Комплексные числа

Действительно, если подставить в полином (25) в качестве Я отрицательные действительные числа или комплексные числа с отрицательной действительной частью и учесть, что последние входят в эти произведения лишь комплексно сопряженными парами (так как коэффициенты полинома — действительные числа), то получится полином, в котором все коэффициенты отличны от нуля и положительны. [c.221]

Матрица Q содержит восемь действительных параметров, так как каждый из ее четырех элементов есть комплексное число. Раскроем условие унитарности [c.104]

Математически удобно описать наличие такой разности фаз 6 введением комплексной амплитуды в уравнение колебания, записанное в виде Е =- Пусть С а + ih. Но любое комплексное число С можно записать в виде С Сое где Со — вещественная величина. При этом справедливы следующие известные соотношения tg6 = Ь/а и С [c.26]

Суммарная интенсивность колебания в точке Р определяется выражением, которое запишем, используя правила обращения с комплексными числами и пренебрегая изменением амплитуд вследствие разницы расстояний Г2 и г, в виде [c.179]

Уравнения (11.203) и (11.204) можно было бы получить из уравнений (II.194) и (11.195), а уравнениям (II.201) и (II.202) можно придать обычную векторную форму. Сначала выясним геометрический смысл умножения вектора, заданного комплексным числом, на г — [c.202]

Так как комплексные числа Хс, 2о и2о — комплексные представления векторов Гс, Го и Уо, то на основании формулы (II.201) найдем [c.202]

В этом сл чае — действительное отрицательное число. Следовательно, X — комплексное число [c.273]

Математическое дополнение. Комплексные числа [c.137]

Математическая трактовка колебательных процессов и особенно процессов, происходящих в цепях переменного тока, упрощается, если пользоваться комплексными числами (рис. 4.22—4.34). Комплексное число — это такое [c.137]

Рис. 4.25. Абсолютное значение г комплексного числа соответствует расстоянию от начала координат до точки г. Согласно теореме Пифагора 1 г =V + У -

Сложить два комплексных числа — это значит образовать число [c.138]

При изменении знака перед в любом комплексном числе 2 получается число 2, комплексно сопряженное с данным. Если г = а + ib, то [c.138]

Эти определения становятся более наглядными, если мы представим комплексное число г = х + iy геометрически. Пусть ось х будет вещественной осью, а ось (/ — мнимой осью. Тогда [г] будет равен расстоянию от начала [c.139]

Обозначим через ф угол между отрезком Oz и вещественной осью (см. рис. 4.27). Тогда мы можем представить любое комплексное число z — х- -iy в таком виде [c.139]

Рис. 4.33. Комплексные числа играют важную роль в тео-

Формулы (105) и (106) очень удобны для числовых расчетов. Из графического представления комплексного числа в виде вектора видно, что умножение на другое комплексное число равносильно растяжению вектора с поворотом го. Результат умножения не зависит от порядка этих операций. [c.142]

При равенстве двух комплексных чисел должны быть в отдельности равны друг другу их вещественные и мнимые части. Пользуясь этим свойством, мы можем выразить функцию колебаний г)) = os ш/ как вещественную частЬ комплексной функции = а по окончании преобразований опять отделить вещественную часть. Мы можем свободно делать это, если в преобразования не входят произведения комплексных чисел, т. е. если уравнения в комплексных числах Линейны. Но с произведениями необходимо оперировать очень осторожно. Предположим, что нас интересует произведение Х Х2 двух вещественных величин. Если мы напишем [c.142]

Хотя система записи в виде комплексных величин очень удобна при решении линейных дифференциальных уравнений и при анализе процессов в линейных цепях, применяя ее, следует соблюдать осторожность, если рассчитываются билинейные количества, как, например, поглощение энергии и поток энергии. По указанной причине в руководстве по лабораторным работам к этому курсу относительно редко употребляются комплексные числа. Однако без комплексных величин квантовая физика выглядела бы довольно громоздко. [c.143]

Математическое дополнение. Комплексные числа и гармонический осциллятор, совершающий вынужденные колебания [c.241]

Мы приведем теперь в очень кратком виде решение задачи о гармоническом осцилляторе, совершающем вынужденные колебания, используя комплексные числа по схеме, изложенной в конце гл. 4. Уравнение движения (165) можно записать теперь в такой форме (для удобства вместо sin со/ будем писать os [c.241]

Таким образом, вектор поперечной угловой скорости иь соответствующий комплексному числу U, совершает, сохраняя свою величину, колебание около своего начального значения частота v этого колебания равна [c.621]

Здесь 23+1.. . ., Яп — вещественные, а а , й2,. . 23-1, dzs — попарно-сопряженные комплексные числа, которыми мы распорядимся в дальнейшем соответствующим образом положительное число е может быть выбрано сколь угодно малым. [c.270]

Уо/ так как корни Я —комплексные числа, полу- [c.161]

В 3.4 были получены уравнения малых колебаний стержня относительно стационарного движения, которые содержали (в уравнении поступательного движения элемента стержня) силы инерции Кориолиса, равные дЧ/ дгд%), также зависящие от первой производной по времени. При наличии сил сопротивления свободные колебания должны быть затухающими, поэтому А, должны быть комплексными числами вида [c.98]

На рис. 9.4,а приведены графики изменения действительной a и мнимой p частей двух комплексных собственных чисел в зависимости от размерной скорости W при 6i=10. Из графика следует, что при значении скорости потока, соответствующей точке D, действительная часть второго комплексного собственного значения меняет знак, т. е. колебания трубопровода становятся неустойчивыми. Соответствующее значение критической скорости обозначено Второе значение критической скорости соответствует точке А (auo ) где мнимая часть (частота) первого комплексного числа обращается в нуль. При безразмерной жесткости опоры 6i=10 первая критическая скорость W , при которой наступает динамическая неустойчивость, меньше второй критической скорости w , при которой первая частота обращается в нуль. Следует отметить, что обращение мнимой части комплексного корня в нуль не всегда связано с потерей статической устойчивости по данной форме. [c.268]

Амплитуда вероятности перехода. Предположим, что микрообъект совершает квантовый переход из некоторого s-состояния в некоторое /-состояние. Конкретные характеристики этих состояний, равно как и природа микрообъекта, пока несущественны. Переход имеет вероятностный характер, поэтому введем в рассмотрение вероятность перехода Ws j. Наряду с вероятностью перехода в квантовой физике рассматривают амплитуду вероятности перехода Это есть некое, вообще говоря, комплексное число, квадрат модуля которого равен вероятности перехода [c.100]

И Других заменить г новой переменной 2i = 2. Действительно, умножение на мнимую единицу изменяет (увеличивает на угол л/2) только аргумент комплексного числа, не изменяя его модуля. Поэтому картина течения (см. рис. 7.5) в плоскости переменного Zj окажется повернутой на угол я/2. Комплексный потенциал этого течения в плоскости Zj будет иметь вид [c.230]

Здесь i — мнимая единица, Л о, Pgo, Роой боСл) и Я — комплексные числа, определяющие частоту со и изменение амплитуды Re >1 т) колебаний [c.299]

Представив комплексные числа А и Вехр(2 <) векторами на комплексной плоскости и используя теорему косинусов, найдем [c.234]

Рнс. 4.23. Комплексное число г=х + 1у изображается точкой на комплексной плоскостн ли глоскости . Заметим, что точка, изображающая число + 1, находится от начала координат на расстоягши + 1 в направлении у. [c.138]

Рис. 4.S0. Рассмотрим комплексные числа, изображаемые точками на окружности едииич. iioro радиуса, а) <р=0 б) чр=я/4 в) ф=я/2 г) ф=л. д) Теперь ср==2я. Мы вернулись к исходной точке, е) Для значений ф>2л мы получаем е (Ф + 2л)= Таким образом является периодической функцией с периодом 2л.

Точки комплексной плоскости г = х + iy, изображающие комплексные числа с модулем, равным единице ( 2 = 1), находятся на окружности единичного радиуса с семром в начале координат. Такие комплексные числа могут быть выражены формулой (103). Пользуясь формулами (103) и (105), мы можем вывести уравнение Муавра [c.142]

Напомним определение логарпфма комплексного числа (корни уравнения (7.64) могут быть комплексными числами) [c.236]

Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров е и б из области устойчииости. 1 ак было установлено, в этой области оба корпя pi и ()а уравнения (7.78) — комплексно-сопряженные числа, причем Pi I = I Рг I == 1-На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (р = р) [c.243]

Равномерный поток. Рассмотрим функцию w = az, где а — постоянное комплексное число. Поскольку dwidz = а, то ясно, что величина а представляет собой сопряженную скорость, которая в данном случае постоянна во всей плоскости течения. Обозначив эту скорость через находим [c.214]

Теплотехнический справочник (0) -- [ c.33 ]

Теплотехнический справочник том 1 издание 2 (1975) -- [ c.52 ]

Теоретическая гидродинамика (1964) -- [ c.122 , c.123 ]

Теплотехнический справочник Том 1 (1957) -- [ c.33 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.433 ]

Машиностроение Энциклопедический справочник Раздел 1 Том 1 (1947) -- [ c.117 ]

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2 (1956) -- [ c.84 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...