310 — Пример собственных значениях

Из (27.7) следует, чю К переворачивает спин, а функцию Блоха 1 )(Л, г) преобразует в г). 1е же соображения, как при выводе (20.20), показывают, что (к, г) со спином вверх вырождено по отношению к 1 >(—А, г) со спином вниз . Следовательно, и здесь справедлива теорема Крамерса Е(к) = Е[—к), но с дополнением, что оба собственных значения принадлежат состояниям с противоположно направленными спинами. Вырождение, связанное с обращением времени, не ограничено приведенным примером. Собственные значения, которые из соображения симметрии не должны быть вырожденными, могут оказаться таковыми из-за обраш,ения времени. [c.124]

В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае это — алгебраическое уравнение степени п. Как видно из рассмотренных примеров, при малых п, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть [c.582]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Рассмотрим в качестве примера определения собственных значений прямолинейный участок трубопровода с упругой опорой (рис. 9.3). Если в уравнении (9.27) малых колебаний прямолинейного трубопровода положить 1с = 0, то получим уравнение колебаний стержня, показанного на рис. 9.3. Можно воспользоваться и системой уравнений первого порядка (9.25), что более удобно при численном счете. Полагая [c.267]

В ряде случаев при решении задач теплообмена встречаются конечные уравнения или системы конечных уравнений. Эти уравнения могут быть алгебраическими или трансцендентными. В качестве примера трансцендентной системы можно привести систему (1.26), решение которой позволяет определить равновесный состав газовой смеси. Отыскание корней многочленов встречается при нахождении собственных значений характеристического многочлена (например, в задаче расчета многокомпонентной диффузии в случае течения Куэтта, гл. 8). В данной главе приводится пример решения трансцендентного уравнения, связанного с расчетом температуры поверхности летательного аппарата (ЛА) с учетом излучения его поверхности. Приведем некоторые методы решения конечных уравнений. [c.66]

Рассмотрим решение этой проблемы на примере оператора К. Уравнение (21.53) для определения собственных функций и собственных значений имеет вид [c.147]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Пример. Рассмотрим гиперболическую особую точку векторного поля в R" с устойчивым многообразием W и неустойчивым 11 . Пересечение М неустойчивого многообразия с некоторой окрестностью особой точки поля является отрицательно инвариантным многообразием. Пусть %i — собственные значения особой точки с отрицательной, а — с положительной вещественной частью. Тогда показатели притяжения к Л1 и сближения на М имеют вид [c.154]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Характеристическое уравнение, дающее собственные значения задачи, можно найти, приравняв нулю определитель полученной системы. При аналитическом решении значительно удобнее не раскрывать определители высокого порядка, а, последовательно исключая неизвестные из исходной системы уравнений, выразить постоянные Л, через какую-нибудь одну из них, заведомо не равную нулю. В рассматриваемом примере согласно первым двум уравнениям системы (3.8) Лг = Л4 = 0. Из третьего уравнения [c.83]

Приведенные примеры, разумеется, не исчерпывают всех особенностей применения МКЭ для расчета собственных колебаний конструкций и служат в основном иллюстрацией выбранного метода решения частной проблемы собственных значений. [c.112]

Применение метода нормальных и краевых интегральных уравнений для практического расчета собственного значения и собственной функции покажем на примере станка АТ2-120-ШЛ5, на котором опоры являются сравнительно жесткими. Допустим, что i = оо и = оо. Отметим, на брусе батана ряд сечений, охватывающих характерные переходы в изменении плотности т х) и жесткости EI (х). [c.198]

Пример 7.10. Возможности МГЭ проиллюстрируем решением задач устойчивости и динамики рассмотренной системы (рисунок 7.18,е). Собственные значения конструкции определяются как корни трансцендентного уравнения (3.2), где, в отличие от метода перемещений, отсутствуют точки разрыва 2-го рода. Пусть сжимающая сила приложена к модулям 1-0 и 3-0 (рисунок 7.18,к). В матрицей системы уравнений (7.134) необходимо менять фундаментальные функции по методике п. 7.5. При определении критической [c.488]

Подстановка (6.2.21) в граничные условия (6.2.19) приводит к системе однородных алгебраических уравнений для определения постоянных j. Из условия существования ненулевого решения определитель, составленный из коэф-фициентов при Ср должен быть равен нулю, что и дает уравнение для определения собственных значений. В рассматриваемом примере получим sin t/=0. Следовательно, собственные значения 1Сп=пк/1, п—, 2,... [c.335]

Пример б. В качестве модели распределенной системы с наследственным трением рассмотрим стержень из стандартного линейного вязкоупругого материала, нагруженный мертвой силой <2 и следящей силой Р (см. рис. 7.3.11, г). После отделения времени при помощи подстановки (х, 1) = (х ) ехр(Х/) приходим к обобщенной задаче о собственных значениях относительно безразмерного характеристического показателя ц = А, / параметров нагрузки а и Р и параметров диссипации у и Г (1 + т)ц)Ж -1-(а-ьр)(1-1-ут 11)Ж -1- [c.482]

Рис. 4.44. Типичный пример колебательного поведения модуля собственного значения а в зависимости от эквивалентного числа Френеля для трех последовательных мод.

С математической точки зрения проблема заключается в определении собственных значений и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы уравнений (5.3.4). В отдельных случаях (каноническая форма пластинки, однородное докритическое состояние, специальный вид краевых условий) решение этой задачи не вызывает затруднений и осуществляется элементарными методами. Примером может служить задача об устойчивости шарнирно закрепленной прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в своей плоскости в одном или в двух направлениях. Однако в большинстве случаев исследование устойчивости равновесия пластинки является сложной математической проблемой, требующей для своего решения применения специальных методов. [c.144]

Такой выбор координатных векторов достаточен для корректного определения критической интенсивности давления при несимметричной форме потери устойчивости. Учет влияния докритических деформаций осуществляется последними L векторами системы (7.3.14). При решении задачи устойчивости без учета таких деформаций эти векторы следует отбросить, сохраняя в системе (7.3.14) лишь первые L векторов. Следовательно, в рассматриваемом примере под матрицей Z x) и матрицей коэффициентов системы (7.3.8) следует понимать 8 X 2L и 2L X 2L матрицы соответственно, если докритические деформации учитываются, и8 х L ш L х L матрицы — в противном случае. Соответствующие краевые задачи (7.3.12) решены методом инвариантного погружения, причем при интегрировании возникающих в этом методе задач Коши использовался метод Рунге — Кутта второго порядка [41 ]. Внешние интегралы в системе (7.3.8) вычислялись с использованием квадратурной формулы Симпсона [41 ], а собственные значения матрицы коэффициентов этой системы определялись обобщенным методом вращений [83]. [c.209]

Представления (7.4.64) обозримы, легко реализуются на ЭВМ и вместе с соотношениями (7.2.14), (7.2.28), (7.4.61), (7.4.65) позволяют эффективно вычислять матрицу Грина линейной краевой задачи (7.4.1), (7.4.56). В качестве примера их использования вновь рассмотрим задачу об устойчивости равновесия слоистой длинной цилиндрической круговой жестко защемленной панели радиуса R и толщины h, нагруженной равномерно распределенным давлением интенсивности Р. Вместе с краевой задачей на собственные значения (7.3.13), к интегрированию которой сводится исследование устойчивости панели, будем рассматривать ассоциированную с ней краевую задачу [c.221]

Все известные решения об устойчивости в нелинейной теории упругости основаны на бифуркационном критерии. Как показано в 10, этот критерий приводит к правильному ответу только в случае, когда собственные значения соответствующей краевой задачи действительны. Большинство авторов не проверяет выполнение этого условия. В обсуждаемой области до сих пор нет ни одного решения для динамической потери устойчивости, так же как и нет хотя бы одного решения для зависящей от времени нагрузки. Очень интересным примером было бы, например, рассмотрение сферической оболочки, нагруженной давлением, линейно возрастающим со временем. Это решение позволило бы дать ответ на вопрос влияние начального движения стабилизирующее или дестабилизирующее Тот же вопрос можно поставить и относительно целого ряда других движений (например, квазиравновесного движения [1] см. также 25). [c.111]

Проиллюстрируем некоторые черты обобщенного метода на примере упоминавшегося варианта, в котором собственны . значением является импеданс поверхности подробно этот аппарат изложен в 9. Пусть решается простейшая двумерная скалярная задача дифракции (внутренняя или внешняя) на круговом цилиндре радиуса а. Искомое поле t/(r, ф) должно удовлетворять граничному условию [/(а,ф) = 0, волновому уравнению с правой частью (возбуждающие токи), а если решается внешняя задача — то еще и условию излучения. Собственные функции и собственные значения упомянутого варианта обобщенного метода для этой задачи можно выписать в явном виде. [c.9]

Числа Wn и рассматриваются как собственные значения, которым соответствуют собственные функции (1.1). В этом простом примере их легко найти [c.10]

Собственные значения р , описывающие одновременно внешнюю и внутреннюю задачи, как уже говорилось, обращаются в нуль на резонансных частотах для внутренней полости цилиндра в нашем примере—при корнях уравнения 7 (йа) = 0, 1 п(ка) = 0. В выражении для поля (10.3) эти лишние для внешней задачи резонансы отсутствуют — согласно (10.10), (10.12), (10.14), на этих частотах обращается в нуль числитель А , и соответствующая собственная функция не принимает участия в формировании дифрагированного поля. [c.103]

Проиллюстрируем формулы этого параграфа на примере задачи дифракции на круговом диэлектрическом цилиндре радиуса а с проницаемостью е (ц = 1) при условиях непрерывности поля и его нормальной производной (г)=1) на границе. Собственные функции и собственные значения однородных задач (11.7), (11.9) и [c.115]

ДОВОЛЬНО ТОЧНО описывающий полное решение. С другой стороны, при очень высокой добротности появляются вычислительные трудности в решении однородной задачи. Так, в интегральном уравнении р-метода в районе резонанса искомое собственное значение оказывается очень малым по модулю и поэтому может быть найдено с невысокой относительной точностью. Однако, как показывают приведенные примеры, область значений параметров, которую можно исследовать этими методами, остается достаточно широкой. [c.238]

По аналогии с предыдушнми примерами собственные значения можно вычислить из блока ь(0) = + Л + Ве . Это (2 X 2)- [c.246]

Однако иногда исследование устойчивости для случая пг > 2 приводит к результатам, отличным от случая т = 2. Предполоншм, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми) при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены os pi и sin рг. Формальное доказательство мы отложим до 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера. [c.420]

Теперь мы займемся линейной молекулой типа A,B, примером которой может служить СОа. На первый взгляд, можно ожидать, что появятся четыре собственных значения, отличных от нуля, поскольку теперь остались только две циклические коордплаты, соответствующие вращению. Это соответствует, конечно, пяти степеням свободы жест- [c.85]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений — корни уравнения (7.62). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (7.2). Уравнение (7.62) позволяет определять критические силы как статическим (при со=0), так и дцнамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (7.62) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ОХ (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 7.1 одна полуволна в направлении оси ОХ и множество полуволн в направлении оси ОУ). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (7.62) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и дцнамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.436]

Пример 7.7 Рассмотрим осесимметричные задачи на собственные значения, когда образуется одна полуволна в радиальном направлении и отсутствуют полуволны в направлении угловой координаты ( шляпообразные формы колебаний и потери устойчивости). Матрица С преобразования (1.46) будет единичной, а матрица собственных значений примет вид N ,=N =0) [c.475]

В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод Релея — Ритца, который является эффективным средством нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях балки. [c.69]

Мы Проиллюстрировали метод Релея — Ритца для задачи о свободных колебаниях. Очевидно, что этот метод применим и к другим задачам на собственные значения. Подробности и примеры численных расчетов по методу Релея — Ритца в приложении к задачам на собственные значения читатель найдет в [13, 16 и 26]. [c.72]

Кроме рассмотренных возможны также такие ситуации, когда матрицы и имеют нулевые собственные значения. Тогда множества в. 4э, на которых лежат решения уравнений (2.4.3), вырождаются либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных решений системы уравнений (2.4.3). При этом возможно большое число различных комбинащш. Рассмотрим в качестве примеру одну из них. [c.81]

Следовательно, полученное распределение будет собственным решением уравнения (4.81а). Этот способ позволяет рассчитать также собственные значения и, следовательно, как было показано выше, дифракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первоначальное распределение поля представляет собой четную функцию величины I, то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначальное распределение поля должно быть нечетной функцией величины . В качестве примера на рис. 4.21 Приведены результаты, полученные для амплитуды поля U = U x/a,N) в случае, когда начальное распределение поля Ui выбрано однородным и симметричным (т. е. Ui = onst). При N = 6,25, чтобы достичь стационарного решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. = 1 при 0[c.194]

На первом из них схематически изображен резонатор, предложенный и испытанньш (на примере гелий-неонового лазера) в [3]. Здесь спектр собственных значений разрежен наиболее радикально. Размеры ueHipajibHo-го участка левого отражателя лунки — подбираются так, чтобы они бьши равны размерам пятна основной моды устойчивого резонатора, образованного этим участком и правым зеркалом. Тогда потери этой моды невелики. Соответствующие другим модам более широкие п чки выходят за пределы центрального участка и рассеиваются в периферийной части резонатора, что приводит к значительному росту потерь. [c.215]

X 6L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 2L-E(ju) X 2Ь-Е /л) матрицы. В рассмотренном далее примере краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения, а при численном решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с предварительным приведением матрицы коэффициентов системы (8.6.26) к форме Хессснберга [353 ]. При вычислениях принималось L = 6, что согласно оценкам, полученным в предыдущих разделах, достаточно для обеспечения высокой точности результата. Данные о скорости сходимости метода относительно параметра /г приведены ниже. Расчеты выполнены с использованием МВК Эльбрус-2. [c.272]

Обозначим через = 0,т, различные собственные значения матрицы А. Левая часть характеристического уравнения с1е1(Л— —а1) = О для определения ау будет иметь вид многочлена ПО а степени т + 1, коэффициенты которого (а тем самым, и корни) вычисляются достаточно сложно. В качестве наглядного примера приведем запись многочленов для различных групп запаздываюш их нейтронов Р2(< ), Рз(< ) и Р4(а). [c.302]

Аппарат, развитый в первых двух гла.вах книги, иллюстрируется в первой половине параграфа (пп. 1—6) на примере элементарной одномерной задачи. Задача эта имеет явное решение, и применение к ней различных вариантов обобщенного метода собственных колебаний позволяет получить разложения этого решения в беско-вечные ряды по различным функциям. Сравнение этих решений позволит, в частности, проиллюстрировать соотношения между резонансными кривыми, описывающими для одной и той же задачи амплитуду резонансного слагаемого в различных разложениях. В пп. 7—9 стационарные функционалы главы III используются для нахождения собственных значений двух — тоже одномерных— однородных задач. Так как эти собственные значения легко находятся непосредственно, то на этих примерах удается установить практическую скорость сходимости метода Ритца в применении к комплекснозначным функционалам. [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...