Матрица тензора

Дифференцируя матрицу в (3-6.4) по t и полагая х = t, получаем в соответствии с уравнением (3-2.9) матрицу тензора Vv, определенного в уравнении (2-8.1). [c.123]

Можно заметить, что матрицы тензоров R, V и U не выводились. Они не используются в практических расчетах, и получить их, вообще говоря, довольно трудно. [c.124]

Определить матрицу тензора С в декартовой системе координат для следующего течения и,. = Vy = —= —Ye /2. [c.128]

Постоянная к называется скоростью сдвига. Вспоминая, что тензор N имеет единичный модуль, если он удовлетворяет уравнению (5-2.1), утверждаем, что существует ортонормальный базис hfe, в котором матрица тензора N имеет вид [c.177]

Стандартные вычисления позволяют получить матрицу тензора F в естественном базисе системы х [c.286]

Например, можно вычислить а (Г) для сферически симметричного течения к стоку, выбирая в качестве уравнения состояния простое уравнение Максвелла (6-4.12). Как уже показано, уравнение Максвелла совпадает с интегральным уравнением состояния (6-4.19). Матрица тензора С (s) для этого течения к стоку была вычислена в примере ЗБ (гл. 3). Прямое интегрирование дает следующее выражение [c.291]

В этом смысле матрица тензора инерции является матрицей преобразования вектора угловой скорости в вектор кинетического момента. [c.188]

Как мы видели выше, всякому множеству точечных масс можно сопоставить тензор инерции Л. Компоненты этого тензора в каждом конкретном ортонормированном базисе образуют неотрицательно определенную симметричную матрицу. Однако если взять произвольную такую матрицу, то ее не всегда можно считать матрицей тензора инерции в каком-либо базисе, т.е. не для всякой симметричной неотрицательно определенной матрицы существует множество точечных масс, порождающее тензор инерции с соответствующими компонентами. Укажем критерий того, что заданная неотрицательно определенная симметричная матрица может считаться составленной из компонент тензора инерции. [c.59]

Показать, что матрица тензора инерции симметрична в любой системе координат. [c.74]

Сумма диагональных элементов матрицы тензора второго ранга называется его линейным инвариантом. Из выражений (1.37) и (1.38) видно, что линейный инвариант построенного нами мультипликативного тензора — скалярное произведение векторов а-Ь. [c.47]

Подставляя это выражение в (62) и используя матрицу тензора 5 (52), получим [c.344]

Здесь первые индексы определяют оси координат, на которые проектируются напряжения, вторые индексы — ориентацию площадок. Можно показать, что матрица тензора напряжений является симметричной. [c.12]

Часто встречается такое напряженное состояние, при котором одна пара взаимно перпендикулярных граней единичного кубика свободна от напряжений, как это показано на рис. 4.2, а...в. Такое напряженное состояние оказывается плоским. Матрицы тензоров напряжений в таких случаях представляются следующим образом [c.110]

При решении практических задач перемножение матриц тензоров, входящих в уравнения замкнутости вида (3.21), может повлечь громоздкие вычисления. Облегчение этих вычислений может быть достигнуто путем перенесения части сомножителей в правую часть. Такое перенесение осуществляется на основании правил, существующих в тензорном и матричном исчислениях, следующим образом. Умножим сначала уравнение (3.21) слева на тензор обратный тензору зная, что произведение [c.45]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

В 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора / являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны ). [c.173]

Пусть Xhj будет k-я составляющая j-ro собственного вектора матрицы тензора / (согласно обозначениям 4.6). Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, запишутся в виде [c.174]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Упражнение 4. Показать, что симметрическую матрицу, образованную элементами Jij (г, j = 1, 2, 3 Jij = Jji), можно рассматривать как матрицу тензора инерции реального твердого тела тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства [c.149]

Матрицы тензоров вида (6) составляются последовательно для каждой пары звеньев или, что то же, для каждой пары смежных координатных систем. [c.153]

Матрица тензора положения звена /2 относительно звена l[ [c.160]

Матрица тензора положения звена /а относительно звена /2 [c.160]

Матрица тензора положения звена /3 относительно /3 [c.160]

Здесь уместно заметить, что в аналитических методах кинематического анализа пространственных механизмов в настоящее время используются все достижения современного математического аппарата теория множеств, теория групп, матрицы, тензоры, бивекторы, винты и винтовые аффиноры. И тем не менее успех решения поставленной задачи в каждом конкретном случае анализа пространственного механизма зависит не от формы записи основных уравнений, а от выбора системы координатных осей и геометрии применяемых преобразований. Особенно наглядно это свойство задач кинематического анализа пространственных механизмов можно проследить, если обратиться к обобщающей монографии П. А. Лебедева, В ней не только дан сравнительный анализ различных методов, но и предложен новый метод, позволяющий использовать минимальное число применяемых систем координат. [c.4]

Для простой жидкости в общем случае можно показать, что матрица тензора напряжений в момент t в том же самом ортонормаль-ном базисе также имеет диагональный вид [c.289]

Показать, что если множеству точечных масс соответствует эллипсоид инерции, то матрица тензора инерции невырождена в любой системе координат. [c.74]

Следовательно, матрицу тензора Тможно представить как сумму симметричной и антисимметричной матриц. [c.46]

Тензоры различных рангов удобно представлять и использовать в виде матриц. Например, (2.2) Яредстав-ляет матрицу тензора второго ранга. Соотношения между тензорами (например, уравнения (2.3) — (2.5)) также удобно использовать в виде матриц. Операции с матрицами можно найти в специальной литературе [5, 7]. Наиболее важна для настоящего описания операция умножения [c.43]

Остановимся еще на вопросе о применении в теории упругости матрицы (тензора) Грина. Определяется она следующим образом. Пусть р — некоторая точка области О и Г(р,д) — соответствующее ей решение Кельвина — Сомильяны. Пусть /(р, (/)—некоторая матрица, каждый столбец которой удовлетворяет уравнениям Ламе (по координатам точки р), а точка р присутствует в элементах этой матрицы как параметр. Тогда можно показать (повторяя фактически все рассуждения, [c.569]

Это значит, что матрица У, которая диагонализирует матрицу тензора I посредством подобного преобразования, является вещественной ортогональной матрицей. [c.173]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Представление тензора второго ранга при помощи квадрат-Hoff матрицы. Тензор второго ранга в пространстве трех измерений может быть представлен в виде матрицы третьего порядка. На тензоры второго ранга распространяются классификация [c.772]

Матрица тензора полонсения звена относительно звена /с [c.160]

Таким образом, задача определения положений звеньев приведенного механизма решена. Остается определить положения реальных звеньев I и IДля этого составим матрицы тензоров положения звена относительно стойки [c.162]

Примером физ. свойств, описываемых симметричными тензорами 2-го ранга, могут служить электропроводность и теплопроводность, а также диэлектрич, и магн. проницаемости твёрдых тел. В общем случае в нек-рой системе координат тензор 2-го ранга имеет 9 компонент. Если тензор симметричен, то независимыми являются лишь 6 из них — три диагональных и три недиагональных элемента матрицы. При повороте системы координат матрица тензора преобразуется по определ, закону. Всякиг симметричный тензор 2-го ранга может быть приведён к гл. осям, т. е. существует такая система координат, в к-рои матрица этого тензора диагональна соответствующие 3 диагональных элемента наз. гл. значениями тензора. Если гп. значения не совпадают, имеет место А., а направления гл. осей определены од- [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...