Собственные значения оператора функции

Чтобы найти собственные значения оператора, используем то обстоятельство, что при двукратном применении оператора инверсии к функции мы вновь приходим к исходному состоянию [c.103]

Из определения операторов Р ., Р следует, что двукратное действие каждого из операторов в отдельности оставляет волновую функцию неизменной. Следовательно, собственные значения операторов Р- — Р2 р равны единице, а собственные значения операторов Р , Р равны 1. Такие собственные значения операторов в случае дейтрона связаны с симметрией или асимметрией волновой функции относительно перестановки переменных —> [c.161]

Функция распределения есть функция энергии и температуры, и для стационарных состояний она не зависит от времени. Так как энергия есть собственное значение оператора Гамильтона квантовой системы, то она не зависит от координаты, поэтому не будет зависеть от координаты и функция распределения о= о(Е, Т), где fo(E, Т) —функция Ферми— Дирака или Максвелла—Больцмана. [c.101]

Оператор f(A) [ m. (21.87)] называется функцией f A) оператора A. Ясно, что это определение имеет смысл лишь тогда, когда ряд (21.86) сходится по крайней мере для всех значений Л, равных собственным значениям оператора А. Если же область значений. V, для которых ряд (21.86) сходится, ограничена, то вопрос о выражении функции/(Л) формулой (21.87) требует дополнительного исследования. Например, ряд [c.140]

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора А величина (А ) в постулате 3 дает не вероятность, а плотность вероятности, поскольку собственные векторы I > в этом случае нормированы не на 1, а на 8-функцию. Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение А равна, конечно, единице [c.152]

В частности, спектр собственных значений оператора координаты X непрерывен. Волновая функция Т(х) = позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке Л, а плотность вероятности 1 Ч (х) 1 вероятность нахождения частицы в интервале с1л вблизи х равна I Ч (х) I dx. Однако вектор Ч > содержит информацию не только о местонахождении частицы, но и об ее импульсе. Плотность вероятности для частицы иметь импульс р дается проекцией Т(р) = <(/ ) вектора состояния на базисный вектор /7> оператора Р. Существуют динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы давать результаты, согласующиеся с экспериментом. [c.152]

Параметр а является собственным значением и функция / (г) — собственной функцией оператора М. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор М может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а (г) (см. П. 2.2). [c.25]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора М, [c.25]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

Каждый электрон i молекулы имеет спин s, с величиной Й/2, а полная электронная спиновая функция [S, ms) зависит от двух квантовых чисел S и ms тогда собственные значения операторов (квадрата полного спинового углового момента электронов) и Sz (Z-компоненты спинового углового момента электронов) соответственно равны S S и msh, и можно записать [c.114]

Получим теперь спектральные представления для термодинамических функций Грина. Пусть i) и — собственные состояния и собственные значения оператора энтропии ), т. е. [c.14]

Пространственная четность Р определяется характером преобразования волновой функции элементарных частиц при зеркальном отражении. Собственные значения оператора отражения Р определяют обычно, исходя из того, что двойное отражение есть тождественное преобразование, т. е. = 1. [c.810]

Для нахождения собственных функций и собственных значений оператора импульса надо воспользоваться векторным уравнением [c.470]

Это свойство можно использовать при исследовании собственных значений оператора X. Если бы оператор X был самосопряженным в обычном гильбертовом пространстве, то мы могли бы утверждать, что его собственные значения являются действительными, но сейчас мы можем только показать, что если существуют комплексные собственные значения, то соответствующие собственные функции принадлежат изотропному конусу в псевдо-гильбертовом пространстве, т. е. имеют нулевую норму. [c.226]

Заметим, что можно записать в виде == Кк — где — постоянная, / — единичный оператор и / v отображает любую функцию в конечномерное пространство с базисом а М). Если написать уравнение (6.8) для собственных значений оператора и взять его проекции в, и в его ортогональное дополнение, то окажется, что эти два уравнения не связаны тогда легко показать, что спектр состоит из /V собственных значений между —Viv и О (с собственными функциями в виде полиномов в частности, для модели, определяемой (9.8)) и собственного значения —Viv бесконечной кратности. [c.234]

Следствие. Корневые функции оператора А принадлежат С (5). Если О — собственное значение оператора А, то Кег Л = 2л (0) конечномерно. [c.350]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Чтобы установить соотношение между интегралом Я (в), который является собственным значением оператора Шредингера рде 5 — решение типа уединенной волны уравнения КдФ, и собственной скоростью с(х), поступим следующим образом. Дифференцируя дважды собственную функцию ф оператора Шредингера, заданную выражением (4.73), получим [c.110]

Разработанный в двух предыдущих разделах формализм дает возможность выразить собственные значения оператора плотности через векторы когерентных состояний. С математической точки зрения использование векторов когерентных состояний приводит к значительному упрощению при вычислении статистических средних. Так как когерентные состояния являются собственными состояниями полевых операторов Е( > (г/), то нормально упорядоченные произведения полевых операторов можно заменить при усреднении на произведения их собственных значений, т. е. рассматривать их не как операторы, а как числа. Корреляционные функции поля вида определяемые уравнением (2.1), есть средние именно от таких произведений операторов. Их можно довольно легко вычислить при использовании представлений, которые мы рассмотрим ниже. [c.85]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Так как изоморфный гамильтоннап Й коммутирует с оператором (/ — р г — К), операторы (/ — /5 — L ) и Н имеют общие собственные функции. Из соотношения (12.5) видно, что только те собственные значения оператора Я являются собственными значениями исходного гамильтониана, которым соответствуют собственные функции с нулевым собственным значением для оператора К — р - г). Поэтому при построении набора базисных функций в нулевом приближении из произведений собственных функций жесткого волчка (Фг), гармонического осциллятора (Фу) и электронных орбитальных собственных функций (Фе) мы используем только те базисные функции, [c.367]

Преобразование /(X) под действием 2 о сводится, в силу первого порядка этого дифференциального оператора, к движению начальных значений X по классическим траекториям. В квантовом случае для нелинейных систем — 2 о — о" 0, и движение сопровождается дополнительной квантовой диффузией, описьгоаемой оператором 2 d, разложение которого по степеням д/дХ содержит только нечетные степени, начиная с третьей. Эта диффузия носит обратимый характер 2 = —2 , т. е. S — ан-тиэрмитов оператор. Собственные значения оператора чисто мнимые, т. е. Я, = со, а собственные функции удовлетворяют условию / ш (X) = / (X). Если гамильтониан 3 не зависит от времени, то эволюция к моменту времени i описывается оператором 5(i) = exp(S i), и ее обратимость означает, что возврат к начальному состоянию может быть достигнут также путем динамической эволюции с лиувиллианом S = —2 . [c.386]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

В нерелятивистской кваптовой механике Ч. состояния для системы из п частиц определяется как собственное значение оператора инверсии Р, действие к-рого па волновую функцию ( 1, , ) состоит в измепении знаков всех пространств, координат и умножении ее на произведение внутренних четностей всех частиц П1...П [c.412]

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ линейного оператора L, действующего в пространстве ф-ций, — нетривиальные решения ур-ния Li ) = Хч ), причем X — одно из собственных значений оператора L. Пространство ф-ций можно рассматривать как (бесконечномерное, вообще говоря) вектор юе пространство, в к-ром скалярное произведение элементов г )(а ) и ф(х) определено как г])(ж) ф(ж) dx. Особое значение имеют С. ф. в механике, квантовой механике и др. областях фиаики. В квантовой механике линейные операторы, соответствующие наблюдаемым физ. величинам, эрмитовы ij)(x) L(f(x) dx = ф(х) Lt()(x)rfx. Физ. смысл их С. ф. состоит в том, что эти ф-ции представляют собой волновые ф-ции состояний, в к-рых измеренное на опыте значение наблюдаемой равно одному из собственных значений соответствующего оператора. В конечномерном векторном прострапстве для любого эрмитова оператора Я найдется [c.566]

Смотреть страницы где упоминается термин Собственные значения оператора функции : [c.103] [c.161] [c.128] [c.148] [c.590] [c.569] [c.352] [c.707] [c.211] [c.211] [c.66] [c.154] [c.89] [c.92] [c.98] [c.294] [c.684] [c.377] [c.683] [c.181] [c.86] [c.13] [c.108] [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...