Задача на собственные значения

Приступим к решению задачи на собственные значения (4.121), [c.156]

Особенность краевой задачи (4.158) состоит в том, что она не при всех значениях постоянной р, имеет отличные от тождественного нуля решения, т. е. это задача на собственные значения. [c.167]

В случае же непосредственного решения задачи на собственные значения необходимо исходить из уравнений Ламе в сферических координатах, преобразовав их согласно представлениям (8.51) [c.321]

Некоторые сведения из теории краевых задач и задач на собственные значения для дифференциальных уравнений. При обосновании условий устойчивости ниже используются различные общие факты из теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Приведем здесь некоторые из них (см., например, [248, 275, 456]), необходимые для дальнейшего. Пусть дано линейное дифференциальное выражение (у) порядка А 0, имеющее вид [c.235]

Здесь т — четное число, функции gl x) предполагаются I раз непрерывно дифференцируемыми ж к т 0. Задача на собственные значения состоит в определении такого значения параметра X, при котором существует не равная тождественно нулю функция у (х), удовлетворяющая краевым условиям (1.14) и уравнению [c.237]

Вектор п определяет плоскость в заданной системе координат, а V — скорость распространения волны. Подстановка соотношений (2) и (3) в уравнения движения материала позволяет сформулировать следующую задачу на собственные значения [c.269]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

Одним из наиболее универсальных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Галеркина (или Бубнова—Галеркина ). Рассмотрим схему решения этим методом задач устойчивости, сводящихся к линейным задачам на собственные значения (см. приложение I). [c.71]

Приближенное решение задачи на собственные значения [c.71]

В задачах на собственные значения метод Галеркина тесно связан с минимальным принципом Рэлея (см. приложение I). В силу линейности исходного уравнения (2.79) подстановка в него ряда (2.80) дает функцию-ошибку [c.72]

Если исходную задачу на собственные значения считать полностью определенной, то > О и из (2.84) следует, что [c.73]

Метод Галеркина можно трактовать как способ приближенной замены задачи на собственные значения для дифференциальных [c.73]

Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение (3.4 ) при однородных граничных условиях имеет нетривиальные решения (см. приложение I). [c.81]

Способ угадывания решений в задачах на собственные значения следует применять с осторожностью. Для гарантированного правильного решения необходимо использовать полную систему функций (как это сделано выше), иначе можно получить ошибочный результат. Например, если в рассматриваемой задаче взять решение просто в виде v (. ) = sin то ошибка в значении критической силы может оказаться сколь угодно большой. [c.100]

Уравнение (4.33) является основным линеаризованным уравнением теории устойчивости пластин постоянной толщины. Это линейное однородное уравнение, причем в силу первого допущения его граничные условия однородны. Если считать, что все действующие на пластину внешние нагрузки изменяются пропорционально параметру Р, то уравнение (4.33) можно записать в стандартном виде задачи на собственные значения (см. приложение I) [c.146]

Таким образом, задача определения условий существования изгибных состояний равновесия первоначально плоской пластины свелась к типичной задаче на собственные значения требуется найти те значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение имеет отличные от тождественного нуля решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям. [c.146]

Таким образом, задача определения условий существования изгибных форм равновесия (смежных с исходной круговой) кругового кольца, находящегося под действием равномерной гидростатической нагрузки, свелась к типичной задаче на собственные значения. [c.226]

Таким образом, задача устойчивости цилиндрической оболочки при безмоментном начальном напряженном состоянии сведена к типичной задаче на собственные значения. [c.245]

Задача на собственные значения для дифференциального уравнения формулируется следующим образом задано однородное уравнение [c.300]

Основные результаты в теории задач на собственные значения получены для самосопряженных и полностью определенных задач. Задачу на собственные значения называют самосопряженной, если для любых двух функций сравнения U и о выполняются условия [c.300]

Задачу на собственные значения называют полностью определенной, если для любой функции сравнения выполняются неравенства j иМ и] dx >0 juL[u]dx> 0. а а [c.300]

Самосопряженность и полная определенность задачи на собственные значения в каждом конкретном случае могут быть установлены путем интегрирования по частям. [c.300]

Самосопряженная полностью определенная задача на собственные значения, не содержащая параметра Р в граничных условиях, всегда имеет бесконечный спектр положительных собственных значений, из которых в задачах устойчивости обычно достаточно найти только наименьшее собственное значение, определяющее критическую нагрузку. Бесконечному спектру собственных значе- [c.300]

Все сказанное о задачах на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо и в отношении задач на собственные значения для диф ренциальных уравнений в частных производных. [c.301]

Такого типа задачу называют частной задачей на собственные значения для матрицы найденные N значений Рп — собственными значениями матрицы А, а соответствующие им векторы Хд — собственными векторами матрицы А. [c.302]

Кроме частных задач на собственные значения для матриц встречаются и общие задачи на собственные значения. В этом случае задается матричное однородное уравнение [c.302]

При решении общей задачи на собственные значения из характеристического уравнения находят N собственных значений Рп, а из соответствующих решений уравнения (12) — N собственных векторов Хд. В частной и общей задачах собственные векторы х можно найти только с точностью до постоянного множителя [25]. [c.302]

Уравнение (6,62) совпадает с характеристическим уравнением, которое получается при решении статической задачи на собственные значения для симметричного изгиба зажатой полосы. Оно также эквивалентно уравнению (6.60) на произвольной частоте, если выполнено неравенство (6.61), Все корни уравнения (6.62) комплексны. Для корней с большим модулем Я 1 могут быть найдены приближенные аналитические выражения [c.195]

Для однородной системы дифференциальных уравнений граничные условия будут тоже однородными. На краях одномерной системы при S = Sg, S = S/i должны быть заданы условия либо = О (геометрические), либо = О (силовые). Полученная система дифференциальных уравнений (3.70) позволяет решить следующие задачи на собственные значения при со = О и Т]фО определить критические нагрузки Л р при Л = 1, Т фО, р О — найти собственные частоты и формы колебаний упругой системы с учетом предварительного нагружения (в частном случае при 17 ] = О определить частоты и формы ненагруженной системы). [c.91]

Преобразование (2.79), приводящее к нормальным координатам, ищется следуюншм образом [10, П]. Матрицу (7 = (Ц), . .., и ) преобразования можно найти, определив все и собственных векторов Ну = = (Н у,. .., Ниу) и соответствующие собственные значения Ху в так называемой обобщеттной задаче на собственные значения [33] [c.122]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Рассмотрим решение задачи методом Рэлея—Ритца, но вместо ряда (2.68), в котором каждая функция была допустимой функцией задачи на собственные значения, воспользуемся рядом (2.86), построенным из функций сравнения. Подставив этот ряд в выражение (2.66) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим [c.75]

Теорема о минимуме отношения Рэлея указывает путь приближенного решения задач на собственные значения задаваясь различными функциями сравнения, вид которых подсказывается физическим смыслом задачи, можно получать оценки (сверху) для первых собственных значений. Теорема о минимуме отношения Рэлея справедлива только для самосопряженных и полностью определенных задач на собственные значения, поэтому связанные с ней приближенные методы, строго говоря, применимы только при тех же ограничениях. Все консервативные вадачи теории упругой устойчивости являются самосопряженными, во они не всегда бывают полностью определенными. Последнее обстоятельство иногда следует учитывать при построении приближенных решений. [c.301]

Теория упругости и пластичности (2002) -- [ c.270 ]

Теория пограничного слоя (1974) -- [ c.426 , c.434 ]

Колебания в инженерном деле (0) -- [ c.245 , c.252 , c.258 , c.264 , c.289 , c.338 , c.456 ]

Введение в метод конечных элементов (1981) -- [ c.223 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...