Траектории собственных значений в комплексной

Вектор (1, 1 представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения и Яг вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку О- если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О. [c.373]

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что решение неустойчиво, если Re(X,/)>0 хотя бы для одного /. Собственные значения определяют устойчивость системы часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полуплоскости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собственному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплексные корни обычно характеризуются частотой o=Im(X,) и от- [c.342]

Собственные значения Л линеаризованной системы имеют ненулевые вещественные части (Re Л > 0). Решение z t) = го можно считать периодическим с периодом 2тг. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых система (1.9) имеет 2тг-периодическое решение г = p(i,e), p t,0) = zq. Аналитически по t С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы (1.9), асимптотические к траектории p t,e) при t —+ —00, на максимально возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность AjT, которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью гиперболического периодического решения p t,e). [c.333]

Вполне непрерывные ядра и их собственные значения. Если теперь предположить, что К — вполне непрерывный оператор, то радиус сходимости ряда (9.3) просто равен наименьшему по величине характеристическому значению оператора К- Поскольку ядро К = G (Е) Н зависит от энергии Е, то, вообще говоря, от энергии будет зависеть и каждое из его характеристических и собственных значений. Каждое собственное значение а Е) ядра К в то же время отвечает полюсу резольвенты Е — Яо — уН ) оператора Яо уН при Y — 1/а. Если Е изменяется от —оо до +оо, то точки, соответствующие каждому собственному значению (и каждому характеристическому значению), описывают траектории в комплексной а-плоскости. Поскольку [c.225]

Допустим, что при = О собственное значение а подходит к единице слева и по мере увеличения еще продолжает двигаться вправо. Тогда эта траектория будет проходить вблизи точки а = 1, несколько выше ее в комплексной плоскости. Другими словами, когда действительная часть величины а равна единице, ее мнимая часть положительна и мала по величине. При этом можно [c.226]

Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости. Напомним некоторые факты из теории периодических решений дифференциальных уравнений. Собственные значения К оператора монодромии Г-периодиче-ского решения называются мультипликаторами, а числа а определяемые равенством К=ехр(аТ), — характеристическими показателями. Мультипликаторы X могут быть комплексными, поэтому характеристические числа а определены неоднозначно. В автономном случае один из мультипликаторов К всегда равен 1 (соответствующий собственный вектор касается траектории периодического решения). [c.229]

Траектории собственных значений а. Чтобы установить свойства сходимости борновского ряда для 5, при заданной энергии в функции от I, расслют-рим зависимость от I собственных значений а, ядра (12.149) радиального уравнения Липпмана — Швингера. С изменением I собственные значения а, движутся по некоторым траекториям в комплексной а-плоскости. При значениях I, для которых все собственные значения а находятся внутри единичного круга, борновский ряд для функции 5, сходится. Если при данной энергии ни одна из траекторий а не выходит за пределы единичного круга, то борновский ряд для любого 5 сходится. Предположим, что потенциал аналитичен (с индексом а = /оп) и подчиняется условию (12.118). Тогда, согласно неравенству (12.170), всегда существует конечный угловой момент [c.362]

Рис. 48. а. Отображение соответствия для седла с комплексным ведущим устойчивым направлением, б, в. Преобразование монодромни гомоклини-ческой траектории седла с парой комплексных собственных значений. Заштрихованы полувитки и их прообразы, б) а+Х<0, в) О .+А,>0 [c.135]

Траектории на фазовой плоскости при разных собственных значениях показаны на рис. 1.14. К примеру, седловая точка возникает, когда оба собственных значения5 действительны, hoj, < О, а 5 2 > 0. Спираль соответствует случаю, когдаij hij комплексно-со-пряженные. [c.29]

Ясно, что первоначальный тор при этом деформируется в некоторую новую поверхность (рис. 6.1.8). На этой поверхности равномерное вращение по паралеллям фГ и меридианам ф2° заменяется неравномерным движением по координатам ф1 фг обусловленным появлением в уравнении (6.1.9) дополнительного члена Это означает, что соответствующие периоды и Т , вообще говоря, изменятся. Чтобы компенсировать изменения периодов и сохранить их первоначальные значения, необходимо ввести контрчлены А1, А . Рассмотрим теперь релаксацию 2 к деформированной поверхности. Если первоначально прямоугольная система координат 2° по построению (или наглядному представлению нашей системы как точки, движущейся по поверхности тора) равномерно вращалась по ф1° и <р2 при обходе тора, [то 2 могут образовывать новую систему координат, которая не будет ортогональной. Скорости релаксации 1, 2 отличны от из-за дополнительного члена g в уравнении (6,1.10). Контрчлен позволяет исправить локально деформированную систему координат 1 2 - сделать ее снова ортогональной и восстановить первоначальные скорости релаксации. Если матрица А имеет комплексные (или чисто мнимые) собственные значения, то матрица О позволяет сохранить неизменной первоначальную матрицу Л, в то время как вектор (1 позволяет исправить (в смысле среднего) деформацию тора. Таким образом, дополнительные члены 1, g и контрчлены деформируют траектории тремя способами [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...