Наибольшее собственное значение матрицы

План, обеспечивающий минимум наибольшего собственного значения матрицы D (min max X), называется -оптимальным [c.135]

Основная теорема. Пусть задана система линейных уравнений (1.10) и пусть А, А" — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А. Тогда процесс простой итерации (1.11) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем [c.211]

Если — наибольшее собственное значение матрицы то [c.191]

Л есть наибольшее собственное значение матрицы V (17.62) [c.396]

Наибольшее собственное значение матрицы V является наибольшим из (17.116), т. е., согласно (17.105), собственным значением Vo-Следовательно, наибольшее собственное значение V есть [c.406]

Наибольшее собственное значение матрицы V [c.406]

Теперь необходимо вычислить в явном виде наибольшее собственное значение матрицы V. Используя (17.117), находим [c.406]

Указанное свойство позволяет провести самосогласованное сокращение уравнений использовать только часть наибольших собственных значений матрицы А В и соответствующих правых и левых собственных век- [c.393]

Как и в выражении (5.59), остается вычислить только величину наибольшее собственное значение матрицы 2 X 2 [c.207]

Теперь найдем наибольшее собственное значение матрицы Яз и соответствующий ему собственный вектор в пространстве Д пусть это будут / и Vjч. Если j было вырождено, то, очевидно, = j если же з — простое собственное значение, то . Образуем снова [c.135]

Неравенство (3.48) является аналогом условия (3.41). Имеются некоторые алгебраические условия, достаточные для того, чтобы выполнялось неравенство (3.48). На практике, однако, их используют редко, и мы не будем их приводить. Сформулируем лишь простой необходимый признак устойчивости. Обозначим через к], Х2,. .., Лр собственные значения матрицы перехода 5. Очевидно, А,2",. .., Хр" — собственные значения матрицы S". Наибольшее по модулю собственное значение матрицы не превышает ее нормы (см. 1.6), поэтому [c.87]

Матрица В порядка (п — 1) имеет собственные значения fi2,. .., fi . Собственное значение 2 находят одним из методов вычисления наибольшего собственного значения. Далее из равенства [c.85]

Для данной оболочки при известном выражении функции [2 величина Я зависит от параметра р, характеризующего количество волн по окружности. При заданном значении р Л находится как наибольшее собственное число матрицы А. Самое большое число Я из всех наибольших собственных чисел Я, соответствующих частным значениям р, определяет наименьшую величину критического усилия [c.224]

Величина Яр является функцией параметра %, характеризующего материал и Геометрию оболочки, частоты изменяемости усилий р и параметра волнообразования в окружном направлении р. При заданных значениях jo и / величина Яр определяется как самое большое из всех наибольших собственных чисел матрицы А, соответствующих частным значениям параметра р. На. рис. 16.3 для р = 1 10 в зависимости от % приведены зна- [c.224]

Коэффициент показывает, во сколько раз амплитуда неоднородного критического давления больше верхнего критического однородного давления 7в. Задача по отысканию критического состояния оболочки сведена к нахождению наибольшего собственного значения X бесконечной матрицы А. Собственный вектор С, соответствую-Ш.ИЙ этому Я , позволяет найти прогибы оболочки. Вычисление Я удобно производить методом итераций. [c.233]

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предварительно умножив исходную систему на матрицу, обратную Л [c.56]

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу матрицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания Для исходной симметричной матрицы Л с известным наиболь шим собственным значением Xi и собственным вектором Xj дюж но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать [c.56]

Методом итераций найти наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы [c.69]

Второе доказательство перемешивания. Рассмотрим совокупность всех параллелограммов в Т , стороны которых параллельны собственным векторам матрицы Ь. Так как эти параллелограммы образуют достаточную совокупность, согласно первому утверждению предложения 4.2.10 достаточно установить (4.2.7) для любых двух таких параллелограммов А а В. Для больших п прообраз Р -"(А) представляет собой проекцию на очень длинного и узкого параллелограмма из Е . Длинные стороны представляют собой отрезки орбиты длины = цЛ" иррационального линейного потока 2 , где Л, —наибольшее по модулю собственное значение матрицы Ь и ш = (ш[,ш2) — собственный вектор, соответствующий меньшему (сжимающему) собственному значению отображения Ь. Пусть J = Г (а ) 4 о — любой такой отрезок. Отношение той его части, которая лежит внутри В, ко всей длине равно [c.165]

Доказательство. Будем считать, что период р минимален, и рассмотрим отображение / =/ . Заметим, что по лемме 15.3.3 граф Маркова / относительно разбиения, индуцированного периодической орбитой, содержит подграф (15.3.1). По теореме 15.1.9 и теореме Перрона — Фробениуса 1.9.11 достаточно показать, что энтропия (15.3.1) равна наибольшему корню многочлена х — 2х — 1. Таким образом, мы должны вычислить характеристический многочлен марковской матрицы, ассоциированной с (15.3.1), т. е. нам нужна формула для нахождения наибольшего собственного значения (п х п)-матрицы [c.506]

Таким образом, показано, что наибольшее собственное значение меньше единицы. Следовательно, все собственные значения матрицы [1) + Ь] должны быть меньше единицы. Собственное значение, имеющее наибольшую абсолютную величину, называется спектральным радиусом матрицы. Следовательно, полученный выше результат состоит в том, что спектральный радиус матрицы 0" [и + меньше единицы. [c.121]

Кроме двух наибольших собственных значений A(v) трансфер-матрицы V(v) в пределе больших N можно последовательно вычислять другие собственные значения. Поскольку подобные вычисления связаны с проблемой нахождения статистической суммы Л У2-цепочки, обсуждаемой в разд. 10.14, значительная их часть уже выполнена [95, 118, 119, 227 — 229, 264]. [c.244]

По-видимому, данные уравнения можно продолжить в область малых отрицательных значений переменной и. Получающиеся при этом значения к (и) совпадают, вероятно, со значениями аналитического продолжении к (и) из области положительных и. (Для отрицательных и функция ) не определяется формулой (13.1.4), поскольку порядок собственных значений матрицы ехр(-м обращается. В этом случае необходимо нормировать на единицу наименьшее собственное значение, а не наибольшее.) [c.383]

Сформулируем еще одно утверждение модуль каждого собственного значения матрицы Л не превосходит любой из ее норм. Отсюда l maxl ЦЛ , гдб Ащах — наибольшее собственное значение матрицы Л. [c.24]

Вероятностно-статистическое содержание чисел обусловленности матриц. Кроме рассмотренных чисел Kyi и Тюринга, для оценки обусловленности матр 1Ц Д. К. Фаддеевым предложено число //х, равное где — наибольшее собственное значение матрицы А А %п — наименьшее собственное значение этой матрицы. Здесь индексом т отмечено транспонирование матрицы А. Вероятное содержание числа при нормальном законе распределения погрешностей коэффициентов матрицы А соответствует отношению большой и малой осей эллипсоида рассеивания результатов решения уравнения [c.182]

А — наибольшее собственное значение матрицы K AtBt tDt, не содержащееся среди собственных значений матрицы AdBd dDd. [c.395]

Последний предельный переход справедлив при очень больших значениях N. Из формулы (5.62) следует, что отношение собственных значений при Я = О равно 111 К. Другими словами, всегда имеется ближний порядок, причем корреляционная функция экспоненциально затухает вдоль цепочки [ср. с формулой (1.37)] однако при Т = О, когда два корня (5.62) становятся одинаковыми, размер области упорядоченности стремится к бесконечности. Это есть частный случай общей теоремы, согласно которой дальний порядок существует тогда и только тогда, когда наибольшее собственное значение матрицы переноса асимпт.отически вырождено [29]. [c.196]

ОНИ представляют собой частные случаи восъмивершинной модели ( 1.4) с определенными значениями параметров взаимодействия Jij и /7 в гамильтониане Изинга общего вида (1.26а). Для этой модели матрицу переноса можно выразить через операторы Паули [ср. с формулой (5.109)] и найти общие условия существования матрицы, с которой она коммутирует, т. е. имеет общие собственные функции. Подобно тому как формула Бете (5.91) определяет собственные функции и гейзенберговской цепочки, и плоской модели сегнетоэлектрика (хотя и с очень различными собственными значениями), здесь тоже можно построить общую алгебраическую схему [52], в которой наибольшее собственное значение матрицы переноса выражается в виде функции энергетических параметров задачи. Последние приписываются различным восьмивершннным конфигурациям, изображенным на рис. 1.10. При этом получается, например [53], что зависимость спонтанного дальнего порядка от температуры определяется отношениями названных параметров. Частными примерами могут служить модели Изинга п KDP. Очевидно, наиболее интересным было бы применение этого мощного математического метода к общей теории фазовых переходов [c.217]

Пусть Д —- базисное пространство представления матрицами О порядка п. Для этого представления определим матрицы Я+, Я и Щ и найдем наибольшее собственное значение матрицы Яз. С помощью матрицыЯ образуем цепочку собственных векгоров у, матрицы Яз, соответствующих собственным значениям, различающимся на единицу. Примем эти векторы за первые 2/ + 1 ортов в новом базисе пространства Еп , остальные оргы этого базиса, определяющие подпространство В , возьмем пока произвольно. Пространство можно рассматривать как прямую сумму подпространств 2/+ и В [c.135]

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], О Браейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. [c.27]

Используя подход, при котором находится максимальное собственное значение, получаем вектор в качестве оценки основной шкалы отношений. Основываясь на методе наименьших квадратов, можно получить матрицу PrXV Qr пониженного ранга (в нашем случае единичного), которая является наилучшим приближением в смысле наименьших квадратов к заданной матрице суждения. Естественно, что эта матрица является лучшим приближением в смысле наименьших квадратов, чем матрица w — wi/wl), т. е. если определить F = A—Pr V QJ и G=A — W и просуммировать квадраты их элементов, то можно легко показать, что первая сумма равна tr(f/ ) = trA.5, где As — диагональная матрица собственных значений, не включенных в (в нашем случае Лг — наибольшее собственное значение матрицы ЛМ и trAs — сумма остальных собственных значений). Можно показать, что 1г[(Л — ) (Л — iv FF ), как и должно быть на самом деле. Однако задача заключается в получении вектора шкалы из аппроксимированной методом наименьших квадратов матрицы PA Qr. Если предположить, что эта матрица почти согласованна, то можно использовать любой из ее столбцов (нормализованных) как приближение к основной шкале. Но теперь возникает вопрос, насколько хорош этот вектор по сравнению с максимальным собственным вектором. В нашем примере использовалось среднеквадратичное отклонение от известных основных шкал в задачах, где желательно было провести сравнение. Как будет показано в приведенном ниже примере, максимальный собственный вектор явно превосходит вектор, полученный методом наименьших квадратов (как мы его интерпретировали), если его рассматривать как приближение к реальности. [c.254]

Величина X находится как наибольшее собственное число матриць/ А, которая имеет двухленточное строение. При этом необходимо производить минимизацию по параметру Я. Результаты вычислений по ЭВМ, выполненные методом степенной итерации [14.2], показаны на рис. 12.3 кривой линейная теория . При этом = AqIT — отношение амплитуды усилия к критическому усилию однородного сжатия. Эта величина отличается от единицы только при малых значениях R/h, т. е. в случае относительно толстых оболочек. Таким образом, можно считать, что амплитуда осевого критического усилия при изгибе моментом близка к критическому однородному усилию. Физически это можно объяснить локальностью формы потери устойчивости — изменение усилий в пределах вмятины незначительно. Форма потери устойчивости на половине развертки оболочки показана на рис. 12.2. Изложенная постановка линейной задачи устойчивости при изгибе моментом принадлежит Флюгге [5.4]. [c.194]

Процедура начинается с пробного нормированного вектора Х Этот вектор умножается слева на матрицу Л, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X . Если вектор X совпадает с вектором Х " , то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходилюсти этого итерационного процесса зависит от того, насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной. [c.52]

Хп. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение К было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение Я,, можно применить к матрицей обычный итерационный метод. Определив Хг и Хг, повторим весь процесс, используя новую матрицу А , полученную с помощью Л, Хз и Хг. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, нач1 ная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия. [c.57]

Здесь не было рассмотрено применение итерационного метода к задачам на собственные значения, представленным в виде уравнений движения в усилиях [см. уравнение (4.17)1, поскольку главным при этом были бы наибольшие собственные значения р. В задаче, в которой проще определяются коэффициенты жесткости, а не податливости, можно всегда обратить неособенную матрицу жесткостей S и тем самым получить матрицу податливостей F, которая имеется в уравнении (4.103). С другой стороны, для полуопределенной системы, матрица жесткостей которой является особенной, требуется проводить специальное исследование. В этом случае матрицы жесткостей и податливостей следует редуцировать путем перехода к новой системе координат, чтобы исключить формы движения как абсолютно жесткого тела, которые можно определить с помощью простого рассмотрения и составить процедуру для исключения этих форм. [c.299]

Теорема (Перри [39] [36]). /itopi TliP) = 1пА, где А — наибольшее положительное собственное значение матрицы П (р < ос). Существует единственная борелевская Т-инвариантная мера // на для которой htop(T) = h,,, T). [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...