Задача на комплексные собственные значения

Задача на комплексные собственные значения. Согласно теореме Флоке решение уравнения (2.60) можно искать в виде [c.48]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

В отличие от поведения определителей при нахождении собственных значений (частот) для консервативных задач определители [например, (4.100)], из которых находятся действительные и мнимые части комплексных собственных значений для неконсервативных задач, знака не меняют, что осложняет численное определение собственных значений. На рис. 4.12 показан качественный характер изменения поверхностей Н(а, р) при непрерывном изменении аир. Точки касания поверхностей плоскости (р, а) есть комплексные собственные значения [c.101]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

Для распределенных систем, допускающих сведение к краевым задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение имеет вид А(Х,р)=0, где Д - трансцендентная функция. Отдельные комплексные собственные значения можно вычислить, сведя задачу отыскания корней уравнения к эквивалентной задаче отыскания нулевых минимумов некоторой целевой функции. Например, можно рассматривать фун-2 2 [c.488]

Уравнение (6,62) совпадает с характеристическим уравнением, которое получается при решении статической задачи на собственные значения для симметричного изгиба зажатой полосы. Оно также эквивалентно уравнению (6.60) на произвольной частоте, если выполнено неравенство (6.61), Все корни уравнения (6.62) комплексны. Для корней с большим модулем Я 1 могут быть найдены приближенные аналитические выражения [c.195]

Анализ расположения корней характеристического уравнения (7.2.5) на комплексной плоскости составляет чисто алгебраическую задачу. Для развертывания характеристического определителя существует ряд оригинальных методов. К их числу следует отнести метод Крылова, метод Данилевского, метод Фаддеева и др. [52, 54]. С использованием этих методов средства вычислительной техники позволяют непосредственно находить коэффициенты характеристических полиномов сколь угодно высокой степени с наперед заданной точностью. Остаются весьма полезными критерии, которые могли бы давать ответ о размещении корней на комплексной плоскости, не прибегая к решению полной задачи о собственных значениях. К таким критериям относят критерий асимптотической устойчивости Рауса-Гурвица и родственные алгебраические критерии. [c.464]

Таким образом, после редукции задача сводится к выяснению положения корней уравне-йия (7.4.11) на комплексной плоскости. Для суждения об устойчивости достаточно вычислить все собственные значения А либо отобразить левую полуплоскость комплексного переменного А на внутренность единичного крута комплексной плоскости ст с помощью дробно-линейного преобразования (7.2.16). После этого появляется возможность использования критериев (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6). [c.494]

Таким образом, все собственные значения лежат на комплексной плоскости в круге единичного радиуса, что позволяет сделать вывод об умеренной изменяемости рещения по координате в классической постановке задачи цилиндрического изгиба панели. Иной оказывается ситуация при рассмотрении этой задачи на основе неклассической системы дифференциальных уравнений. Спектр матрицы коэффициентов последней складывается из чисел О, i, отвечающих рещениям [c.121]

Следует заметить, однако, что в общем случае множество всех значений со и к, для которых уравнение (8.2) имеет решение, слишком велико в том смысле, что не все решения из него являются линейно независимыми. Это обстоятельство затрудняет получение выводов из анализа задачи на собственные значения для более чем двух комплексных параметров. Альтернативой является использование преобразования Лапласа — Фурье [c.231]

Другие методы собственных колебаний. Существует еще целый ряд возможностей сопоставить данной задаче дифракции какую-либо однородную задачу и воспользоваться порождаемой ею системой собственных функций для разложения дифрагированного поля в ряд. В качестве собственного значения в этих однородных задачах можно выбрать, например, элементы матрицы рассеяния. Для этого надо представить поле на больших расстояниях от тела (речь идет о возбуждении открытых резонаторов) в виде суммы приходящей и уходящей волн с совпадающими (с точностью до комплексного сопряжения) угловыми зависимостями и рассматривать отношение амплитуд этих [c.103]

В первой главе изложен метод, в котором роль собственного значения играет диэлектрическая проницаемость. Метод применим к задаче дифракции на диэлектрическом теле. Функции Ып удовлетворяют однородному волновому уравнению, в котором диэлектрическая проницаемость е тела заменена на собственное значение е . Функции и ортогональны при интегрировании по телу, а коэффициенты А содержат в знаменателе разность е — е . Если в системе нет никаких потерь или есть только диэлектрические потери, т. е. потери, обязанные комплексности е, то е вещественны. Для открытых резонаторов и вообще для задач дифракции, в которых есть потери на излучение, 1т е > О, т. е. е является диэлектрической проницаемостью некоторого активного (выделяющего энергию под действием поля) тела. Аппарат е-метода легко обобщается на задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах. В частности, этот метод применим и к квантовомеханической задаче рассеяния на потенциальном поле, которая коротко рассмотрена в 7 и 20. [c.13]

На практике часто оказывается удобным ограничиться допустимыми функциями, удовлетворяющими в некоторой части Vi объема уравнению однородной задачи. Следует, однако, иметь в виду, что в таком классе допустимых функций у некоторых из функционалов с естественными граничными условиями могут появиться лишние стационарные точки, т. е. нарушается свойство достаточности. Эти лишние стационарные точки появляются на собственных частотах объема V. Если V — незамкнутая часть рассматриваемого объема, а условия на ограничивающих его изнутри поверхностях не содержат искомого собственного значения, то свойство достаточности сохраняется на всех вещественных частотах, поскольку собственные частоты такого объема комплексны. [c.182]

Иногда нестационарное уравнение Шредингера можно свести к стационарному. Это имеет место, в частности, в поле циркулярно поляризованной монохроматической электромагнитной волны. Тогда задача сводится к стационарной путем перехода во вращающуюся (с частотой электромагнитного поля) систему координат [2.2, разд. 1.3.3]. При этом вместо задачи Коши возникает задача на собственные комплексные значения энергии. Вещественная часть энергии определяет штарковский сдвиг уровня во внешнем поле, а мнимая часть энергии — вероятность ионизации этого уровня в единицу времени. [c.28]

В случае постановки задачи для бесконечной области ситуация меняется принципиально, поскольку дискретный спектр собственных значений для ограниченной области превращается в непрерывный. Для однозначной разрешимости Задачи, как показано в [203—205, 273], необходимо принять дополнительные ограничения на поведение решения на бесконечности. В соответствии с (Д. 19) комплексные амплитуды вектора перемещений (х) можно представить в виде [c.68]

В описанном выше приближении В и а можно представить как комплексные числа, так что все многообразие рассмотренных в разд. 7.6.2 задач на собственное значение можно было бы изучить одинаковым образом. Кроме того, можно пытаться решить уравнение (7.98) Бд -методом (см. разд. 4.5.3), преимущество которого — быстрая сходимость, а недостаток — то, что собственные значения получаются значительно более сложными. Этот метод использовался для нахождения главных собственных значений, таких, как ао [105], но при изучении собственных значений более высокого порядка, по-видимому, более предпочтительным оказывается Р у-приближение. [c.297]

В противоположность этому, если со и р таковы, что все поперечные волновые числа g , находимые из характеристического уравнения, являются чисто мнимыми или комплексными, возникает задача о поверхностных волнах. В такой задаче число независимых амплитуд точно равно числу граничных условий, поэтому задача о поверхностных волнах является задачей на собственные значения. Подстановка решения в граничные условия приводит всегда к однородным уравнениям па амплитуды. Условие их разрешимости и дает спектр поверхностных волн. [c.96]

В дальнейшем будем рассматривать задачу (1.7) также для комплексных к. При однородных граничных условиях на поверхности пластины из (1.7) получается задача на собственные значения, описывающая устойчивость периодического течения в пограничном слое в пространственной постановке. Ее решениям kj (й, Р) соответствуют моды неустойчивости вида [c.16]

Задача собственных значений без ограничений на нейтральные колебания заключается в нахождении вещественных параметров а и R спектра комплексного параметра р, которые ранее рассматривались как заданные, и собственной функции <р. Этой задачей весьма успешно занимался Д. Гроне [29], подробно и глубоко разработавший динамику вязкой жидкости. [c.14]

В задачах устойчивости линейных систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином непосредственно впервые появляется в форме с1е1(0 — А.Е). Представляют интерес критерии, не требующие вычисления коэффициентов характеристического полинома. Идея критерия Зубова [22] состоит в отображении рассматриваемой области Дх комплексного переменного Л, на внутренность единичного круга р <1 комплексного переменного р. При этом исходная матрица О отображается в некоторую матрицу Г, собственные значении которой равны Ру. Для того чтобы все ру удовлетворяли условию ру <1, необходимо и достаточно, чтобы Г — 0 при Таким образом, реализация [c.466]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

Однородная задача (3.4) не содержит истинного е. Тем самым, решая (3.4) и, в частности, определяя e k), мы находим одновременно резонансные кривые для тела данной формы со всевозможными значениями диэлектрической проницаемости. В частности — и это весь.ма существенно для численных расчетов, — если е в задаче дифракции комплексно, т. е. дифракция происходит на поглощающем диэлектрическом теле, то это никак не осложнит решение однородной задачи. Другими словами, несмотря на наличие потерь, наиболее сложная часть расчетов — определение собственного значения — производится с вещественными величинами. Наличие потерь и конечная добротность резонатора проявятся лишь в том, что в (3.166) е будет комплексно и знаменатель ни при одной вещественной частоте не обратится в нуль. Максимум резонансного множителя (3.166) будет равен 1/1пте и достигается при к, являющемся корнем вещественного уравнения [c.31]

Если в задаче дифракции нет других потерь, кроме, быть может, потерь на поверхности тела, то однородная задача (она не зависит от истинных граничных условий) будет, как правило, самосопряженной, а собственные значения — вещественными В общем случае однородная задача несамосопряженная, собственные значения комплексны, причем знак их мнимых частей соответствует выделению с поверхности вспомогательного тела энергии, расходуемой на поддержание незатухающих колебаний, происходящих с истинной частотой, в отсутствие истинных источников. Вспомогательные граничные условия в таком случае описывают некую активную (т. е. с отрицательными потерями) пленку, излучающую пропорционально квадрату поля на ней и имеющую форму границы тела. [c.86]

Величины гшп имеют размерность длины. Мы назовем их собственными импедансами. Они играют роль собственных значений однородной задачи. Физический смысл этой задачи состоит в том, что она описывает возможные лишь при определенных значениях собственных импедансов незатухающие собственные колебания тела, происходящие на частоте к задачи дифракции в отсутствие истинных источников. Как уже говорилось, однородная задача будет самосопряженной (а собственные импедансы — вещественными) и в том случае, когда в исходной задаче присугствуют потери — но лишь в стенках тела (на границе 5). Если в исходной задаче помимо потерь в стенках имеются еще и другие потери (например, на излучение), то однородная задача будет несамосопряженной, собственные импедансы комплексны, причем [c.89]

Излагаемый в этом параграфе вариант метода применйм при решении задач дифракции в открытых системах. В нем вспомогательная однородная задача оказывается вещественной и может быть сведена к вещественному интегральному уравнению, если в задаче дифракции присутствуют только потери на излучение. Это связано со следующей закономерностью, уже обсуждавшейся для закрытых задач. А именно, при наличии потерь только одного типа соответствующую вспомогательную задачу всегда можно сделать вещественной, если вводить собственное значение именно в той области, где эти потери присутствуют, точнее, если вводить собственное значение через параметр задачи дифракции, ответственный за эти потери. В рассматриваемом варианте собственное значение однородной задачи (которая соответствует задаче дифракции с потерями только на излучение) мы введем через условия для собственной функции на бесконечности. Физический смысл этих условий состоит в том, что существует как сходящаяся из бесконечности собственная волна, так и рассеянная телом собственная волна. Угловые зависимости сходящейся и расходящейся волн, определяемые формой и свойствами облучаемого тела, должны совпадать (с точностью до комплексного сопряжения). В качестве собственных значений принимаются отношения амплитуд рассеянных и приходящих [c.125]

В заключение данного раздела остановимся коротко на физическом и математическом смысле вытекающих поверхностных волн. Поскольку все вытекающие поверхностные волны (как звуковые в изотропных твердых телах и в кристаллах, так и электромагнитные) содержат экспоненциально нарастающую с глубиной объемную компоненту, они не могут существовать во всем полупространстве. Физически это означает, что на достаточном удалении от источника вытекающая поверхностная волна распадается на объемные волны. Вытекающие поверхностные волны, как и все рассмотренные здесь поверхностные волны, математически являются собственными функциями соответствующих краевых задач, а их волновые чила — собственными значениями, определяемыми полюсами подынтегральной функции в комплексной плоскости волнового числа к. При удалении от источника эти полюса смещаются (в частности, переходят на другой лист поверхности Римана) и перестают захватываться контуром интегрирования, что приводит к исчезновению вытекающей волны вдали от источника [96]. [c.96]

Асимптотическая область. Построенные в предыдущем пункте инфинитезимальные операторы левых (правых) сдвигов на комплексных полупростых группах Ли и их вещественных формах позволяют, в принципе, решить задачу нахождения матричных элемеР1тов неприводимых представлений соответствующих групп, выделить унитарные компоненты и вычислить основные характерные величины теории. С этой целью из генераторов следует построить систему взаимокоммутирующих операторов Казимира (см. п. 3, 1.5) и найти их общие собственные функции, выделяя таким образом операторно-неприводимые представления, задаваемые собственными значениями операторов Казимира. [c.80]

Во-вторых, задачи на собственные значения типа (9.18), как правило, не эрмитовские. Так, например, диагональные элементы массового, поляризационного и им подобных операторов могут иметь конечные мнимые части. В результате собственные значения Е могут оказаться комплексными (имеет место затухание). Соответственно параду с (9.18), (9.19) и т. д. следует рассматривать и сопряженные с ними уравнения. [c.82]

Если со рассматривается как комплексный параметр, то особенностями аналитического продолжения решений будут "частоты рассеяния" или "частоты диффузии". Они играют роль собственных значений для этого класса задач (см. гл. XVII, где на примере задач, зависящих от параметра, показано, что частоты рассеяния сходятся к собственным частотам). См. также 8 настоящей главы по поводу интерпретации в пространстве - времени. Частоты рассеяния обычно получаются как особенности матриц рассеяния (см. Лаке, Филлипс [ 1 ], Шэнк, Ту [ ] ]), но мы вводим их непосредственно через решения [c.389]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...