Двумерные системы

Для рассматриваемой двумерной системы потенциал Ур множества заряженных частиц с плотностью Рр представляется уравнением [c.496]

Степень миграции границ зерен определяется движущимися силами миграции, подвижностью границ и временем пребывания металла в области температур высокой диффузионной подвижности атомов. Движущая сила миграции определяется разницей свободных энергий границ в данном неравновесном и равновесном (после полного завершения миграции) состояниях. При прочих равных условиях движущая сила зависит главным образом от конфигурации граничных поверхностей, характеризуемой числом участков с повышенной кривизной в макро- и микроскопическом плане. Движущая сила на отдельных участках границы пропорциональна их суммарной кривизне l// i + l// 2, где 1 и / 2 — радиусы кривизны в двух взаимо перпендикулярных направлениях. Мигрирующая граница движется обычно к центру максимальной кривизны (рис. 13.12,6). Чем меньше число граней у зерна, тем больше их кривизна при заданном размере и тем интенсивнее идет миграция границ. На стыках границ зерна (для двумерной системы трех зерен) движущая сила миграции пропорциональна отклонению соотношения смежных углов от равновесного. Последнему соответствует равенство углов между тремя границами, составляющих 120° (рис. 13.12,а). В этом случае уравновешиваются силы поверхностного натяжения на стыкующихся участках границ, что соответствует наименьшему значению свободной энергии. Смещение стыка границ О в положение О приведет к искривлению границ. Это вызовет перемещение границ в направлении к центру их кривизны до спрямления, т. е. зерно А будет расти за счет зерен В и С. [c.504]

Лагранжиан двумерной системы [c.137]

Из качественного описания характерных структур двухфазных потоков ясно, насколько важно правильно идентифицировать эти структуры при расчете гидравлического сопротивления и теплообмена. Представляется очевидным, например, что при расчетах пузырькового и дисперсно-кольцевого режимов невозможно исходить из одинаковой модели. В настоящее время разработано множество методов определения границ режимов двухфазных течений (что само по себе свидетельствует об отсутствии общепринятой методики расчета). Обычно используется двумерная система координат, позволяющая на плоскости изобразить области, относящиеся к различным структурам. Координаты у разных авторов различны. Во многих случаях они размерны, что предопределяет их использование лишь для конкретных сис- [c.303]

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Теорема ([71]). Пусть правые части двумерной системы общего положения [c.190]

Теорема ([86]). Пусть правые части двумерной системы (2 bis) общего положения бесконечно дифференцируемы. Предположим, что соответствующая вырожденная система имеет замкнутую траекторию Lo, причем в каждой ее точке срыва р выполнено условие Тогда для периода Те [c.191]

Если две произвольные точки конструкции связать с помощью упругого демпфера с комплексной жесткостью k щ), то из-за возникающего при этом воздействия может измениться поведение всей системы. Например, для двумерной системы (рис.. 5.22) можно предположить, что динамические податливости для п рассматриваемых точек известны и равны [c.233]

Поскольку энтропия, внутренняя энергия и т. д. являются функциями состояния, то они, естественно, обладают свойством аддитивности. Применительно к рассматриваемой двумерной системе это означает, что [c.141]

ИТ. д. здесь sg и Mg — удельные поверхностные значения S и U (поскольку для двумерной системы не существует понятия массы и объема, то удельные значения имеет смысл относить только к единице поверхности). [c.141]

Рассмотрим теперь условия равновесия в изолированной однородной двумерной системе. Все рассуждения проведем аналогично тому, как мы делали это в 2-3 применительно к общему случаю изолированных однородных систем. [c.143]

Для рассматриваемой изолированной двумерной системы, очевидно, справедливы условия [c.143]

Решение этой двумерной системы уравнений относительно и представляет собой принципиально разрешимую двумерную задачу. [c.384]

Полная двумерная система дифференциальных уравнений [c.34]

Основные трудности при решении краевых задач с условиями на движущихся границах связаны с тем, что они не допускают непосредственного применения метода разделенных переменных -одного из наиболее мощных методов математической физики. Особенно остро это касается неодномерных задач, которые рассматриваются в пятой главе. В настоящее время отсутствуют регулярные методы точного решения двух- и трехмерных задач. В них, как правило, ограничивались отысканием приближенных решений при медленных движениях границ путем разложения искомого решения по мгновенным модам квазистатического приближения 5.10, 5.11,5.13]. Такой подход, как отмечалось выше, не адекватен физической сущности задачи и в двумерных системах не позволяет описать явление аберрации при наклонном падении волны на движущуюся границу, двойной эффект Доплера, наличие крити- [c.16]

В заключение отметим, что изложенная методика приближенного решения прямой задачи может применяться и для систем с дисперсией и вязкостью. Этот вопрос детально обсуждается в 5.7 применительно к двумерным системам, где наличие низкочастотной дисперсии рассмотренного типа является принципиальным. [c.136]

К исследованию волновых процессов в двумерных системах сводится широкий круг задач о динамических процессах, происходящих в волновых транспортерах и ленточных пилах [5.15,5.16], в скоростных бумагоделательных машинах и при прокате листового металла [34 . Кроме того, сюда же относятся задачи о деформации и рассеянии волн на нестационарных объектах, например, на развивающихся трещинах в твердых телах. Однако двумерные системы изучены значительно слабее одномерных. И в первую очередь, это связано с резким усложнением задач [5.9, 5.13, 5.14], для которых в настоящее время не только отсутствуют рациональные аналитические или численные методы решения, но во многом еще остается открытым вопрос об их корректной математической постановке. [c.184]

Уравнения (5.26) или (5.27) являются естественным обобщением уравнений Миндлина-Германа для продольных колебаний стержня на двумерные системы. [c.193]

В зависимости от геометрии системы решения уравнения (5.32) можно представить в виде суммы плоских или цилиндрических волн. Если решения (5.32) записать в виде плоских волн, то они будут зависеть от 12 произвольных функций, а соотношения (5.33) и (5.34) и условия невырожденности преобразования накладывают на них пять дополнительных условий. Оставшимися функциями можно распоряжаться по своему усмотрению, например, так, чтобы свести задачу с краевыми условиями на движущихся границах к задаче с условиями на неподвижных границах. В общем виде из соотношений (5.32), (5.33) трудно усмотреть что-либо рациональное и нужно проводить отдельное рассмотрение в каждом конкретном случае. В частности, для одномерных систем мы приходим к результатам, представленным в 3.7. Другим, довольно распространенным случаем является ситуация, когда в двумерных системах структура поля по одной из координат известна из каких-либо соображений [5.7, 5.8]. Например, пусть [c.195]

Во МНОГИХ случаях скорость движения границ системы существенно меньше скорости распространяющихся в ней волн. Это позволяет развить достаточно эффективные методы приближенного анализа волновых процессов в двумерных системах с медленно движущимися границами [5.4, 5.11]. В данном параграфе на примере колебаний прямоугольной мембраны излагается один из приближенных методов исследования, основанный на инвариантном преобразовании волнового уравнения. [c.222]

Переходное излучение в двумерных системах [c.282]

Распределение Нд по объему сварного соединения и его концентрацию в любой заданной точке определяют экспериментальнорасчетным способом. Способ состоит в экспериментальном определении исходной концентрации диффузионного водорода в металле шва Нш(0), установлении зависимости коэффициента диффузии водорода от температуры для шва, ЗТВ и основного металла и параметров перехода остаточного (металлургического) водорода Но в основном металле в Нд и обратно при сварочном нагреве и охлаждении. Расчетная часть заключается в решении тепловой задачи для заданных типа сварного соединения, режима сварки и решения диффузионной задачи. Последняя для сварки однородных материалов представляет ч 1Сленное решение дифференциального уравнения второго закона Фика, описывающего неизотермическую диффузию водорода с учетом термодиффузионных потоков в двумерной системе координат [c.534]

Критерии существования неподвижно точки многомерного точечного отображения. Уже на примере точечного отображения прямой в прямую можно было видеть, насколько сложным может быть поведение его последовательных преобразований. С увеличением размерности, естественно, трудности исследования и возможная сложность поведения значительно возрастают. Однако все же разница между одномерными отображениями и многомерными не столь разительна, как между двумерными и многомерными дифференциальными уравнениями. Некоторое объяснение этому можно видеть в том, что рассмотрение двумерной системы дифференциальных уравнений при сведении к точечному отображению прямой в прямую всегда приводит к взаимно однозначным отображениям, структура которых очень проста. В то время как исследование многомерных дифференциальных уравнений может свестись к изучению как многомерных точечных отображений, так и невзаимпо однозначных точечных отображений. [c.297]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом х означает квадрат модуля первой, а у — второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х в. у, поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [c.31]

Б двумерных системах, в структурах металл—диэлектрик — полупроводник (МJ ,n-структурах) для электронов над поверхностью жидкого гелия и в др. системах, где положпт. и отрицат. заряды разнесены в пространстве на расстояние, значительно превышающее ср, расстояние d между зарядами каждого слоя (рис. 1). Этим обеспечиваетсн од1городность фона. [c.274]

Аналогичным образом строится решение второй задачи, заключающейся в расчёте поля двумерной системы, образованной заряж. нитьео и диэлектрич. цилиндром. [c.114]

Поэтому необходимым условием ФП в Л. т. является отсутствие кубич. инвариантов у представления с номером п. Это условие не является необходимым для ФП, происходящих вне рамок применимости Л. т. В частности, в двумерной системе с группой Z, происходит ФП 2-го рода, несмотря на существование кубич. ипвариапта (см. Двумерные решёточные модели). Для сушествования ФП в однородную (не зависящую от координат) фазу необходимо также отсутствие квадратичных инвариантов типа [c.573]

В 1980 обнаружен новый тип явлений, к-рый также носит характер М. к. э.,— квантовый. Холла аффект. Он наблюдается при низких темп-рах в инверсном слое — двумерной системе электронов, удерживаемых вблизи границы раздела двух полупроводников перпендикулярным к границе электрич. полем. При наложении перпендикулярного слою магн. поля Н энерге-тич. спектр электронов разбивается на дискретные уровни Ландау. В вырожденном электронном газе заполнены те уровни Ландау, к-рые лежат ниже энергии ферми-газа, причём на каждом уровне может находиться (на единице поверхности слоя) eHih электронов, Холловская компонента тензора поверхностной проводимости Од,у в сильном магн, поле равна —Ne /H, где N поверхностная плотность электронов. Если уровень Ферми лежит между п-м п п 1)-м уровнями Ландау, то W = еН/кс)п и [c.31]

Кроме взаимодействия волны с дефектами кристалла структура Н. с. в большой мере определяется взаимодействием волны с осн. структурой. В трёхмерных системах благодаря этому взаи.модействию Н. с. в строгом смысле слова не существуют даже в идеальном кристалле. Можно показать, что при иррациональном отношении Я периода замороженной волны к периоду осн. структуры система обладает большим термодина-мич. потенциалом, чем при любом рациональном значении Я, бесконечно близком к данному иррациональному. Поэтому при данной Т существует бесконечное кол-во устойчивых фаз с разл. (рациональными) значениями Я. При изменении Т равновесная система должна испытать бесконечное число фазовых переходов между этими соразмерными (С) структурами. В большинстве случаев, однако, скачки разл. величин, напр. теплоёмкости, при таких переходах оказываются столь малыми, что свойства системы неотличимы от свойств Н. с. В двумерных системах влияние осн. структуры ослаблено из-за тепловых флуктуаций (роль к-рых возрастает при переходе к системам меньшей размерности). При конечной Т устойчивыми оказываются только соразмерные фазы с не очень большим отношением периодов. На фазовой диаграмме с ними граничат особые Н. с. с ква-зиидальным порядком , когда соответствующие корре-ляц. функции обнаруживают не простое осцилляц. поведение (как для периодич. структуры), а с амплитудой осцилляций, убывающей с расстоянием по степенному закону. [c.335]

Он возникает в двумерной системе, к-рая реализуется, напр., в инверсионном слое МДП-структуры. Если сильное магн. поле направлено перпендикулярно слою, то зависимость холловской электропроводности а от 1агн. поля содержит ступеньки , к-рые описываются ф-лой [c.41]

В двумерных системах—инверсионных слоях и квантовых ямах — в полях Н, перпендикулярных плоскости слоя, носители вследствие их высокой концентрации вырождены. Вид линии Ц. р. в этих случаях зависит не только от величины уширеннй, но и от положения уровня Ферми относительно уровней Ландау. [c.431]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

В предыдущем изложении мы рассматривали обыкновеппые дифференциальные уравнения, правые части которых являются регулярными функциями малого параметра ц. Другое направление асимптотической теории связано с исследованием таких обыкновеппых дифференциальных уравнений, в которых малый параметр j, является множителем при старпгих производных. Классическим примером такой системы является двумерная система [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...