 30. [c.16]

Другим основным источником теории оптимальных процессов явились экстремальные вариационные задали, которые возникли в ходе развития автоматического регулирования. Возрастающие требования к регулируемым системам означали не только необходимость обеспечить устойчивость заданного движения, но и приводили к проблеме определения таких законов регулирования, которые обеспечивали бы наилучшие возможные характеристики переходных процессов. Сначала требования к переходным процессам формулировались в качественной форме и выран ались прежде всего в условиях, налагаемых на спектр собственных значений тех линейных операторов, которыми описывался процесс. Это обстоятельство естественным образом было связано с тем, что в то время исследовались главным образом линейные объекты и линейные законы управления ими. Соответственно основным рабочим аппаратом служили линейные дифференциальные уравнения разо] кнутой и замкнутой системы регулирования, изучаемые методами операционного исчисления, где основную роль играют частотные характеристики передаточных функций. Позже были предложены количественные оценки и начала оформляться задача о выборе таких параметров регулятора, при которых эти количественные характеристики оказались бы экстремальными. Одной из таких характеристик, которая сыграла большую роль в развитии проблемы оптимальности, явилась интегральная оценка переходного процесса х 1), [c.184]

Явления радиоактивного распа да, сопровож аемо-го вылетом из ядра атома а- и / -частиц, дали первое доказательство сложного строения атомного ядра, заключающего в качестве структурных элементов электроны, протоны и ядра Не. Закономерности, наблюдаемые в распределении длин волн у-лучей и скоростей /5- и а-частиц, указывают на существование в ядре устойчивых состояний, соответствующих определенным уровням энергии, у-излучения повидимому связаны с внутриядерными переходами а-частиц с одного уровня энергии на другой, причем длина волны у-луча определяется из квантовых соотношений. При радиоактивном превращении, сопровождаемом вылетом а-частицы из ядра, она должна пройти через уровень потенциальной энергии, значительнб превышающий собственную энергию частички, к-рой она обладает в ядре. С точки зрения классич. теории невозможно объяснить вылет а-частички из ядра через этот потенциальный барьер . Теории радиоактивного распада, основанные на принципах волновой механики, описывают движение а-частиц при помощи волновой функции, причем а-излучение является результатам постепенного проникновения волновой функции через вышеупомянутый потенциальный барьер. При этом можно найти теоретическое выражение для связи скорости а-частиц с константой распада атома, удовлетворяющее опытным данным. Принимая, что а-частички в ядре атома обладают той же величиной энергии, с какой они покидают ядро при распаде, мы пс-лучаем исходную величину для оценки абсолютных значений уровней энергии в ядре атома. Эти величины порядка 106У (в обозначениях атомной физики), -излучения радиоактивных элементов образуют, с од-1той стороны, группы электронов определенных скоростей, по всей вероятности появляющихся в резуль- [c.369]

Аналогично теореме 5.3 на основе оценки (5.34) и теорем 1.9, 1.12 устанавливается теорема об асимптотике собственных значений и собственных функций задачи (5.18). Предельная задача на собственные значения имеет вид [c.272]

Рассмотрим сначала оценки для собственных значений. Пусть Р — проектор Рэлея — Ритца, определенный следующим образом если функция и принадлежит Же, то Рм — составляющая в подпространстве 5 (относительно энергетического скалярного произведения) [c.265]

Укажем также простой способ оценки величины вибраций рабочего органа. Как правило, передаточная функция /Г3 (/(о) имеет существенное значение лишь в узкой околорезонансной области. В пределах этой области спектр воздействующего импульса ф ( ) изменяется мало, и его величину можно принять постоянной и равной 8 (сОр). Тогда амплитуда колебаний с точностью до постоянного коэффициента будет равна модулю спектральной функции импульса скорости на частоте резонанса манипулятора 1 ф( р) - Здесь, как и выше, следует пользоваться минимальным значением частоты собственных колебаний. [c.104]

Пока коррозионный элемент разомкнут, на анодных и катодных участках реакции в прямом и обратном направлениях идут с одинаковой скоростью — обратимо. Обратимые электродные потенциалы металлов Уобр зависят от характера электролита и температуры. Их рассчитывают по термодинамическим функциям. Для сравнительной оценки электрохимической активности металлов используют стандартный обратимый электродный потенциал V ogp, рассчитанный для температуры 25 °С и активности (концентрации) собственных ионов в водном растворе, равной единице. Значения для ионов некоторых металлов приведены ниже [c.471]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...