Собственные значения расчет

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

В ряде случаев при решении задач теплообмена встречаются конечные уравнения или системы конечных уравнений. Эти уравнения могут быть алгебраическими или трансцендентными. В качестве примера трансцендентной системы можно привести систему (1.26), решение которой позволяет определить равновесный состав газовой смеси. Отыскание корней многочленов встречается при нахождении собственных значений характеристического многочлена (например, в задаче расчета многокомпонентной диффузии в случае течения Куэтта, гл. 8). В данной главе приводится пример решения трансцендентного уравнения, связанного с расчетом температуры поверхности летательного аппарата (ЛА) с учетом излучения его поверхности. Приведем некоторые методы решения конечных уравнений. [c.66]

Собственные значения энергии щелочных металлов. Атом водорода является простейшим атомом, и его расчет оказывается возможным сравнительно простыми аналитическими методами. Для других атомов задача значительно усложняется и приходится пользоваться приближенными и численными методами. Однако для щелочных металлов многие важные результаты могут быть получены сравнительно просто. Это обусловлено их строением. [c.198]

Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Л/2 и — Л/2 [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. [c.211]

Был произведен расчет собственных значений по уравнению (4.24) для пластинок в форме четверти круга, закрепленной по всему контуру. В таблице 1 приведены значения величины Уш/256 для случая симметричных относительно оси 0 = 0 форм колебаний. [c.354]

Поскольку на практике в вибрационные расчетах интерес представляет лишь определенная (как правило, низшая) часть спектра частот и форм собственных колебаний, определяемая числом р < и, где п - полное число уравнений (3.59), рассматривается частная проблема собственных значений. Среди многочисленных методов решения такой задачи [c.108]

Приведенные примеры, разумеется, не исчерпывают всех особенностей применения МКЭ для расчета собственных колебаний конструкций и служат в основном иллюстрацией выбранного метода решения частной проблемы собственных значений. [c.112]

Применение метода нормальных и краевых интегральных уравнений для практического расчета собственного значения и собственной функции покажем на примере станка АТ2-120-ШЛ5, на котором опоры являются сравнительно жесткими. Допустим, что i = оо и = оо. Отметим, на брусе батана ряд сечений, охватывающих характерные переходы в изменении плотности т х) и жесткости EI (х). [c.198]

Существенную помощь в исследовании нестационарных процессов может оказать метод разложения распределения температур в ряд по собственным функциям (см. гл. 3). Для этой цели должны быть разработаны эффективные алгоритмы численного расчета на ЭВМ собственных функций и собственных значений различных порядков основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Знание базисной системы функций основного и сопряженного уравнений позволяет также построить общую теорию возмущений высших порядков, о которой шла речь в гл. I. Несомненную пользу исследователю может дать теория возмущений для декремента затухания гармоник температурного распределения, поскольку она позволяет вводить поправки к функции, описывающей ход нестационарного процесса, под влиянием тех или иных возмущений параметров системы. [c.112]

Расчет теплообмена в термическом начальном участке при ламинарном течении жидкости в круглой трубе аналогичен расчету для постоянной температуры стенки. Решению подлежит то же дифференциальное уравнение энергии (8-29), изменяется только граничное условие. Если в предыдущей задаче постоянной была температура стенки, то в рассматриваемом случае постоянен градиент температуры жидкости у стенки. Для получения решения в виде собственных значений в [Л. 9] использован метод разделения переменных и теория 158 [c.158]

Для течения между параллельными пластинами Dr равно удвоенному расстоянию между ними). Собственные значения и постоянные решения для канала между параллельными пластинами приведены в табл. 8-7. Эти величины, взятые из оригинальных работ, несколько модифицированы с тем, чтобы их можно было применять непосредственно в расчетах по уравнениям (8-35) — (8-37). [c.161]

Результаты расчета — собственные значения и постоянные для случая постоянной температуры одной из пластин — представлены в табл. 9-8. Данные табл. 9-8 могут быть использованы для непосредственного вычисления средней массовой температуры жидкости и чисел Нуссельта по уравнениям (8-35) — (8-37). [c.231]

Расчет теплообмена при турбулентном течении в трубе, температура стенки (или плотность теплового потока на стенке) которой изменяется по длине трубы, производится так же, как и при ламинарном течении. Для расчета используются уравнения, полученные Б гл. 8, в которые подставляются собственные значения и постоянные из табл. 9-7 или 9-8. Для вычисления разности температуры пластины и средней массовой температуры жидкости в канале из параллельных пла- [c.233]

Проведенные расчеты показали, что для фундаментальных решений, экспоненциально убывающих в бесконечности, собственных решений в интервале 0< а < 5 не существует. Область >5 не исследовалась. Как было установлено выше, наряду с этим экспоненциальным убыванием в бесконечности, а также и слабым степенным затуханием решения обеспечивается кусочная непрерывность собственных значений в области 0< 2 < 1- [c.276]

Суммируя все сказанное относительно предложенного метода и алгоритма вычисления минимального критического параметра и соответствующей формы потери устойчивости, отметим, что удалось избежать таких операций, как решение проблемы собственных значений, обращение и перемножение матриц большего порядка. Это позволяет надеяться, что предложенный метод и составленная на его основе программа для ЭВМ найдут применение при расчете сложных пространственных конструкций на устойчивость. [c.107]

Как показано в гл.1, расчет на устойчивость в малом с учетом начальных перемещений сводится (см. уравнение (1.82)) к решению квадратической проблемы собственных значений [c.112]

В гл. 1 показано, что нелинейный конечно-элементный расчет на устойчивость способом последовательной линеаризации сводится к решению на каждом шаге нагружения конструкции квадратической проблемы собственных значений (1.81). В свою очередь квадратическая проблема может быть решена методом, описанным в 4.2 настоящей главы. Алгоритм решения квадратической проблемы собственных значений является более громоздким, чем соответствующей линейной проблемы, так как требует вычисления, помимо матриц [К] и еще и матриц [c.116]

Показанный выше прием линеаризации существенно уменьшает время расчета, так как матрицы [/(] и [/С] определяются лишь за, 1 два приема интегрирования, т. е. для р = ро и р — ро + Дро. В случае необходимости полученное собственное значение р = р можно уточнить, при этом линеаризацию матриц следует провести относительно ро = р . [c.98]

Собственные значения н формы каждого текущего параметрического варианта ге -мер-ной расчетной модели с варьируемыми параметрами определяются в соответствии с вычислительными схемами, приведенными в табл. 7. При этом расчет собственного спектра модели с одним варьируемым параметром осуществляется по формулам для односвязной системы, а расчет собственного спектра модели с двумя варьируемыми параметрами — по формулам для двухсвязных систем с учетом следующих соотношений [c.370]

В этом случае имеет место линейная постановка задачи q собственных значениях. Систему уравнений можно записать в удобной для расчетов матричной форме [c.86]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

После подстановки ряда (3.40) в уравнение (3.39) и последующих стандартных преобразований задача определения спектра областей динамической неустойчивости оболочки сводится к задачам расчета точечных спектров собственных значений Для [c.144]

Расчеты, проведенные по методу молекулярной динамики, показали, что в системе есть значительные корреляции. Кроме того, чтобы операторы столкновений удовлетворяли СДеланНЫМ ВЫШ6 предположениям, надо, чтобы спектры их собственных значений не перекрывались, а в.этом случае времена релаксации в системе твердых сфер и в системе частиц, взаимодействие между которыми описывается вандерваальсовским потенциалом, были бы сущест- [c.196]

Пространственная часть собственных функций I, (г, t) уравнения (43.2) дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем ехр — iE tlfi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. [c.243]

Ei)/fi, где El и Ej> - собственные значения энергии квантовых состояний атома. Если выполнение этого условия оказывается дослаточным для того, чтобы можно было пренебречь взаимодействием излучения с другими квантовыми состояниями атома, то атом рассматривается как двухуровнев1 1Й. Для упрощения расчетов пренебрегают также конечностью времени когерент1юсти, считая излучение монохроматичным с частотой (О, поскольку учет конечности ширины линии излучения при выполнении условий, обеспечивающих возможность рассматривать атом как двухуровневый, тривиален. По тем же соображениям волну можно считать линейно поляризованной. [c.257]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Рациональные решения многообразных задач динамики машинных агрегатов базируются на использовании собственных спектров линеаризованных динамических моделей исследуемых систем. Под собственным спектром динамической модели понимается совокупность ее собственных значений (корней характеристического полинома) и соответствующих им ортогональных собственных форм. Сложность и трудоемкость решения полной проблемы собственных спектров определяется размерностью (числом учитываемых степеней свободы) и классом (цепная или с направленными связями) расчетной динамической модели 128, 34]. Кроме того, при автоматизированных расчетах, выполняемых на современных цифровых ЭВМ, от размерности модели существенно зависит точность реализуемых вычислительных процедур. Это приводит к необходимости при расчетах на ЭВМ многомерных моделей использовать вычисления с удвоенной точностью, что обусловливает дополнительные затраты оперативной памяти и снижение эффективности вычислительных процедур. Следует отметить, что при динамических расчетах, выполняемых при помощи новейших средств вычислительной техникн, последние обстоятельства не являются определяющими. [c.226]

В практических расчетах САРС, особенно при осцилляционно активном объекте регулированрш, часто встречаются ситуации, в которых необходимым требованиям но запасу устойчивости не удовлетворяет только пара kk+i комплексно сопряженных собственных значений расчетной модели. Тогда критерий эффективности соответствующей оптимизационной задачи может быть принят в виде [c.258]

Обычная и обобщенная ортогональность собстаенных функций, так же как самосопряженность краевых задач о собственных значеннях, являются весьмя ценными свойствами, которые широко используются при теоретических исследованиях и в практических расчетах. [c.85]

После того как асимптотическая теория устойчивости была подтверждена экспериментально, ею начал заниматься ряд других исследователей, причем, к сожалению, часто не отдавая себе отчета о ее возможностях и проблематике. Трудность здесь заключается не в подборе закона приближения, а в надежном исключении ошибок, которые могут свести все расчеты к неправильным результатам, аналогично тому, как экспериментатор может потратить много сил на исключение несущественных влияний в ущерб основной цели. С математической точки зрения здесь идет речь о не совсем обычной задаче не взаимно сопряженных собственных значений, поэтому возможность решения на первый взгляд не очевидна. Например, Ф. Нётер был настолько уверен в неразрешимости задачи, что даже привел специальное доказательство [c.13]

Расчет на устойчивость в малом сводится, таким образом, к рещению линейной проблемы собственных значений. Проблема эта дост 1 но трудоемка, к тому же для практических целей в большинстве случаев достаточно лишь знание минимального критического п аметра. Поэтому некоторые авторы [19,55] решают уравнение (4.1) методом прямой итерации одного вектора, представляющими простейшую разновидность степенного метода [43] определения собственных векторов. Но так как упомянутый метод приводит к максимальному собственному значению итерируемой матрицы, то уравнение (4.1) предварительно преобразуется к виду [c.100]

Расчет по методу начальных параметров [6, 7]. Уравнение (57) имеет собственные значения pj, р , представляющие собой квадраты (круговых) частот колебаний диска. Общее решение уравнения (57) содержит четыре линейно независимых частных решения, причем собственные значения находятся из краевых условий. При однородных краевых условиях в начальном сечении г = Ra дотаточно сохранить два частных решения, удовлетворяющих этим условиям, [c.279]

При этом условие асимптотической устойчивости КеХ<0, выраженное через собственные значения Л, принимает вид 1тЛ[у КеЛ > е. На рис. 7.4.1, 6 показаны результаты расчетов критического давления при е=0,01 для титановой оболочки с такими же геометрическими параметрами, как и в [69]. Оболочка разбивалась на 11 конечных элементов и размер матриц бьш 40x40. При фиксированном т критическое давление вычислялось с использованием процедуры дихотомии. Затраты процессорного времени 1ЪМ-РС/АТ для вычисления всех комгшексных собственных значений и собственных векторов при фиксированном значении давления составляли по ХЛ-алгоритму 1,5 мин и 15 мин по методу понижения нормы матрицы. При этом во втором случае заданная точность не достигалась и выход происходил по числу итераций. Резуль- [c.488]

Броуде Б. М. Свойства граничных поверхностей в линейных и нелинейных задачах с собственными значениями. Строит, механ. и расчет сооруж., 1964, № 5, стр. 5—9. [c.344]

Мы Проиллюстрировали метод Релея — Ритца для задачи о свободных колебаниях. Очевидно, что этот метод применим и к другим задачам на собственные значения. Подробности и примеры численных расчетов по методу Релея — Ритца в приложении к задачам на собственные значения читатель найдет в [13, 16 и 26]. [c.72]

Здесь явно указывается на то, что фаза собственного значения о зависит от модовых индексов т и I. Заметим, что если волновое число k зависит только от длины волны X (к = 2я Х), то фаза 4 зависит как от длины волны X (в силу того, что она зависит от числа Френеля N), так и от модовых индексов т и /. Поэтому уравнение (4.83) позволяет вычислить резонансные длины волн Х (а следовательно, резонансные частоты v) в виде функций от модовых индексов п, I и т. Результаты численного расчета а, выполненного Фоксом и Ли, подтверждают, что для достаточно больших чисел Френеля значения резонансных частот, полученные этим методом, хорошо согласуются с теми, которые предсказывает соотношение (4.70). Например, для N > 10 расхождение не превышает 10 %. [c.196]

Таким образом, решения задач (7.32) и (7.29) должны давать близкие результаты. С точки зрения практических расчетов формулировка задачи (7.32) прош е, так как не требуется вычислять новые матрицы Ki и Кг, а используются только касательные матрицы жесткости К и К, которые определяются при пошаговой процедуре решения задачи до решения задачи (7.32) на собственные значения. Кроме того, формулировать задачу (7.32) можно как с TL-, так и с UL-, ULJ-формулировками уравнений. [c.225]

При численной реализации процедур заполнения матрицы фундаментальных решений в ряде случаев (например, для моментных оболочечных элементов или балочных на упругом основании) участки выбирают достаточно короткими, если не применяют приемы ортогон а лизацни [7, 15, 21]. Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных уравнений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке интегрирования, если не применяются специальные приемы, векторы решений в ш при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или будут вычисляться недостаточно точно. По этой причине метод начальных параметров, который часто используется при расчете стержней, для моментных оболочек применяется редко. Длину участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные значения матрицы разрешающей системы А. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...