Собственный вектор матрицы

Во многих задачах теоретической механики приходатся определять собственные числа и собственные векторы матриц. [c.116]

Пусть матрица А такова, что для всех ее собственных значений имеет место равенство к . = т . Тогда существует базис из собственных, векторов матрицы А, при переходе к которому по формулам [c.117]

Очевидны его решения Ai = 1, Аг = —1, Аз = Aq = —1. Матрица А симметрична. Значит, ее собственные векторы взаимно перпендикулярны. В базисе собственных векторов матрица А оператора А примет вид [c.87]

В случае, когда матрица А, единичная, вектор ш есть просто собственный вектор матрицы А [c.649]

Пусть Xhj будет k-я составляющая j-ro собственного вектора матрицы тензора / (согласно обозначениям 4.6). Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, запишутся в виде [c.174]

Ограничимся только описанием алгоритмической части процедуры построения матрицы L( ) Пусть Х( ) — фундаментальная матрица системы (3), нормированная условием Х(0) = а и s/. — действительная и мнимая части собственного вектора матрицы Х(2тг), соответствующего мультипликатору ри- Векторы г/. и Sk удовлетворяют системе линейных уравнений [c.549]

Вектор (1, 1 представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения и Яг вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку О- если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О. [c.373]

Если число линейно независимых собственных векторов матрицы равно ее порядку к, то говорят, что матрица имеет простую структуру. В этом случае дефект матрицы А — Я/Е равен кратности т,- соответствующего собственного числа Я/, т. е. с / = т,-. [c.146]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Такого типа задачу называют частной задачей на собственные значения для матрицы найденные N значений Рп — собственными значениями матрицы А, а соответствующие им векторы Хд — собственными векторами матрицы А. [c.302]

Если известен к-й собственный вектор матрицы С, то к-я собственная форма приведенной выше расчетной модели определяется по формуле [c.230]

Система (2.39) имеет отличное от нулевого решение, так как Xi — собственное значение матрицы А. Решение системы (2.39) называется собственным вектором матрицы Л, соответствующим собственному значению (характеристическому числу) Xi. [c.45]

Из свойств определителя следует, что собственные значения матриц А и А совпадают. Для матрицы А можно построить матрицу V, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А. Можно показать, что справедливы зависимости [59] [c.46]

Из характеристического уравнения (5.8) известными методами можно определить п собственных значений Xj (j = 1, 2,. . ., п). Каждому Xj соответствует модальный вектор Uj, представляющий собой собственный вектор матрицы Я. Поскольку система алгебраических уравнений (5.7) вырожденная, то каждый модальный вектор Uj может быть определен лишь с точностью до постоянного множителя. [c.155]

Собственные векторы и собственные значения. Вектор х С , отличный от нуля, называется собственным вектором матрицы Л, если существует число Я (вещественное или комплексное) такое, что Ах кх. [c.96]

Если корни Xi, Х2,..., кп различны, то матрица Л имеет п линейно независимых собственных векторов (иначе—в пространстве С" существует базис, состоящий из собственных векторов матрицы Л). В этом случае существует невырожденная матрица О такая, что [c.96]

Введем следующее обозначение для собственных векторов матрицы [c.83]

Метод А. Н. Крылова. Алгебраическая сущность алгоритма метода состоит в следующем [22, 106, 108]. Если вектор v есть собственный вектор матрицы G, то Векторы V н Gv линейно зависимы. Для произвольного вектора Ь существует наи- [c.85]

Если корни А J, Х ,. .., X различны, то матрица А имеет п линейно независимых собственных векторов (иначе в пространстве R" существует базис, состоящий из собственных векторов матрицы ). В этом случае существует невырожденная матрица Q, такая, что [c.93]

Пусть выполнено условие (5.17), собственные векторы матрицы А образуют базис в R , а в разложении +. .. + по этому базису коэффициент О) не равен нулю. Тогда степенной метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем = Xj/X, . Более того, [c.131]

Главные направления скольжения определяются собственными векторами матрицы Т. Случай когда главные направления перпендикулярны, называется ортотропным трением. В (ортогональной) системе координат, связанной с главными направлениями, матрица ортотропно-го трения диагональна. [c.221]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

В виде взвешенной суммы собственных векторов матрицы А [c.342]

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что решение неустойчиво, если Re(X,/)>0 хотя бы для одного /. Собственные значения определяют устойчивость системы часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полуплоскости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собственному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплексные корни обычно характеризуются частотой o=Im(X,) и от- [c.342]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Найдем собственные векторы матрицы коэффициентов осщ., т.е. такие векторы которые линейным преобра- [c.39]

Покажем, что собственные векторы матрицы II обладают свойствами ортогональности [c.39]

В примере 3.10.2 для уравнения Хилла с двухступенчатым кусочно-постоянным коэффициентом ш t) в случае = —1, 77 = 1 найти собственные векторы матрицы монодромии, резонансные соотношения интервалов <1, <21 точки на фазовой п.лос-кости, где происходят переключения функции (<). [c.301]

Ограничимся только описанием алгоритмической части процедуры построения матрицы L(f) ). Пусть X(i) — фундаментальная матрица системы (3), пормироваипая условием Х(0) = Е2 , а и Sft — действительная и мнимая части собственного вектора матрицы Х(2л), соответствующего мультипликатору р. Векторы г и s,i удов-летиорягот системе линейных уравнений [c.397]

Корни h этого уравнения называют собственнными числами матрицы А. Левая часть уравнения det (А—кЕ) называется характеристическим полиномом. Собственным вектором матрицы А называется отличный от нуля вектор, удовлетворяющий условию [c.23]

Столбец u Q, удовлетворяющий вместе с числом X соот ношению (3 ), называется собственным вектором матрицы А саответствующим характеристическому числу X. Таким обра зом, в каждом решении системы (Г), имеющем вид (2 X — характеристическое число матрицы А, а и — соответ ствз ощий собственный вектор. [c.216]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Вектор X, преобразуемый матрицей А в коллинеарный ему вектор Ях, называется собственным вектором матрицы А [c.146]

Уравнения (17.343) — это уравнения метода Бубнова — Галер-кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (п) этих членов тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и рещение методом Бубнова — Галеркина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то / = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов а, однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) реще-ния должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний ). [c.243]

Согласно зависимостям (13.38) и (13.39) собственные векторы матрицы Т можно нредставнть следующим образом [c.224]

Правые К, и левые L, собственные векторы матрицы Т образуют биортогональную систему [c.224]

Компоненты hts, i,s=i,...,q, левых собственных форм модели (13.46), учитывая, что эти формы являются собственными векторами матрицы Gj = Q + свГг, и принимая во внимание выражения (13.44), (13.46), определим в виде [c.242]

Если Л/ — такая п х я-матрица, то её собств. значения Xj — это комплексные числа, для к-рых ур-ние Мх — кх имеет ненулевые решения (собственные векторы матрицы М). Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы A(A.) = det(A,7 — М) = = О, где I — единичная п х п -матрица. Множество собств. значений (спектр М) содержит не более п точек, т. к. Д(А,) — полином степени п и имеет не более п различных корней Сама матрица М удовлетворяет ур-нию Гамильтона — Кэли Д(М) = О, а по теореме Виета A(Af) = (М — ki)(M — к )...(М — Х ) (для простоты принято, что все Xj различны). Если положить Д(М) == (Ai — X )Ai(Ai), то оператор Р = Д (М)/Д ( ) является проектором на собств. подпространство, ири- длежащее Х для любого вектора х вектор Pi(i) — [c.605]

Последовательность значений <и , расположенных в порядке их возрастания, называют спект-рам собст ветых частот. Формы главных колебаний V/ являются собственными векторами матрицы (А С), которые определяют с точностью до произвольного сомножителя. Обьргно формы главных колебаний нормируют, относя компоненты вектора к первой или к-к компоненте [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...