Оператор резольвенты

Таким образом, мы получили новую форму решения начальной задачи, эквивалентную решению (15.1.10). Введем оператор резольвенты, определив его формально как [c.149]

Обобщая соотношение (15.2.9), получаем определение оператора резольвенты полного оператора Лиувилля [c.160]

Дальнейшее преобразование оператора резольвенты. Неприводимый оператор эволюции % ( ). [c.168]

ПО степеням Л. Удобнее, однако, построить теорию возмущений для оператора резольвенты [129, 176] [c.108]

Аналитические свойства оператора резольвенты [c.152]

Оператор резольвенты (а — КУ замкнутого оператора К является аналитической (операторной) функцией комплексной переменной а, регулярной во всех точках а в резольвентном множестве (19311, стр. 291). Понятие аналитической операторной функции было введено в гл. 6, 7, п. 2. Если К — вполне непрерывный оператор, то оператор (а — К) аналитичен всюду в комплексной а-плоскости, за исключением изолированных полюсов конечного порядка, которые все заключены в конечной области и которые не могут иметь каких-либо точек сгущения, кроме точки а = 0. [c.199]

Допустим, что при а = ао оператор резольвенты (а — КУ имеет полюс конечного порядка М Ф 0. Тогда можно записать разложение [c.199]

Обратное утверждение здесь доказываться не будет (см. [8241, стр. 310). Допустим, что существует целое число п, такое, что область значений и нуль-пространство оператора (ао — /С)" являются взаимно дополнительными, а область значений оператора (ао — /С)" замкнута, и пусть т 1 — наименьшее из таких целых чисел. Тогда оператор резольвенты (а — К) имеет в точке ао полюс порядка т. Если областью определения оператора К является все ( -пространство и /С — вполне непрерывный оператор, то каждая ненулевая точка спектра является полюсом ([8241, стр. 311). По существу этот результат вытекает из факта конечности верхнего и нижнего индексов вполне непрерывного оператора. [c.201]

Полезно сопоставить понятие верхнего индекса оператора и появление полюсов более высокого порядка у оператора резольвенты со свойством, на возможность существования которого иногда не обращают внимания. Допустим, что верхний индекс оператора К — а больше единицы. Тогда существует вектор Фа, который принадлежит как области значений, так и нуль-пространству оператора К — а [c.201]

Поскольку вектор Фр не может быть ортогонален всем векторам Р, то из этого следует, что скалярное произведение в правой части не может обращаться в нуль для всех Фв- Таким образом, существует собственный вектор Фр оператора Ю, принадлежащий собственному значению р, который ортогонален всем собственным векторам оператора К, принадлежащим собственному значению р, и существует собственный вектор Фр оператора К, принадлежащий собственному значению р, который ортогонален всем собственным векторам оператора Ю, принадлежащим собственному значению р. Такие векторы существуют тогда и только тогда, когда при а = р оператор резольвенты (а — К) имеет полюс порядка больше единицы. [c.202]

Пусть i n , п = О, 1,2,. . ., оо, есть полный набор ортонормированных векторов. Введем оператор а согласно уравнениям а Уд = О, аЧ п = л = 1, 2,. ... а) Указать область определения и область значений оператора а. Найти спектр оператора а, указав по отдельности точечный, непрерывный и остаточный спектры. Является ли а изометрическим оператором Имеет ли он левый или правый обратный оператор Если да, то каковы эти операторы Является ли а ограниченным оператором Является ли Он вполне непрерывным оператором Является ли он нормальным оператором Чему равны его верхний и нижний индексы Найти область аналитичности оператора резольвенты (г — )" . Для каких значений Y и для каких V уравнение Ч = V -г имеет решение Когда оно единственно б) Дать ответ па те же самые вопросы для оператора Ь =- а К [c.204]

Здесь оператор Я называется резольвентным. Ядро Л I, т) оператора Л называется резольвентой ядра К (1, т). Интегральный оператор Вольтерра однозначно определяет свое ядро. Определим последовательность ядер Л I, а) с помощью формул [c.19]

Отметим, что резольвентой В (г, т) оператора Вольтерра (1.1.12) с ядром Е (т) К t, т), где К дается формулой (5.16), служит функция [15,17] [c.65]

Сравнение (5.23) н (5.24) показывает, что резольвента оператора Вольтерра с ядром Е (т) К (i, т) равняется — R (t, %) Е t). Возьмем теперь меру релаксации Q (t, т) в форме, подобной (5.13), т. е. положим [c.67]

Заметим, что ядро релаксации Я I, х) является резольвентой ядра К t, т) оператора [c.296]

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Свойства обратного (по параметру х) преобразования Лапласа, связующего решение нестационарных н стационарных задач, определяются резольвентами задач дифракции. При реализации этой связи методами контурного интегрирования на комплексном многообразии [148, 150] естественно возникает вопрос об особенностях аналитического продолжения резольвенты задачи дифракции с действительной оси. Он рассматривается в рамках спектральной теории решеток, изучающей задачи дифракции при комплексных значениях частотного параметра х [25, 62, 66, 80, 151]. При этом в отличие от традиционных задач дифракции основное внимание уделяется не регулярным точкам х, где соответствующие операторы ограничено обратимы, а дополнительному к ним множеству — спектру, изучению характера особенностей и закономерностей их распределения в комплексном пространстве [152—187]. [c.10]

Оператор резольвенты широко используется в работах Пригожина (см. библиографию к гл. 14), Балеску (см. библиографию к гл. 6) и Резибуа [c.156]

Недостаток уравнений (16.4.8), (16.4.11) состоит в том, чтО они устанавливают связь между компонентами резольвенты 31 (z) и компонентами оператора П> по определению не зависящими от z. Было бы удобнее вместо них получить соотношения, в которые входили бы только не зависящие от z операторы. Способ построения зтих соотношений подсказывается самой структурой оператора резольвенты. С первого взгляда видно, что значение z = О играет совершенно особую роль все члены наших уравнений (кроме одного) имеют явно выраженную сингулярность (полюс) в точке Z = 0. Разумеется, априори нам ничего не известно относительно поведения других зависящих от z операторов в уравнениях, в частности относительно их сингулярностей. Поэтов1у на данном этапе мы вынуждены сделать дополнительные предположения о характере их поведения. На первый взгляд эти предположения кажутся произвольными, поэтому постараемся успокоить встревоженного читателя. То утверждение, которое вводится здесь как жесткий постулат, в действительности является квинтэссенцией опыта, накопленного в течение многих лет работы с такими операторами. Позже будет показано, что существуют нетривиальные физические системы, удовлетворяюпще этим предположениям. [c.174]

Связь с условием полноты. Допустим, что ограниченный оператор К имеет только точечный спектр а , и пусть верхний и нижний индексы оператора К — равны Мп- Кроме того, допустим, что оператор резольвенты (а — К) можно разложить в ряд Миттаг-Леффлера [c.202]

Спектральные возмущеннп операторов, резольвенты которых сходятся по норме. Приложения к усредиеиию и сингулярным возмущениям [c.278]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Мы убедились, что если ядро принадлежит к резольвентному тишу, то его резольвента будет онять-таки резольвентным ядром, порождаемым также оператором К, но при другом значении параметра. Операторное тождество [c.579]

В основе излагаемого метода лен ат следующие соображения. Пусть даны два ядра Ql I, т) и 2 t т) оператора Вольтерра, резольвенты 0 ( , т) и Ь, т) которых известны. Введем далее лдра 1, т) и Кз t, т) по формулам [c.70]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

А. с(.г, х ) u x )dx, к к-рому можно применить теорию Фредгольма. Задача Lu — ku н.мест не более счётного числа собстн. значений Aj, л.2, Яз,. . , , нее К вещественны и не имеют коничпы.ч точек сгущения. Если комплексное число h не является собств. значением оператора L, то мож-но построить Г, ф. G x, х л) оператора L—I.I, где I — единичный оператор. Ф-цпя G(x, х Я), паз. резольвентой оператора L, является м е р о-м о р ф п о й ф у и к ц и с й параметра "к, причём её полюсами служат собств. значения оператора L. Т. о., снсктр оператора L можно найти, изучая его резольвенту С(х, х Я), [c.537]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Для эрмитовых Af проекторы также эрмитовы, X вещественны, а собств. подпространства ортогональны друг другу. При к, pi ki матрица kJ — М имеет обратную. Вообще, в конечномерном случае есть две возможности лябо (I) X — регулярная точка и резольвента (X/ — Af)- существует как оператор на всём векторном пространстве, либо (II) к, — точка спектра и резольвента не существует, [c.605]

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) и появляется третья возможность (III) ур-ние Ах = кх имеет лишь нулевые решения в но резольвента (X/ — М) не определена на всём Объединяя вторую (точечный, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество таких Я, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём При этом Я принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора X/ — А плотна в Я, и остаточному — в противном случае. У ограннчевшых самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует. [c.605]

Итак, мы убедились, что можно полностью и явным образом решить задачу об эволюции системы без взаимодействия. При этом могут быть использс аны два эквивалентных метода метод пропагатора 11 t) и метод резольвенты (z), каждый из которых обладает своими преимуществами. Оба оператора диагональны во всех представлениях, использованных в зтом разделе. [c.150]

Чтобы придать смысл этому уравнению, нуноно воспользоваться соотношением между полной и невозмущенной резольвентами. Для вывода такого соотношения используем следующее тождество, справедливое даже для некоммугарующйх операторов А и В [c.161]

Однако в представлениях (16.1.12) и (16.1.22) эти операторы не возникают. Позтрму прежде чем преступить к намеченной программе, необходимо сначала найти такое представление про-г пагатора 41 (t) и резольвенты S (z), где бы явно фигурировали проектщонные операторы Y ж С. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...