Топологическая эквивалентность

Вопрос о том, какая из топологически эквивалентных структур должна фактически осуществиться в тех или иных заданных условиях, зависит от относительной термодинамической выгодности этих структур. Это задача выходит за рамки топологического анализа. [c.206]

Выписываются главные семейства, соответствующие Данному классу. Это — стандартные семейства, играющие роль топологических нормальных форм для деформаций. типичных ростков изучаемого класса. Росток, топологически эквивалентный деформируемому, соответствует в главном семействе нулевому значению параметров. [c.19]

Теорема. В типичном двупараметрическом семействе систем Лотка—Вольтерра (10) встречаются лишь такие деформации систем легкого типа, которые топологически эквивалентны одному из главных локальных семейств [c.33]

С двумя параметрами ei и ег (топологическая эквивалентность сохраняет первый квадрант допускаются обращения времени). Эти деформации, как и их нормальные формы (12= ), топологически версальны. Два семейства (12-), соответствующие наборам (ft, с) из одной легкой связной компоненты множества неисключительных значений, топологически эквивалентны. Главные деформации уравнений легкого типа не имеют циклов [c.34]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Теорема ([180]). Если две типичные однопараметрические деформации ростков диффеоморфизмов (R , 0)->(R , 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности топологически эквивалентны, то мультипликаторы деформируемых ростков совпадают. [c.47]

Главные деформации ростков невырожденных полей в каждой компоненте связности топологически эквивалентны. [c.58]

Напомним (см. [11], [166]), что первоначальное определение структурной устойчивости отличается от определения грубости отсутствием требования близости к тождественному гомеоморфизма, осуществляющего топологическую эквивалентность исходной и возмущенной систем. Открытость множества векторных полей, порождающих структурно устойчивые системы, следует непосредственно из определения, в отличие от грубых. С другой стороны, нам не известны примеры структурно устойчивых систем, не являющихся грубыми, поэтому в настоящее время структурная устойчивость часто используется как синоним грубости , т. е. оба термина подразумевают близость сопрягающего гомеоморфизма к тождественному. [c.87]

Определение слабой топологической эквивалентности семейств получится, если в предыдущем определении считать, что отображение е) М- М по-прежнему гомеоморфизм, но [c.99]

Однопараметрическая деформация соответствующей бифуркационному значению параметра системы, определенная типичным семейством, при значениях параметра, близких к бифуркационному, топологически нереальна и структурно устойчива любая другая деформация топологически эквивалентна индуцированной из данной, любая близкая однопараметрическая деформация топологически эквивалентна данной. [c.100]

Определение ([6]). Динамическая система называется системой 1-й степени негрубости, если она не груба и существует такая ее окрестность, что каждая динамическая система из этой окрестности либо груба, либо орбитально топологически эквивалентна исходной, причем сопрягающий гомеоморфизм близок к тождественному. Векторное поле, порождающее систему 1-й степени негрубости, называется векторным полем 1-й степени негрубости. [c.103]

Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и Ег называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и (зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны над этими окрестностями бифуркационных значений. [c.107]

Пример 4. Трехпараметрические деформации векторного поля вблизи трехкратного цикла слабо топологически эквивалентны, но, вообще говоря, не эквивалентны классификация таких деформаций по отношению топологической эквивалентности имеет функциональные инварианты (см. п. 5.11, гл. 2) [c.107]

Определение топологической и слабой топологической эквивалентности семейств и их структурной устойчивости и слабой структурной устойчивости аналогично приведенному в п. 2.2, лишь отрезок I нужно заменить окрестностью бифуркационного значения. [c.107]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Суть замены заключается в следующем. Обозначим проекцию грани Gi на плоскость проекций Р. Если между точками nij с gi и их прообразами М, f G можно установить взаимно однозначное соответствие, то G будем называть простым отсеком. Строго говоря, простым считаем отсек, топологически эквивалентный своей ортогональной параллельной проекции. Простыми отсеками являются плоская грань, не параллельная вектору направления проецирования (рис. 55, а) части сферической грани (рис. 55, б), лежащие по разные стороны от осевой плоскости Pq, параллельной плоскости проекций части цилиндрической и конической граней (рис. 55, в), лежащие по разные стороны от плоскости Ро. которая [c.117]

Поверхность И i W i) состоит из траекторий, стремящихся к L при I—>--[-00 (t —оо). При —3 II p = q=r-i поверхность (VF ) топологически эквивалентна листу Мёбиуса, если мультипликатор у, по модулю меньший (больший) 1, отрицателен, или цилиндру, если у положителен (рис. 2). [c.626]

Пусть 2 — нек-рая область в С и Г — нек-рая группа взаимно однозначных аналитич. отображений 2 в себя, причём совокупность точек, получающихся из 2 2 при действии Г, образует дискретное множество в О. Отождествляя точки 2, переходящие друг в друга при преобразованиях из Г, можно определить поверхность (многообразие), к-рая имеет структуру Р. п. и обозначается 2/Г. Напр., преобразования г — гг,, где 2о — фиксиров. число, приводят к поверхности, топологически эквивалентной цилиндру. [c.396]

Два пространства X, Y наз. топологически эквивалентными, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (гомеоморфизма) f-.X Y и g Y- X, g f x )) = x, f g(y)) y. По определению. все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые топологическими инвариантами, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем) примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является размерность (разл. варианты её определения см. [5]). [c.143]

Топологическая эквивалентность означает существование взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения [c.84]

Безотрывное равномерно дозвуковое обтекание профиля топологически эквивалентно обтеканию круга несжимаемой жидкостью [19]. Это означает, что линия тока ф = О разветвляется на профиле в двух критических точках О2, одна из которых (будем называть ее задней ) в соответствии с условием Жуковского-Чаплыгина, является острой кромкой крыла. [c.156]

В качестве первого примера использования полученного свойства укажем следующее (доказательство дословно повторяет [19]) плоское вихревое течение идеального газа без нулей поля V) в бесконечном канале ограниченной ширины топологически эквивалентно равномерному течению идеальной несжимаемой жидкости в канале постоянной ширины в полосе). [c.196]

Формулы (16), (21) устанавливают топологическую эквивалентность приближенного течения потенциальному обтеканию круга несжимаемой жидкостью. [c.199]

Таким образом, установлено, что семейство линий тока топологически эквивалентно семейству линий тока бесциркуляционного потенциального обтекания единичного круга несжимаемой жидкостью. [c.200]

На рис. 4.11, помимо шкал жиг, изображены линии яр = onst при XQ = feir/4, к = 1,...,4. При к = 1,2,3, то есть при xq = 0,785, 1,571, 2,356 возникают бесконечные периодические цепочки вихревых образований. Картины линий яр = onst топологически эквивалентны. [c.215]

Из сказанного следует, что все дисклинации в нематической среде распадаются на две категории, в каждой из которых все дисклинации топологически эквивалентны — могут быть переведены дргуг в друга путем непрерывного деформирования поля п (г) (С. И. Анисимов, И. Е. Дзялошинской, 1972). Одну категорию составляют дисклинации с целыми индексами Франка эти дисклинации к тому же топологически неустойчивы — они могут быть вообще устранены путем непрерывного деформирования. Дисклинации целого индекса может заканчиваться в объеме нематика. [c.206]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Классы и встречаются неустранимьш малый шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чём ц параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л , стабильно (с точностью до надстройки седла) локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Кл зсса только эквивалентность следует заменить слабой эквивалент-ностью .А [c.23]

Такие ограничительные условия устойчивости связаны с существованием числовых инвариантов топологической эквивалентности — модулей, возникающих при нетрансверсальном пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий (см. ниже 6). [c.126]

На языке топологии получает естеств. объяснение и наиб, известный линейный дефект в кристаллах — краевая дислокация, возникающая при образовании лишней кри-сталлич. полуплоскости в решетке (рис. 5). Предполагается, что на расстояниях в несколько постоянных рен ётки от линии АВ кристаллич. порядок восстанавливается. Поскольку пространство вырождения не зависит от вида кристалла, то достаточно рассмотреть просгейший кубич. кристалл и смещения лишь вдоль одной из осей, х, с периодом решётки <3,. Состояния кристалла вырождены относительно сдвигов на т. к. гакой сдвиг приводит к совмещению кристалла с самим собой. Иными словами, концы отрезка [О, а ] отвечают одному и тому же состоянию, что позволяет их отождествить. Для смещений, v, лежащих вне отрезка [О, всегда найдётся эквивалентное смещение внутри того же отрезка. В результате приходим к пространству вь[рождения кристалла по оси х в виде отрезка [0. а ] с отождествлёнными концами, что топологически эквивалентно окружности 5. Аналогичное вырождение состояний наблюдается и вдоль осей у и z, т. е, пространством вырождения кристалла в целом будет D = = -многообразие трёхмерного тора. [c.137]

Ситуация с топологически стабильными дефектами в Не более сложная, т. к. параметром порядка в этом случае является комплексный тензор 2-го ранга Ац,, i, к=, 2, 3. Это, в частности, есть отражение того факта, что в отличие от боэе-жидкости Не, Не является ферми-жидкостью, допускающей существование анизотропных сверхтекучих фаз. Для Й-фазы Не пространство вырождения D топологически эквивалентно 50(3) f/(l). Вычисления гомотопич. групп тс2( >) = 0, 7ti(D) = i [50(3)1-Ья, [f/(])] = Z2 Z указывают на то, что в В-фазе Не отсутствуют топологически стабильные точечные дефекты, а линейные дефекты — вихри — характеризуются набором из двух топологич. чисел. [c.138]

Более сложно строятся топологич. инварианты узлов— несамопересекающихся замкнутых кривых в трёхмерном пространстве (или в трёхмерной сфере 5 . получающейся добавлением к бесконечно удалённой точки). Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений. Полным топологич. инвариантом, измеряющим отличие узла от тривиального (рис. 5), является группа узла, совпадающая с фундам. группой (см. ниже) дополнения к узлу в 5 . (Для тривиального узла она совпадает с группой [c.144]

Наиболее естественным методом изучения самоподобия исследуемых объектов является аппроксимация реальных структур, в том числе стохастических, визуально подобными или по крайней мере топологически эквивалентными предфракталами определенного поколения. Визуализацию структур осуществляют либо непосредственно, либо по фотографиям, получаемым с помощью оптического или электронного микроскопа. [c.41]

Этап А можно теперь свести к геометрической задаче Выявить все возможные топологически различные диаграммы без обозначения индексов, которые могут быть построены из Ъ связей. Две диаграммы по определению являются топологически эквивалентными, если они имеют одинаковое число связей и вершин, а такжа одинаковую кратность связей и если они могут быть наложены друг на друга путем такого непрерывного перемещения их вершин в плоскости, при котором связи (рассматриваемые как идеальна растяжимые) всегда остаются присоединенными к одним и тем ж вершинам. При таком перемещении может оказаться, что связь будет пересечена вершиной, но такую точку пересечения не следует рассматривать как новую вершину. На фиг. 6.2.4 показаны некоторые примеры топологически эквивалентных диаграмм. [c.217]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Безотрывное обтекание профиля потоком сжимаемого газа топологически эквивалентно обтеканию профиля несжимаемой жидкостью. Это доказано в [19] с помощью теории квазиконформных отображений (отображение физической плоскости в плоскость (рф квазиконформно, если в потоке отсутствуют скачки уплотнения и если скорость не достигает предельного значения, т.е. если М < ос). Таким образом, как указывается в [19], это утверждение справедливо не только в случае равномерно дозвуковых обтеканий, но и тогда, когда образуются сверхзвуковые включения с непрерывным полем скорости. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...